重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 【变式1-1】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A. 题型二：范围与最值问题 【例2】线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 【变式2-2】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 【变式3-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 【强化训练】 1．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 2．如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 为使最小，只需最小， 所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：B 3．如图，是圆O的一条直径，是圆O的一条弦，点P在线段上，若，，则的最小值是（   ） A．41 B．50 C．82 D．100 【答案】C 【解析】如图，连接.由题意得是线段的中点，所以. 因为， 所以， 所以.因为， 所以圆心到直线的距离，所以， 所以，故的最小值是82. 故选：C. 4．点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则, 由题意可得，且， 所以 ， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 5．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【解析】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C. 6．已知单位圆是的外接圆，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，因为单位圆是的外接圆，，所以，且， ， 设，则， 所以， 当，即时，取到最大值，最大值为， 故选：C. 7．等边△的外接圆的半径为1，M是△的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点， 、、三点共线，且， ， ， 又， 当时，的最大值为. 故答案为：1 8．已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是 . 【答案】 【解析】根据，可得， 点轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 取的中点，连接， 则， 又， 所以， 即， 所以. 故的最大值与最小值之和是12. 故答案为：12 9．已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】如图所示，因为正方形边长为，可得圆的半径为， 又因为是正方形的外接圆的一条动弦，且， 取弦的中点，可得， 则， 所以, 因为，即在以为圆心，半径为的圆上， 当点在正方形边与圆的交点上时，此时， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 10．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 故答案为： 11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 【答案】2 【解析】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则， 又OMON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以的最大值为2． 故答案为：2. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【变式1-1】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 题型二：范围与最值问题 【例2】线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【变式2-1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【变式2-2】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【变式3-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【强化训练】 1．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．如图，是圆O的一条直径，是圆O的一条弦，点P在线段上，若，，则的最小值是（   ） A．41 B．50 C．82 D．100 4．点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 5．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 6．已知单位圆是的外接圆，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．等边△的外接圆的半径为1，M是△的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为 . 8．已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是 . 9．已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 10．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$