重难点专题05 三角形中的范围与最值问题-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五： 倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典例例题】 题型一：周长问题 【例1】记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在中，由射影定理得， 则题目条件可化简为：. 由余弦定理得：， 则. 因为，所以. 因为 所以在中，由正弦定理得， 则周长， 因为 ， 所以. 因为为锐角三角形，， 则，解得 所以. 所以 所以. 故选：A 【变式1-1】在中，，，则锐角周长的范围是 . 【答案】 【解析】依题意，由正弦定理得， 则，则 ， 由于三角形是锐角三角形，所以，即， 所以三角形的周长为 ， ，， 所以， 所以. 故答案为： 【变式1-2】设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 又因为，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 由三角形可知：，即，可得， 所以周长的范围为. 【变式1-3】在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 【解析】（1）∵， ， 所以， 所以， 因为，所以， ，所以. （2）， 所以, 所以，， 所以 , 因为是锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 题型二：面积问题 【例2】已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，a=2，且，则的面积的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴由正弦定理得，即， ，，∴， 由正弦定理得， ，， ， 由，得，则，， 所以． 故选：C． 【变式2-1】已知函数. (1)若为函数一个零点，求. (2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围. 【解析】（1）由题意，即有， 则 ； （2）， 则，故， 又，即有，故， 由， 则， 故， 又， 故有： ， 由为锐角三角形， 故有，解得, 故， 故， 故， 又， 故. 【变式2-2】在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 【解析】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，则， 因为， 所以，又，则， 所以. （2）设的外接圆半径为，则， 所以， ， ， ， ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则， 则， 所以， 所以的面积范围. 【变式2-3】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 题型三：长度问题 【例3】已知锐角内角的对边分别为.若. (1)求； (2)若，求的范围. 【解析】（1）由正弦定理， ， 则，又, 所以 （2）因为， 所以, 则 ， 因为三角形为锐角三角形， 所以,解得， 令，所以， 所以. 【变式3-1】在中，角所对的边分别为，. (1)求角； (2)若，求的范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， ，即， 则， 所以， 即，因为，所以， 可得，因为，所以. （2）因为，，则，所以，， 由正弦定理可得， ， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，取得最大值是， 所以的范围为. 【变式3-2】在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，且_____，． (1)若，求的面积； (2)求周长的范围 (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）选①，由正弦定理得， 整理得， 即， 因为，所以，又，故. 选②，因为， 所以， 又，故．又，故. 选③，因为，即， 所以， 根据余弦定理可得，所以，又，故. 由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积. （2）由余弦定理得， 即所以. 因为. 所以所以. 所以周长的范围为. （3）由（1）知，， 由正弦定理得： ， 在锐角中，，， 即，所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围是. 【变式3-3】已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足． (1)判断角B与角C的关系，并说明理由； (2)若，求的范围． 【解析】（1）∵，，∴或， ∴， ∴， ∴. ∵， ， ∴. ∵， ∴或， ∵， ∴. （2）由（1）知：， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 题型四：转化为角范围问题 【例4】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【解析】（1）选①，， 由正弦定理得，即，，， 又，所以； 选②， 由正弦定理，及得，所以， 又三角形中，所以，而，所以，即； 选③， 由正弦定理得，即， 所以，又， 所以． （2），则，， ， 所以，即时，取得最大值． 【变式4-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 【解析】（1）由得：， ， 即， ，， ，，，解得：. （2）由（1）知：， ，，， 或，即或； ，当时，，不合题意，， ， ，，. 【变式4-2】已知a，b，c为锐角的内角A，B，C的对边，满足. (1)证明为等腰三角形； (2)若的外接圆面积为，求的范围. 【解析】（1）由余弦定理得，化简得，即， 即，又，，故，即，故为等腰三角形； （2）设的外接圆半径为，由，解得，由（1）得，故 ，其中， 记，由为锐角三角形，可得，解得， 故，单调递减，又； ，故， 即. 【变式4-3】在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，所以, 因为该三角形有两解，故, 故，即， 故选：B 题型五： 倍角问题 【例5】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由条件求得，可得的范围．再由正弦定理可得，从而求得的取值范围即可得解．锐角中，由于，，， ，． 所以 所以 故答案为： 【变式5-1】已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ． 【答案】   【解析】由正弦定理可知．，又，则，，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填． 【变式5-2】在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 题型六：与正切有关的最值问题 【例6】已知锐角中，角的对边分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：， 所以， 所以， ， ， ， 在中，由， 所以， 因为锐角三角形， 所以， 所以， 所以. 所以的取值范围是：， 故选：A. 【变式6-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 【解析】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以， 因为,故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. （3）因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 题型七：最大角问题 【例7】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【解析】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点， 线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为， 所以以线段为弦的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 所以可设圆心坐标为， 又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为， 所以，解得或， 即切点分别为和，由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点的圆的半径比过的圆的半径大，所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是1. 故选：A. 【变式7-1】设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由正弦定理及得：， 即，整理得：， 即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故选：D 【变式7-2】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理以及，可得， 在中，代入上式中整理得， ， 即，即，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 题型八：三角形中的平方问题 【例8】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理知， 因为且，可得，即， 又由，可得， 因为，所以，解得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 【变式8-1】已知实数a，b，c满足，则的最大值为 ． 【答案】/4.75 【解析】因为，当且仅当时取到等号， 所以， 由可知可以取到等号，故. 故答案为：. 【变式8-2】的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 题型九：等面积法、张角定理 【例9】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7 【答案】B 【解析】由题意得 ， 即 ，得， 得 ， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 【变式9-1】在中，角所对的边分别为，．，的平分线交于点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：A. 【强化训练】 1．在中，若，且，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理得，则， 又因为，可得，所以， 所以的范围为. 故选：A. 2．在中，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为，所以. 又，所以的范围是. 故选：B 3．在中，的对边分别为，若，则 ；的范围 . 【答案】 【解析】， 由余弦定理可知， 又，所以， ， ∵， ∴， ∴，∴ ∴. 故答案为：；. 4．已知锐角，角所对的边分别为 ，若，，则a的取范围是 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得， 又由余弦定理得，可得， 因为，可得， 因为为锐角三角形，所以，可得， 所以， 又因为，所以， 因为，可得，所以， 即，解得或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【解析】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则， 所以边上中线的范围是. 6．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 7．若△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．若，，且． (1)若，求； (2)证明：； (3)求的范围． 【解析】（1）由题，可得，由正弦定理得，即． 由于，且由余弦定理， 化简可得，解得． （2）由（1）得，代入，则有， 化简可得， 即， 当且仅当即时，等号可以取到． 因此，． （3）由（2），可得及，解得． 又因为，，有，及， 解得． 综上，． 8．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，且__________. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 【解析】（1）若选①：整理得，因为， 所以，因为，所以； 若选②：因为， 由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以； 若选③：由正弦定理整理得，所以， 即，因为，所以； （2）将代入正弦定理，得，所以， 因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以， 即，又，所以，解得. 9．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【解析】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得                   所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． 10．如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．    (1)若，求PM的长； (2)求的面积最大值． 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 又，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以； （2）设， 则在中，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号， 即的面积最大值为． 11．中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A； (2)若， 求BC边上高的最大值. 【解析】（1）因为 由正弦定理得， 因为, 所以， 所以 因为， 所以， 所以，所以， 因为 所以，. （2）因为，， 由余弦定理得： ，即， 因为即，即， ， 设中BC边上高为，则，所以， 即BC边上高的最大值为. 12．已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【解析】（1）依题意，解得， 故的外接圆半径． （2）由（1）知，， 由余弦定理，， 因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以周长的最大值为． 13．已知. (1)求的最小正周期； (2)中，角所对边分别为，且. ①求角的大小； ②若为锐角三角形，且，求的最大值. 【解析】（1）因为， 所以， 所以的最小正周期为. （2）①因为，所以， 又，则， 所以或，即或（舍去）， 所以. ②由正弦定理，得， 则 ， 其中为锐角，且， 又，则， 所以当时，取得最大值. 14．在锐角中，分别是角的对边，. (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，所以， 即， 又因为，所以 又因为，所以， 因为，所以； （2）在锐角中，由（1）得，， 所以 ， 由，所以 所以的取值范围为； （3）当取得最大值时，，解得； 在中，令， 则，所以； 又， 所以， 所以. 所以 ，而， 故当时等号成立， 所以面积的最大值为. 15．已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 【解析】（1）由余弦定理可得， 又，即，， ，； （2），， 又，，， ，； （3）取的中点为，则，   ， ，，又，为等边三角形，， 在中，由余弦定理可得， 即， 又由基本不等式可得， ，当且仅当时等号成立， ，的最大值为4． 16．在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由题意知， 即，由正弦定理得 由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， ， 即，当且仅当时等号成立． 此时面积的最大值为 （3）∵，∴，， 则的周长 ∵，∴，∴， ∴， ∴周长的取值范围是． 17．已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以. （2）由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. （3）， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 18．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【解析】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为1． (1)求角A； (2)求边a的最小值． 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 即， 所以， 因为，所以，，， 所以，即，又，所以． （2）因为BC边的中线长为1，所以， 所以，即， 解得，当且仅当时取等号． 所以 ， 所以a的最小值为． 20．已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【解析】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五： 倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典例例题】 题型一：周长问题 【例1】记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，则锐角周长的范围是 . 【变式1-2】设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【变式1-3】在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 题型二：面积问题 【例2】已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，a=2，且，则的面积的范围（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数. (1)若为函数一个零点，求. (2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围. 【变式2-2】在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 【变式2-3】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 题型三：长度问题 【例3】已知锐角内角的对边分别为.若. (1)求； (2)若，求的范围. 【变式3-1】在中，角所对的边分别为，. (1)求角； (2)若，求的范围. 【变式3-2】在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，且_____，． (1)若，求的面积； (2)求周长的范围 (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【变式3-3】已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足． (1)判断角B与角C的关系，并说明理由； (2)若，求的范围． 题型四：转化为角范围问题 【例4】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【变式4-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 【变式4-2】已知a，b，c为锐角的内角A，B，C的对边，满足. (1)证明为等腰三角形； (2)若的外接圆面积为，求的范围. 【变式4-3】在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型五： 倍角问题 【例5】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为 . 【变式5-1】已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ． 【变式5-2】在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：与正切有关的最值问题 【例6】已知锐角中，角的对边分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 题型七：最大角问题 【例7】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式7-1】设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型八：三角形中的平方问题 【例8】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知实数a，b，c满足，则的最大值为 ． 【变式8-2】的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：等面积法、张角定理 【例9】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7 【变式9-1】在中，角所对的边分别为，．，的平分线交于点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【强化训练】 1．在中，若，且，则的范围为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别为，若，则 ；的范围 . 4．已知锐角，角所对的边分别为 ，若，，则a的取范围是 . 5．在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 6．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 7．若△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．若，，且． (1)若，求； (2)证明：； (3)求的范围． 8．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，且__________. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 9．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 10．如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．    (1)若，求PM的长； (2)求的面积最大值． 11．中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A； (2)若， 求BC边上高的最大值. 12．已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 13．已知. (1)求的最小正周期； (2)中，角所对边分别为，且. ①求角的大小； ②若为锐角三角形，且，求的最大值. 14．在锐角中，分别是角的对边，. (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 15．已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 16．在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围． 17．已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 18．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为1． (1)求角A； (2)求边a的最小值． 20．已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$