重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】已知为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【变式1-3】点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 题型二：内心定理 【例2】已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【变式2-1】设为的内心，，，，则 ． 【变式2-2】已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为 （用表示） 题型三：外心定理 【例3】在中，已知，是的外心，若，则 . 【变式3-1】在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【变式3-2】在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式3-3】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 题型四：垂心定理 【例4】是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-1】如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【强化训练】 1．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 2．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 4．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 6．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．（多选题）在中，，，O为内的一点，设，则下列说法正确的是（    ） A．若O为的重心，则 B．若O为的外心，则 C．若O为的内心，则 D．若O为的垂心，则 8．（多选题）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列正确的是（    ）． A．若，，则为直角三角形 B．若，则为正三角形 C．若，，则 D．若，，则为顶角为的等腰三角形 10．（多选题）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 11．（多选题）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若是中点，则 B．若，则 C．与不共线 D．若，则 13．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 14．在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ． 15．在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是： 填写正确结论的编号 16．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 17．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 18．设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 19．等边的边长为，点为的重心，则 . 20．在中，若，则点是的 （填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 21．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 22．在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 23．在中，，为所在平面内的两点，，，，，， (1)以和作为一组基底表示，并求； (2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 24．已知H是内的一点，． (1)若H是的外心，求∠BAC； (2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】已知为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为的重心， . 故选：B． 【变式1-1】已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 【变式1-2】是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线， 则直线一定通过的重心. 故选：D. 【变式1-3】点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 【答案】或. 【解析】因为且，所以三点共线， 是的重心，则， ， 由得，所以，， ， 所以，解得或． 故答案为：或. 题型二：内心定理 【例2】已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 【变式2-1】设为的内心，，，，则 ． 【答案】 【解析】 如图，因，,为的内心，延长交于点，则, 于是，,，设的内切圆半径为， 则，解得，即,因,故, 于是，,则，即. 故答案为：. 【变式2-2】已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为 （用表示） 【答案】 【解析】由余弦定理， 所以， 设的内切圆切于点，即，则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 题型三：外心定理 【例3】在中，已知，是的外心，若，则 . 【答案】 【解析】中，已知，由余弦定理可得： ，则， 是的外心，设的外接圆半径为， 由正弦定理可得：，可得， 分别为的中点，如图所示，   ，， ，， ， 又，， 解得，所以. 故答案为：. 【变式3-1】在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【解析】 因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【变式3-2】在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【解析】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 故选：C． 【变式3-3】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】D 【解析】由可得，， 即, (*) 如图，取的中点为，连，则， 因，故得，, 代入(*)得，,即, 故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. 题型四：垂心定理 【例4】是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】因为， 则，所以，， 同理可得，， 所以，是的垂心. 故选：D. 【变式4-1】如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 【变式4-2】设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【解析】取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 【强化训练】 1．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【解析】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 2．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 3．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 4．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为的外心，为的中点,所以, 因为为的垂心,所以, 所以, 易得 所以，所以. 因为为的重心，所以. 所以, 所以. 故选：B. 5．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【解析】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心， 因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 6．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】由题意，当时，如图 可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心， 故选：A． 7．（多选题）在中，，，O为内的一点，设，则下列说法正确的是（    ） A．若O为的重心，则 B．若O为的外心，则 C．若O为的内心，则 D．若O为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项，重心为中线交点，则，即， 因为， 则， 所以，， 所以，故A正确； 对于B选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心， 因为，设为边的中点， 所以，， 所以， 因为，所以， 在中，， 则， ， 所以，易知，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，内心为角平分线交点，一定在BC边的高AG上，AG也为BC边的中线，如图， 由题意得,由等面积法可得， 所以, 所以，所以， ，故C错误； 对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线， 根据等腰三角形的性质，已知，， 所以， 因为，则，即， 因为，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 8．（多选题）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确． B选项：，选项B正确； C选项：，选项C正确； D选项：，选项D错误； 故选：ABC 9．（多选题）已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列正确的是（    ）． A．若，，则为直角三角形 B．若，则为正三角形 C．若，，则 D．若，，则为顶角为的等腰三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，若，，则，则是中点， 又因为是的外心，则为直角三角形，故A正确. 对于B，若，则，即是的重心， 又因为是的外心，所以为正三角形，故B正确. 对于C，若，，则， 平方得，， 因为，所以代入得， 则 ，故C错误. 对于D，若，，则，即， 如下图所示，取中点，则， 所以在的中线上，又因为是的外心，所以， 即，则是等腰三角形， 由，平方得， 因为，所以， 即，所以，由圆的性质可知， 则为顶角为的等腰三角形，故D正确. 故选：ABD 10．（多选题）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 11．（多选题）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半， 根据重心的性质可知： ，D错误； ，C正确； 为的重心，，，A正确， 由于,所以,故B错误， 故选：AC． 12．（多选题）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若是中点，则 B．若，则 C．与不共线 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接， 所以，所以，可得，故A正确； 对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以， 所以，若，则， 所以，故B正确； 对于C，因为点为垂心，所以， 因为 ， 所以， 而，所以与共线，故C错误； 对于D，分别做、交、于、点， 连接延长交于点，可得，设内切圆半径为， 则，所以， ，所以 ， 即①， ，所以 ， 即②，由①②可得， 在中由余弦定理可得， 因为， 可得，所以，故D正确. 故选：ABD. 13．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【解析】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 14．在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ． 【答案】 【解析】设的中点为，连接， 由点G为的外心，可得， 由点O为重心，可得， 故 . 故答案为：. 15．在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是： 填写正确结论的编号 【答案】①②③ 【解析】①由得，，即， 同理可得，，则点是的垂心，①正确； ②在中，以、为邻边作平行四边形，则， 从而，进而一定在的边的中线上， 由此得到点的轨迹一定过的重心，②正确； ③时， 向量分别表示在边和上取单位向量和， 它们的差是向量，当，即， 而三角形是等腰三角形， 所以点在的平分线上，同理可得点在的平分线上， 故为的内心，③正确； ④时， 是以、为平行四边形的一条对角线， 而是该平行四边形的另一条对角线，时， 表示这个平行四边形是菱形，即，同理得， 故为的外心，④错误． 故答案为：①②③ 16．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 17．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 【答案】2 【解析】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 故答案为：2. 18．设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 【答案】 【解析】 延长交于点D，则D是线段的中点，故． 因为三点共线，所以． 因为P是的重心，所以， 所以解得． 因为， 所以． 故答案为：； 19．等边的边长为，点为的重心，则 . 【答案】2 【解析】由于等边的重心为中线（也是角平分线）的三等分点， 则，且向量与的夹角为， 所以， 故答案为： 20．在中，若，则点是的 （填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【答案】垂心 【解析】， ， ， ， ， ， 同理可得：，，故点是的垂心. 故答案为：垂心． 21．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【解析】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 22．在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【解析】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 23．在中，，为所在平面内的两点，，，，，， (1)以和作为一组基底表示，并求； (2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 【解析】（1）因为，所以为线段上靠近的三等分点， 因为，所以为线段的中点， 所以， 因为，，， 所以， 所以； （2）因为为直线上一点，设， 则 ， 所以 ， 因为直线经过的垂心，所以，即， 所以，解得， 所以， 因为，所以. 24．已知H是内的一点，． (1)若H是的外心，求∠BAC； (2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值． 【解析】（1）设为的中点，为中点， 是的外心，所以， 点H在边和的垂直平分线上，， ， ， 即①，同理， 可得②， 联立①②得，而，则， ，. （2）是的垂心，，即， ， 化简得，① 同理 ， 化简得，②， 联立①②得，则，， 则. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$