重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 题型六：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 题型二：问题（系数不为1） 【例2】（多选题）如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 题型三：问题 【例3】如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为 【变式3-1】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：问题 【例4】如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 【变式4-1】如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（    ）． A． B． C．2 D．8 题型五：问题 【例5】已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 . 【变式5-1】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 . 题型六：问题 【例6】（多选题）在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式6-1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 . 【变式6-2】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 【强化训练】 1．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 2．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为 3．如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    4．已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    5．设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)， 且，则的最大值为 . 6．在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 . 7．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 8．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 9．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 10．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ． 11．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 12．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 13．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 14．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    15．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.    （1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由 （2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围. （3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 题型六：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. 【变式1-1】已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 题型二：问题（系数不为1） 【例2】（多选题）如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 等边三角形的内切圆的半径为， 故可设，其中， 故，而，， 结合可得， 故，故， 因为，故， 因为，，， ，，， 故， 故选：BCD. 【变式2-1】在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则， 因为，则，,， 又， 则， 则， 则， 又， 易知为减函数， 由单调性易得其值域为. 故选：B. 【变式2-2】如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， 设，则，由题意可得 令 则在上不是单调函数，从而在上一定有零点 即在时有解，可得 解得，经检验此时取得最大值 故答案选 题型三：问题 【例3】如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图： 则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点） 当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知. 【变式3-1】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 故选：B 题型四：问题 【例4】如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立. 所以的最小值是. 故选：B 【变式4-1】如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：B. 【变式4-2】在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（    ）． A． B． C．2 D．8 【答案】C 【解析】如图所示： 不妨设，则， 同理设，则， 所以 又由题意， 所以， 从而， 当时，由基本不等式可得， 等号成立当且仅当. 综上所述：的最小值为2. 故选：C. 题型五：问题 【例5】已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 . 【答案】3 【解析】如图，由题意得存在实数，使得. 又， 所以， 又∵，且不共线， 故由平面向量的分解的唯一性得 所以. 故答案为：3. 【变式5-1】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， △ABC中，， ∴（）， 又点E在线段AD（不含端点）上移动， 设k，0＜k＜1， ∴， 又， ∴， ∴． ∵在（0，1）上单调递减， ∴λ的取值范围为（，+∞）， 故选C． 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【解析】因为在中，， 所以, 即. 因为点在线段上移动（不含端点），所以设. 所以，对比可得. 代入，得； 代入可得，根据二次函数性质知当时，. 故答案为： 题型六：问题 【例6】（多选题）在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】因为，所以． 又，点在线段上移动， 所以，则，即，故A错误，B正确 所以， 当时，的最小值是．故C错误，D正确 故选：BD 【变式6-1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】； 为边的中点，如图， 则：； 在线段上； 设，； 又； ； 即，且； ； 时，取最小值． 故答案为：． 【变式6-2】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 【答案】/0.9 【解析】如图所示， 中，， ∴， 又点点在线段上移动，设，， ∴， 又，∴， ∴， ∴当时，取到最小值，最小值为. 故答案为：． 【强化训练】 1．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，设，且， 故， 由图可知 ，因，所以，故AC错； 当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错. 故选：B. 2．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为 【答案】49 【解析】如图所示建立直角坐标系，设， ，， 则； 故答案为：49 3．如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系， 设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 4．已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    【答案】 【解析】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 若，则， ，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以，当时，，    所以时，取得最小值是. 故答案为：， 5．设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)， 且，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则，设， 所以，因此有， 因为，， 所以有， 于是有，其中， 因为，即，当时取得最大值， 故答案为： 6．在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 且，可知点在标准单位圆上，可设， 可得， 若， 可得，解得， 则， 其中， 当且仅当，即，时， ，此时为第四象限角，符合题意，取到最大值 故答案为：. 7．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 8．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【解析】当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 9．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 3 【解析】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为， ，， ， ， 圆的方程为， 设点的坐标为，则， ，故的最大值为， ，， ， ，， ， ， ， 故的最大值为3， 故答案为：，3 10．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 又， 则， ，即 ， 解得， , 因为，则， 所以当时，取得最大值1， 则的最大值为. 故答案为：. 11．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 【答案】4 【解析】由可得, 四点共面且任意三点不共线，所以， 故， 由于均为正数，所以， 当且仅当，即等号成立， 故答案为：4 12．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 13．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知， 又因，，所以，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    【答案】/ 【解析】由题意可得，B，O，C三点共线，则共线． 则存在唯一实数，使得， 即， 整理可得． 又， 所以， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 15．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.    （1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由 （2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围. （3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明） 【解析】（1）若，则O、P异侧，若，则O、P同侧；理由如下： 设，则由得， ， 当时，与同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P异侧； 当时，与反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P同侧； （2）由图及平面向量基本定理可知，，即实数的取值范围是， 当时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，； （3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$