精品解析：湖北省部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

湖北省部分学校2024-2025学年高二下学期 开学考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. “”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为4 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 7. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，，则（ ） A. 121是数列中的项 B. C. 是等比数列 D. 存在， 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则点P的轨迹长度为 C. 若，，则 D. 若，，直线OP与平面所成的角为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________. 13. 设是等差数列的前项和，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式为________. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________. 四、解答题 15. 某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； （2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数，且. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 17. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若对任意，都成立，求实数m的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分学校2024-2025学年高二下学期 开学考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果. 【详解】，或， 当时，，，解得：，； 当时，，，解得：，； 综上所述：的值为或. 故选：D. 3. “”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先代入参数值判断直线平行证明充分性，利用直线平行求解参数值证明必要性即可. 【详解】对于充分性：当时，直线为， 直线为，此时和显然斜率相同，截距不同， 则此时与平行，故充分性成立， 对于必要性：若和平行，则有且， 解得，故必要性成立， 综上，是直线与直线平行的充要条件，故C正确. 故选：C 4. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 5. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为4 【答案】C 【解析】 【分析】对A，转化为圆上的点到圆心的距离最值问题；对B，转化为斜率最值并求出相切时的斜率；对C，根据点到直线的距离得公式即可求出值；对D，根据点到直线的距离再对分类讨论即可. 【详解】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且， 根据对称性知的最小值为，B选项不正确； 对C，直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确； 对D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：C 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 7. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令可得，再令可得数列是首项和公比为的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可. 【详解】令，， 令，则，所以， 所以数列是首项和公比为的等比数列， 所以 . 故选：A. 8. 若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有， 即，解得，又，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得. 【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 10. 已知数列满足，，，则（ ） A. 121是数列中的项 B. C. 是等比数列 D. 存在， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，，可得D错误. 【详解】由可得，，又， 所以是首项为，公比为3的等比数列，即C正确； 所以，由等比数列通项公式可得，即； 当时，，所以121是数列中的第五项，即A正确； 由可得，；即B正确； 易知，当时，， 所以，当时，； 当时，， 即对于任意的，，所以不存在，， 即D错误. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则点P的轨迹长度为 C. 若，，则 D. 若，，直线OP与平面所成的角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建系，对于A，由向量的数量积为0即可判断，对于B，由，及即可判断，对于C，由点P到平面的距离公式求得距离，结合体积公式即可求解，对于D，由线面夹角公式得到，通过换元，结合对勾函数的单调性即可求解； 【详解】解析：连接，，DP，BP，，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，，，， 则 ，故， 对于A，，， 若，则， 所以，故A正确； 对于B，若，，则， 因为，所以， 所以点P的轨迹长度为1，故B不正确； 对于C，若，，则，， ，，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点P到平面的距离， 在中，， 则， 所以，故C正确； 对于D，若，时，，， 则 ， 设，，则，，， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，所以， 所以，，， ，， 所以，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项，通过换元得到. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解. 【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 13. 设是等差数列的前项和，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列求和公式可得，结合题意解得，即可得通项公式. 【详解】设数列的公差为，则， 可得. 因为数列是公差为1的等差数列，则 ，解得， 所以. 故答案为：. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可. 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 四、解答题 15. 某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； （2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）“赞成定价者”的月平均收入为百元；“认为价格偏高者”的月平均收入为百元. （2）列联表： 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 27 30 赞成定价者 7 13 20 合计 10 40 50 不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 【解析】 【分析】（1）先分别求出赞成定价者总人数和认为价格偏高者总人数，再依据平均数定义直接计算即可得解. （2）根据题目表格所给数据即可填写列联表；根据独立性检验的思想方法计算，再与临界值比较即可得解. 【小问1详解】 由题意可知赞成定价者总人数为人， 认为价格偏高者总人数为人， 所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元）， “认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）. 【小问2详解】 由题补全列联表如下： 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 27 30 赞成定价者 7 13 20 合计 10 40 50 设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异， 由列联表表格数据得， 所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异， 所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 16. 已知函数，且. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为 【解析】 【分析】（1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值. 【小问1详解】 由题设，则； ，则， 所以点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）， 由，有或，由，有， 故在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为. 17. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【答案】（1） （2）甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率. （2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率. 【小问1详解】 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 【小问2详解】 若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）、 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，则，所以，，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：当时，，该函数的定义域为， ， 由，即，解得或， 因此，当时，函数的单调递增区间为、. 【小问3详解】 解：因为，则， 令，因为函数在上有且只有一个极值点， 则函数在上有一个异号零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若对任意，都成立，求实数m的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：． 【答案】（1）的极小值为 （2）的取值范围为, （3） 证明：因为， 则，， 因为有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个根， 令，则与有两个交点， 又，令，解得； 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，则；当时，，则； 当趋于无穷大时，的增长速率远小于的增长速率，所以趋于0， 作出的图像，如图所示： 所以，则， 又，则， 故， 因为，令，则， 令，则， 所以， 令，则， 令，，则， 所以在上单调递增，则，即 ， 所以在上单调递增，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，又，则，所以， 所以，故，所以， 又，所以． 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，结合函数极值的概念求解极值即可； （2）将原不等式进行参变分离转换为对任意，恒成立，从而求解函数的最大值，对函数求导确定单调性求最值即可得实数m的取值范围； （3）根据函数有两个极值点，，数形结合确定实数m的取值范围，再根据m与，的关系，结合比值代换令，得函数，对其进行求导单调性判断，结合函数单调性的性质从而证明结论. 【小问1详解】 当时，代入得； ，令，解得，则： 当时，；当时，． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时取极小值． 故的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为对任意，都成立，则都成立，即： 都成立，得恒成立． 故原式等价于恒大于等于函数的最大值， 令，，则， 令，解得． 当时，；当时，． 所以在区间时单调递增，在区间时单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，所以， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $