精品解析：广西桂林市2024-2025学年高三下学期开学质量检测卷数学试卷

2025年春季高三开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂择黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：B. 3. 已知向量，，.若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直坐标运算性质求解即可． 【详解】因为向量，，所以， 所以，解得. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. 6 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角商的关系，弦化切即可求解； 【详解】. 故选：D 5. 已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点，准线. 因为点到焦点的距离为12，所以点到准线的距离为，则. 故选：C 6. 已知一个圆台状器皿（其厚度忽略不计）的下底面半径为3cm，上底面半径为9cm，容积为cm3，则该器皿的高为（ ） A. 8cm B. 9cm C. 13cm D. 10cm 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆台体积公式计算解方程可得结果. 【详解】设该器皿的高为， 易知上、下底面面积分别为； 由题意可得，解得. 故选：D. 7. 在△ABC中，内角的对边分别为，，，，为BC边上一点，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解； 【详解】 根据题意得， 则，解得. 故选：D 8. 已知集合，若函数（，）有极值，则满足条件的共有（ ） A. 121个 B. 360个 C. 396个 D. 432个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出有极值的值，再利用分步乘法计数原理计算得解. 【详解】函数定义域为R，求导得， 由函数有极值，得函数有变号零点，则，解得， ，由，得，而， 所以满足条件的共有个. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于双曲线，下列命题是真命题的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦点坐标为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由双曲线方程得到，即可求解双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 【详解】对于双曲线，，，则， 所以双曲线的实轴长为，焦点坐标为，离心率为， 渐近线方程为，即，故选项AC为真命题. 故选：AC. 10. 已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 7 【答案】ABD 【解析】 【分析】先做出函数的大致图象，设，则，先根据的跟的个数及根的范围分类，再迭代求的个数即可. 【详解】画出函数的大致图象，如图所示， 设，则可化为， 如图，，， 当时，有1个根，即， 此时方程有1个根； 当时，有2个根，， 时有3个根，时有1个根， 此时方程有4个根； 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有3个根，当时有1个根， 此时方程有7个根； 当时，有3个根，，，， 当时有3个根，当时有2个根，当时有1个根， 此时方程有6个根. 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有1个根，当时有1个根， 此时方程有5个根； 当时，有3个根，，， 当时有0个根，当时有1个根，当时有1个根， 此时方程有2个根； 当时，有1个根，， 当时有1个根，此时方程有1个根； 当时，有0个根，此时方程有0个根； 故方程的实数解的个数可能为0或1或2或4或5或6或7， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考虑的图象的特殊点，设，则，根据根的个数和范围分类即可. 11. 如图，在棱长为10的正方体中，P，H分别为棱，AD的中点，K是棱上任意一点，则（ ） A. 平面BCK B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 该正方体内可以装入1186个直径为1的小球 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A；根据线面垂直的性质定理判断B；结合数量积的运算律，根据投影向量的概念判断C；通过直观想象，由下至上第一层小球有个，第二层小球有个，奇数层均有100个，偶数层均有81个，结合上下两层相邻5个球的球心构成正四棱锥并求高，再确定层数，最后求解小球个数判断D. 【详解】由正方体的性质知，因为平面， 平面BCK，所以平面BCK，A正确. 连接，.由正方体的性质易得， 平面，所以，， 所以平面，平面，所以，B正确. ，， ， 则向量在向量上的投影向量为，C错误. 由题意，由下至上第一层小球有个，第二层小球有81个， 奇数层均有100个，偶数层均有81个，第一层与第二层中5个相邻球的球心构 成的一个棱长都为1的正四棱锥，该四棱锥的高为，假设共有层小球， 则总高度为，令，解得. 因为，所以，小球共有13层， 相邻的两层小球共有个， 所以该正方体内可以装入1186个直径为1的小球，D正确. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是C选项中小球的个数问题，要分析清楚每层的球的个数以及一共几层，有较强的空间想象能力和推理能力是解决此类问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（）的最小正周期为，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】直接由最小正周期公式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 13. 现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为______. 【答案】0.031 【解析】 【分析】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率. 【详解】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，则彼此互斥，且, ， 设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件， 则. 故答案为：. 14. 已知曲线C的方程为（），O为坐标原点，A为曲线C上任意一点，则线段OA长度的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据及求得，然后利用两点间的距离公式表示，最后利用导数研究其最值，即可得解. 【详解】由题设得，因为，所以，解得. 设，，则， 令，，则， 令，得或或. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，，，， 所以的最小值为1，最大值为4，故线段OA长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求出的表达式后，利用导数法研究其值域是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算求出公差，进而求解通项公式即可. （2）先利用裂项相消法求得，然后求解前项积即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 则，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以. 16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. （1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； （2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）3.24百件 【解析】 【分析】（1）求出的平均值，利用给定公式计算可求出y关于x的经验回归方程； （2）将代入回归方程即可估算出结果. 【小问1详解】 ， ， 则， 所以 故关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 将代入，得， 故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件. 17. 如图，在多面体ABCDEF中，，，D为AC的中点，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABC. （1）证明：. （2）若平面AEF与平面BFC的夹角为，求DE的长. 【答案】（1）证明：因为四边形BDEF是矩形，所以. 因为平面平面ABC，平面平面， 平面BDEF，所以平面ABC. 平面ABC，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直进而得到平面ABC，进而可得结论； （2）以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面AEF的一个法向量，平面BFC的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面ABC，因为为AC的中点，所以. 以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，， ，， 所以，，，. 设平面AEF的法向量为， 则，令，则， 所以平面AEF的一个法向量. 设平面BFC的法向量为， 则，令，则， 所以平面BFC的一个法向量为. 因为平面AEF与平面BFC的夹角为， 所以， 解得，即. 18. 已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长； （3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）运用椭圆定义，结合离心率公式计算即可； （2）直曲联立，运用弦长公式计算即可； （3）设直线l的方程为.直曲联立，借助韦达定理和中点坐标公式得到,根据重心坐标公式，求得，进而得，求出，代入椭圆方程，解得，得到直线即可. 【小问1详解】 因为的周长为8，所以，得. 因为椭圆的离心率为，所以，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，，，所以直线的方程是， 设，.由得， 所以，， 所以. 【小问3详解】 设直线l的方程为. 由得，. 设，，，线段AB的中点为H， 则，，. 若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以. 由，得， 解得，所以， 因为点P在椭圆上，所以， 解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上， 其方程为或或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. ①若不等式对恒成立，求t的取值范围； ②过点可以作曲线的两条切线，切点为，，，证明：. 【答案】（1）（或） （2）① ②设切点为，则，设， 则，即令，， 当时，，当时，，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，且. 由得， 令，， 则单调递减，所以， 即，所以，所以. 因为，， 所以， . 设，， 则在上单调递增.因为， 所以 ，即 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）分离参数，构造函数，即可求导确定函数的单调性求解①，②构造函数，，利用导数求解单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 由，得， 则曲线在处的切线方程为， 即， 【小问2详解】 由题意得，则. ①不等式即，令，则. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，所以，即的取值范围是. ②略 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季高三开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂择黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，.若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 若，则（ ） A. B. 6 C. 11 D. 13 5. 已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知一个圆台状器皿（其厚度忽略不计）的下底面半径为3cm，上底面半径为9cm，容积为cm3，则该器皿的高为（ ） A. 8cm B. 9cm C. 13cm D. 10cm 7. 在△ABC中，内角的对边分别为，，，，为BC边上一点，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知集合，若函数（，）有极值，则满足条件的共有（ ） A. 121个 B. 360个 C. 396个 D. 432个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于双曲线，下列命题是真命题的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦点坐标为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 7 11. 如图，在棱长为10的正方体中，P，H分别为棱，AD的中点，K是棱上任意一点，则（ ） A. 平面BCK B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 该正方体内可以装入1186个直径为1的小球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（）的最小正周期为，则______. 13. 现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为______. 14. 已知曲线C的方程为（），O为坐标原点，A为曲线C上任意一点，则线段OA长度的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项积. 16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. （1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； （2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17. 如图，在多面体ABCDEF中，，，D为AC的中点，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABC. （1）证明：. （2）若平面AEF与平面BFC的夹角为，求DE的长. 18. 已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长； （3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. ①若不等式对恒成立，求t的取值范围； ②过点可以作曲线的两条切线，切点为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $