第04讲 二元一次方程组的应用 （2个知识点+14类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第04讲 二元一次方程组的应用 （2个知识点+14类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二元一次方程组的应用； ②二元一次方程组应用题的解题步骤； 1.掌握二元一次方程组的应用； 2.掌握二元一次方程组应用题的解题步骤； 知识点一 二元一次方程组应用类型： 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：数字问题 用字母表示十进制整数的方法 （1）在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字乘 1 000. （2）若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系. 两位数： 十位数字 ×10+ 个位数字 . 三位数： 百位数字 ×100+ 十位数字 ×10+ 个位数字 . 四位数： 千位数字 ×1 000 + 百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字 . …… 类型七：年龄问题 1. 年龄问题的三个基本规律 （1）每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； （2）两个人之间的年龄差不变； （3）两个人年龄的倍数关系是变化的量 . 2. 求解年龄问题的方法  从表示年龄间倍数关系的条件入手，抓住“年龄差”不变，应用“差倍”“和倍”“和差”问题的数量关系 . 年龄问题解题口诀： 岁差不会变，同时相加减 . 岁数若改变，倍数也改变 . 类型八：销售问题 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100% 类型九：方案问题 类型十：分段计费问题 类型十一：行程问题 知识点二 二元一次方程组应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【即学即练1】 1．某校八年级学生共有342人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少18人，则下面所列的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【即学即练3】 3．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 【即学即练4】 4．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【即学即练5】 5．我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元．求A，B两种航模每件分别为多少元? 【即学即练6】 6．如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为 ． 题型01 根据实际问题列二元一次方程组 1．为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 5．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 题型02 根据几何图形列二元一次方程组 6．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 9．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．    10．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 题型03 方案问题 11．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 12．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 种． 13．为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 14．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 15．某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 题型04 行程问题 16．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 17．某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 18．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 19．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 20．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型05 工程问题 21．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 22．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 23．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 24．端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 25．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 题型06 数字问题 26．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 27．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（    ） A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对 28．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 29．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ． 30．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 题型07 年龄问题 31．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 32．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 33．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 34．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 35．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型08 分配问题 36．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 37．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 38．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 39．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ． 40．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 题型09 销售利润问题 41．学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中的信息，回答下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)若学校计划买个酒精灯和个漏斗，商家可以打八折出售，求学校花的钱数． 42．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？ (1)求笔和砚台的单价． (2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元） 43．电器公司对某电器在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价50元，已知销售单价调整前甲地比乙地少100元，调整后甲地与乙地销售单价相同，求调整前甲、乙两地该电器的销售单价． 44．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 45．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 题型10 和差倍分问题 46．据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元． (1)将“1100万”用科学记数法法表示，可记为______； (2)求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 47．某中学计划举办教职工篮球比赛，因比赛需要，学校为参赛教师购买如图所示的T恤和运动袜．已知购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元． (1)购买一件T恤和一双运动袜各需要多少钱？ (2)此次比赛，学校需准备50件T恤，80双运动袜，某商场针对学校购买的数量，提供了以下两种购买方案： 方案一：每购买一件T恤赠送一双运动袜； 方案二：购买T恤20件以上时，超出20件的部分按原价的八折优惠，但运动袜不打折．针对以上两种方案，学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由． 48．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 49．某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 50．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 题型11 几何问题 51．“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 52．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 53．简单多面体的顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 长方体 五棱柱 正八面体 (1)猜想：顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在的代数关系式是_____________． (2)若一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，求这个多面体的面数． (3)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有个顶点，每个顶点处都有条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数 54．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 55．某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 题型12 图表信息题 56．如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 57．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 58．根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定a，b的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 59．列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 60．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 题型13 古代问题 61．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 62．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 63．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．在用二元一次方程组解决问题时，若已经列出的一个方程为，则符合题意的另一个方程是 ． 64．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十正，共卖价钞五百七，四定绢价九十贯，三石布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？ 答：（1）绢有 ；（2）布有 ． 65．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 题型14 其他问题 66．鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 67．把一根长的绳子截成和两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费，则不同的截法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 68．如图，分别用火柴棒连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棒．如果搭建正三角形和正六边形共用了2026根火柴棒，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么连续搭建正三角形的个数是 ． 69．学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载），若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 70．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 6．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ． 7．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为 ． 8．鸡兔同笼问题为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设笼中有鸡只，兔只，根据以上信息，请列出方程组 ． 9．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： （1）比a的3倍大5的数是： ； （2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了元： ． 10．团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积 ． 11．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根． 12．春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 13．每年的4月23 日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响． 八年级(1)班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满元包邮，买本以上一律八折！客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？ 客服： 亲， 您这个没达到元， 需要加上邮费元， 共元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲， 您这个可以包邮， 共元． 团购群2 客服： 读书日优惠活动开始啦！ 每满元减元，全场包邮！ 客服： 1本《骆驼祥子》+1本《傅雷家书》， 一套元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 14．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 15．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二元一次方程组的应用 （2个知识点+14类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二元一次方程组的应用； ②二元一次方程组应用题的解题步骤； 1.掌握二元一次方程组的应用； 2.掌握二元一次方程组应用题的解题步骤； 知识点一 二元一次方程组应用类型： 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：数字问题 用字母表示十进制整数的方法 （1）在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字乘 1 000. （2）若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系. 两位数： 十位数字 ×10+ 个位数字 . 三位数： 百位数字 ×100+ 十位数字 ×10+ 个位数字 . 四位数： 千位数字 ×1 000 + 百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字 . …… 类型七：年龄问题 1. 年龄问题的三个基本规律 （1）每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； （2）两个人之间的年龄差不变； （3）两个人年龄的倍数关系是变化的量 . 2. 求解年龄问题的方法  从表示年龄间倍数关系的条件入手，抓住“年龄差”不变，应用“差倍”“和倍”“和差”问题的数量关系 . 年龄问题解题口诀： 岁差不会变，同时相加减 . 岁数若改变，倍数也改变 . 类型八：销售问题 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100% 类型九：方案问题 类型十：分段计费问题 类型十一：行程问题 知识点二 二元一次方程组应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【即学即练1】 1．某校八年级学生共有342人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少18人，则下面所列的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设女生人数人，男生人数人，根据某年级学生共有人，则，男生人数比女生人数的倍少人，则，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组． 【详解】解：设女生人数人，男生人数人， 由题意得，，即， 故选：B． 【即学即练2】 2．某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车 (2)应该租用60座客车4辆才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车，列式计算，即可作答． （2）分别算出租用60座客车4辆的租金以及租用45座客车6辆的租金，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车， 由题意得：， 解得：， 答：这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车； （2）解：由（1）可知，若租用同一种车，要使每名学生都有座位，租用60座客车4辆或租用45座客车6辆， ①租用60座客车4辆，租金为：（元）； ②租用45座客车6辆，租金为：（元）； ∵， ∴应该租用60座客车4辆才合算． 【即学即练3】 3．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 【答案】12 【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 【即学即练4】 4．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 【即学即练5】 5．我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元．求A，B两种航模每件分别为多少元? 【答案】A种航模每件300元，B种航模每件400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用．设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据“2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可． 【详解】解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意，得： ， 解得， 答：A种航模每件300元，B种航模每件400元． 【即学即练6】 6．如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的边长为9，小正方形的边长为3，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可． 【详解】解：∵大正方形边长为9，小正方形边长为3， ∴根据图示和题意得：， 解得：． 故答案为：6． 题型01 根据实际问题列二元一次方程组 1．为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组解决实际问题，根据“若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 根据题意可列出方程组 故选：B． 2．为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”据此列出方程组即可． 【详解】解：设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可得， 故选：A 3．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，正确找到等量关系是解决应用题的关键．设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．根据题意，得： ． 故选C． 4．某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“工厂现有26个工人”和“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”分别列二元一次方程即可． 【详解】解：设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽， 根据“工厂现有26个工人”可得：， 根据“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”可得：，即， 因此列二元一次方程组为：． 故选A． 5．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 题型02 根据几何图形列二元一次方程组 6．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 7．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 9．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．    【答案】5 【分析】根据图中的数据列得，整理即可． 【详解】由题意得：， 整理得： ， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，正确理解图中边长之间的关系是解题的关键． 10．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 题型03 方案问题 11．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论，即可． 【详解】解：设购买了个篮球，购买了个足球， ∴， 整理得：且，为正整数， 当时，；当时，；当时，； ∴该社团共有种购买方案． 故选：C． 12．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意，得到关系式，即；由于，均为正整数，故，即，据此可得的所有可能取值；接下来根据可得的可能取值，至此可得购买方案． 【详解】解：设购买个羽毛球，个乒乓球， 由题可得：， 变形得：， 因为，均为正整数， 所以， 解得：， 故的取值为，，，， 故其解为：或或或， 故有种购买方案， 故答案为：． 13．为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 【答案】4 【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买个跳绳，个呼啦圈， 依题意得：， ． ，均为正整数， 为3的倍数， 或或或， 该班级共有4种购买方案． 故答案为：4． 14．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 【答案】(1)每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元 (2)该超市这天共有两种销售方案：①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键： （1）设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器，根据题意，得，根据、均为正整数，有和两种情况，进而得出答案． 【详解】（1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元． 根据题意，得，解得 每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元． （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器． 根据题意，得， 化简，得． 该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售， 、均为正整数， 有和两种情况， 即该超市这天共有两种销售方案： ①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件； ②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 15．某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材 (2)3种 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找准题中的等量关系是解题的关键． （1）设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材，根据题意列出等量关系式，进行计算即可得到答案； （2）设招聘m名新工人，根据题意列出二元一次方程，找出符合的所有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材， 根据题意，得， 解得， 答：每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材． （2）解：设招聘m名新工人， 根据题意，得， ， 又，n均为正整数，且， 或或 工厂有3种新工人的招聘方案． 题型04 行程问题 16．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时，根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 17．某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设水流的速度为，船在静水中的速度为， 根据同意有：， 解得：， 故水流的速度为，船在静水中的速度为， 故选：A． 18．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 【答案】154 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则 ， 整理得：， 解得：； ∴， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米． 19．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 【答案】 【分析】本题考查路程，时间与速度的关系，二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立二元一次方程组； 根据速度时间路程，设上山路为，下山路为，列方程求解即可； 【详解】解：设上山路为，下山路为 得； 解得： 故 故答案为： 20．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 题型05 工程问题 21．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 22．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 23．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 24．端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 (2)4天 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用． （1）设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．这份粽子订单为袋，据此列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子， 根据题意，得 解得 答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子． （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天． 根据题意，得， 解得． 答：甲组需要加工4天． 25．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设甲工作了x天，乙工作了y天，根据甲乙两人共用10天完成任务及两人合计完成的工程面积为88平方米列出方程，求解方程组即得答案． 【详解】设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： ， 解得 ， 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 题型06 数字问题 26．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，求出，的值． 根据题意可知：第一列的数字之和等于第一行的数字之和，从而可以计算出右上角的数字；根据第一列的数字之和等于对角线的三个数字之和，即可用含的代数式表示出最中间的数字；再根据第二列的数字之和等于第一列的数字之和，对角线的三个数字之和等于第三行的数字之和，可以列出方程组，然后求解得到和，再计算出即可． 【详解】解：由题意可得： 右上角的数字为， 最中间的数字为， ， 解得， ∴， 故选：D． 27．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（    ） A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可； 结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即不论m，n取何值，的值一定为3，故结论Ⅱ正确， 故选：C． 28．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 29．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可． 【详解】设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得： ， 解得：， 则原两位数为． 故答案为： 30．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)任意一个“极数”都是的倍数，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查了有理数，整式的加减，解二元一次方程等知识．理解题意，正确表示四位数是解题的关键． （1）根据定义求解作答即可； （2）设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数），则“极数”为，然后作答即可； （3）设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数），则四位数m为，，由是完全平方数，，且x、y为整数，可得或或或，计算求解，然后作答即可 【详解】（1）解：由“极数”的定义得，两个“极数”为， 故答案为：； （2）解：任意一个“极数”都是的倍数，理由如下： 设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数）， ∴“极数”为， ∵，且a、b为整数， ∴是整数， ∴任意一个“极数”都是的倍数． （3）解：设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数）， ∴四位数m为， ∴， ∵是完全平方数，，且x、y为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴m可以为或或或， 故答案为：或或或． 题型07 年龄问题 31．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 32．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 33．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 34．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 35．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型08 分配问题 36．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 37．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 【答案】B 【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 故选：B 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 38．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 39．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母， 由题意可得，， 故答案为：． 40．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 题型09 销售利润问题 41．学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中的信息，回答下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)若学校计划买个酒精灯和个漏斗，商家可以打八折出售，求学校花的钱数． 【答案】(1)酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元； (2)学校计划买个酒精灯和个漏斗，学校需花元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题的关键． （）设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （）直接列式即可计算出费用． 【详解】（1）解：设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元， 根据题意得：，解得：， 答：酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元； （2）解：由（）得：酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元， ∴学校花的钱数为 （元）， 答：学校计划买个酒精灯和个漏斗，学校需花元． 42．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？ (1)求笔和砚台的单价． (2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元） 【答案】(1)笔的单价为50文，砚台的单价为90文 (2)砚台15方，笔30支 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）设笔的单价为x文，砚台的单价为y文，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设该校购买砚台的数量为m，则笔的数量为．根据学校共花费3420元列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设笔的单价为x文，砚台的单价为y文， 由题意可列方程， 解得 答：笔的单价为50文，砚台的单价为90文． （2）解：设该校购买砚台的数量为m，则笔的数量为． ， 解得． 答：该校可以购买砚台15方，笔30支． 43．电器公司对某电器在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价50元，已知销售单价调整前甲地比乙地少100元，调整后甲地与乙地销售单价相同，求调整前甲、乙两地该电器的销售单价． 【答案】调整前，甲地电器的销售单价为500元，乙地电器的销售单价为600元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设调整前，甲、乙两地电器的销售单价分别为，元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设调整前，甲、乙两地电器的销售单价分别为，元． 根据题意得：， 解得， 答：调整前，甲地电器的销售单价为500元，乙地电器的销售单价为600元． 44．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】(1)甲万元，乙万元 (2)共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； （2）解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 45．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 【答案】(1)每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元； (2)该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： （1）设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，根据3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元列出方程组求解即可； （2）设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，根据共获得3600元可得关于m、n的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元； （2）解：设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴当时，； 当时，； ∴该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件． 题型10 和差倍分问题 46．据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元． (1)将“1100万”用科学记数法法表示，可记为______； (2)求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 【答案】(1) (2)该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个 【分析】本题考查二元一次方程的应用，科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义，列得正确的方程组是解题的关键． 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案； 设该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个，根据题意列得二元一次方程组，解得x，y的值即可． 【详解】（1）解：万， 故答案为：； （2）该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个， 由题意得， 解得：， 即该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个． 47．某中学计划举办教职工篮球比赛，因比赛需要，学校为参赛教师购买如图所示的T恤和运动袜．已知购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元． (1)购买一件T恤和一双运动袜各需要多少钱？ (2)此次比赛，学校需准备50件T恤，80双运动袜，某商场针对学校购买的数量，提供了以下两种购买方案： 方案一：每购买一件T恤赠送一双运动袜； 方案二：购买T恤20件以上时，超出20件的部分按原价的八折优惠，但运动袜不打折．针对以上两种方案，学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元 (2)方案一更划算，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元，根据“购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元”列出方程组求解即可； （2）根据题意结合优惠方案分别计算总费用进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元， 由题意，得， 解得， 答：购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元； （2）解：方案一更划算．理由如下： 方案一的总费用为（元）， 方案二的总费用为（元）， ， 学校选择方案一的购买方案更划算． 48．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 49．某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨， 依题意得：，    解得． 答：1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨． （2）解：∵现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当时，；当时，；当时，； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 50．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 题型11 几何问题 51．“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 52．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 【答案】(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)3 (3)C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误； ②由第一次记录，列出方程组，可求解； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解； （3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】（1）解：①第二次记录错误， 理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， 而，，1422不能被5整除， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数， ∴的值可能是2015． 故选：C． 53．简单多面体的顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 长方体 五棱柱 正八面体 (1)猜想：顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在的代数关系式是_____________． (2)若一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，求这个多面体的面数． (3)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有个顶点，每个顶点处都有条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数 【答案】(1) (2)； (3)①条棱，②． 【分析】本题考查立体几何中，点，面，棱的关系，整式，二元一次方程，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式的加减运算，二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，进行解答，即可． （1）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于，即可； （2）根据（1）得到的规律，进行解答，即可； （3）①根据顶点数和棱数的关系，进行求解，即可；②方法一：设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，列出方程，即可；方法二：根据（1）得到的规律，求出面数，再设该多面体外表八边形的个数为个，三角形的个数为个，列出方程，即可． 【详解】（1）解：三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中， ∴顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在的代数关系式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）得， ∴一个多面体的面数比顶点数大， ∴， ∵有条棱， ∴， 解得：， ∴面数为：． 答：这个多面体的面数为． （3）解：①∵有个顶点，每个顶点处都有条棱，而两点确定一条直线， ∴棱数为：条； ②方法一：设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个， ∴由题意得，列方程组为：， 解得：； ∴该多面体三角形的个数为． 方法二：∵， ∴， 解得：； 设该多面体外表八边形的个数为个，三角形的个数为个， ∴， 解得：， ∴， ∴该多面体三角形的个数为． 54．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 55．某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 题型12 图表信息题 56．如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 【答案】(1)x与y的值分别为与1 (2)见解析 【分析】解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求出、的值，再根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等这个已知条件求解即可． （1）由题意可以知道等量关系：即各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．据此列方程组分别求得、的值； （2）根据题意，分别求得方格内的数即可． 【详解】（1）由题意可列方程组 解得． x与y的值分别为与1； （2）由题意可知：图中对角线从上到下的数依次为，，； 设第二行最前面的数位，第三行第一个和第二个数分别为、． 由第一行数的和第二行数的和得：，解得； 由第二列数的和第三列数的和得：，解得； 由第一列数的和第二列数的和得：，解得． 故第一行应填：；第二行依次应填：5，1；第三行依次应填：0，，4． 如图 57．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 58．根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定a，b的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】【任务1】； 【任务2】69元； 【任务3】丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【分析】本题考查了的二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程是解题的关键． （1）根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； （2）根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； （3）设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】【任务1】 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 【任务2】 由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 【任务3】 设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 59．列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【答案】(1)15 (2)该班级购买2个小黑板，1个拖把 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据倒计时墙贴金额可得：，然后进行计算即可解答； （2）设班级购买小黑板个，拖把个，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：15； （2）设班级购买小黑板个，拖把个， 由题意得：， 解得：， 答：该班级购买2个小黑板，1个拖把． 60．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于a，b的方程（或方程组）是解题的关键． （1）根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含b的代数式表示出a； （2）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值； （3）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元二次方程组，方程①变形后可得出方程③，方程②变形后可得出方程④，再将③代入④中即可求出b的值． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 题型13 古代问题 61．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据题意得：， 故选：． 62．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 63．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．在用二元一次方程组解决问题时，若已经列出的一个方程为，则符合题意的另一个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有x人分银子，银子的总数为y两，根据“若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设有x人分银子，银子的总数为y两，依题意得： ， ∴符合题意的另一个方程是． 故答案为：． 64．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十正，共卖价钞五百七，四定绢价九十贯，三石布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？ 答：（1）绢有 ；（2）布有 ． 【答案】 疋 疋 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绢有x疋，布有y疋，根据今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯列出方程组求解即可． 【详解】解：设绢有x疋，布有y疋， 由题意得，， 解得 ， 答：绢有12疋，布有18疋． 故答案为：疋，疋 65．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【答案】624个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： 法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可； 法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得， 解得：， 答：寺内有624个和尚；                                  法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得： ，解得， 所以 答：寺内有624个和尚． 题型14 其他问题 66．鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设鸡有x只，兔有只，根据“笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设鸡有x只，兔有只，根据题意得： ， ②①得：， 解得：，代入①中， 解得：， 则鸡有65只，兔有35只． 故选：C． 67．把一根长的绳子截成和两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费，则不同的截法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据绳子全长为列出方程，得出方程的整数解即可． 【详解】解：设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据题意，得： ， ，均为正整数， ∴，或， 不同的截法有3种． 故选：A． 68．如图，分别用火柴棒连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棒．如果搭建正三角形和正六边形共用了2026根火柴棒，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么连续搭建正三角形的个数是 ． 【答案】287 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设正三角形的个数为x个，正六边形的个数为y个，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设正三角形的个数为x个，正六边形的个数为y个，根据题意得： ， 解得：， 答：连续搭建正三角形的个数是287． 故答案为：287 69．学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载），若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 【答案】需要甲车型8辆，乙车型10辆． 【分析】此题考查了二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据总吨数和总运费列方程组，解方程组即可； 【详解】解：设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆， 根据题意得：， 解得：． 答：需要甲车型8辆，乙车型10辆． 70．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】(1)A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克 (2)小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克，根据“1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出2杯A型饮料含咖啡因的总量，将其与100毫克比较作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：， 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克； （2）解：根据题意得：毫克， ，毫克， 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为x，金价为y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于的x二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意： ， 故选：C． 2．《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 故选：A． 3．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得出，，然后将，代入，求出k的值即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 将，代入，得， 解得． 故选：C． 4．如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决本题的关键是根据图形审题，列出方程组．根据图形可知两个小长方形土地加一个小长方形土地的宽即铺满了长方形块空地的长，即，两个小长方形土地的宽加一个小长方形土地的长即铺满了长方形空地的宽，即，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形土地的长为，宽为，根据题意得：， 故选：D． 5．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 6．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，故可列方程组，即可作答． 【详解】解：∵某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人， ∴， 故答案为： 7．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解含字母系数的二元一次方程组， 根据方程组的解互为相反数可得，再结合原方程组可知，然后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵方程组的解x和y互为相反数， ∴． 由， ，得， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 8．鸡兔同笼问题为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设笼中有鸡只，兔只，根据以上信息，请列出方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组． 【详解】解，设鸡只，兔只，则可列方程组为， 故答案为：． 9．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： （1）比a的3倍大5的数是： ； （2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了元： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据题意中的等量关系列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：． 10．团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；先判断，且，为正整数，再分，，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴两个部门的人数和超过人， ∴，且，为正整数， 当时， ∴， ∴①， ∵， 当两部门的人都小于人时，不是整数，不符合题意； ∴，， ∴②， 联立①②可得： ，不符合题意， 当时， ∴， ∴③， ∵， 当，， ∴④， 联立③④可得：， ∴， 当，时， ∴，此时不符合题意，舍去， 当时，则， ∴⑤， 联立③⑤可得：，不符合题意，舍去， 综上：， 故答案为：． 11．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根，由同解方程求解x，y值是解题的关键． 根据两方程组的解相同可将和重新组成方程组，解方程组可求解x，y值，即可得关于a，b的方程组，进而可求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和的解相同， ∴方程组的解和的解相同， 解得：， ∴， 解得：， ∴， 即代数式的平方根为． 12．春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 【答案】(1)购进A种饮料100箱，B种饮料300箱 (2)10500元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准题干的等量关系． （1）设商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，然后根据题意可列出方程组进行求解； （2）由(1)及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设购进A、B两种饮料分别为x和y箱， 则，解方程组可得， 答∶该商场购进A种饮料100箱，B种饮料300箱； （2）解：（元）， 答：该商场售完这400箱饮料，可获利10500元． 13．每年的4月23 日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响． 八年级(1)班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满元包邮，买本以上一律八折！客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？ 客服： 亲， 您这个没达到元， 需要加上邮费元， 共元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲， 您这个可以包邮， 共元． 团购群2 客服： 读书日优惠活动开始啦！ 每满元减元，全场包邮！ 客服： 1本《骆驼祥子》+1本《傅雷家书》， 一套元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购1群更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购1群和团购2群的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购1群的费用为：， 团购2群的费用为：， ∵， ∴团购1群购买更合算． 14．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】(1)A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克 (2)小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克，根据“1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出2杯A型饮料含咖啡因的总量，将其与100毫克比较作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：， 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克； （2）解：根据题意得：毫克， ，毫克， 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 15．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$