精品解析：江苏省徐州市第三中学2022～2023学年高二上学期期中考试数学试题

徐州三中2022~2023学年度高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列1，，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别观察分子分母寻找规律即可. 【详解】 ，，，， ， 故选:B 【点睛】通过列举观察寻找数列的通项是探求数列通项的基本方法. 2. 下列双曲线中，渐近线方程为的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为，故选A. 考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式. 3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】仍成等差数列，据此求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和， 根据等差数列的性质得到：仍成等差数列， 记， 设， ， ，解得， 所以， 故选：C. 4. 若直线与直线平行，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行关系，可得的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断. 【详解】由直线与直线平行可得： ，解得：或， 检验，当时，直线与直线重合，故舍去； 当时，直线与直线平行； 故选：A. 5. 已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ） A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 6. 给出下列说法： ①方程表示一个圆； ②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切. 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案； 对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案； 对于③，根据双曲线的定义，可得答案； 对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】方程即不表示圆，故①错； 若m>n>0，则方程，即，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对； 已知点、，若，所以动点P的轨迹是一条射线，故③错； 设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M,由抛物线的定义可得即为AB两点到准线的距离和，即为M点到准线距离的两倍，所以以AB为直径的圆与准线相切，故④对； 故选：B. 7. 已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，，， ，解得，， ， ，可得单调递增数列， 所以在，，，中，最大的为． 故选：D. 8. 阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值. 【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系， 则、，设，，， 两边平方并整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则有，如下图所示： 当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且， 因此，，故选A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 在公比为等比数列中，为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件求出数列的通项公式及前项和，再逐一分析各选项判断作答. 【详解】因为等比数列的公比，又，则，而，解得，A正确； 前项和，则，数列是等差数列，B正确； 又，则，有，数列是等比数列，C正确； 因，则，显然不是常数，数列不是等比数列，D不正确. 故选：ABC 10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径的圆的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】 由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项 【详解】解：对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确； 对于B，由双曲线，可得，则，设，则， 所以，得， 因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确； 对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误； 对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AB 【点睛】此题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 11. 等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 当或10时，取最大值 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C、D两选项；当时，，有最小值，故B错误. 【详解】解：，，故正确A. 由，当时，，有最小值，故B错误. ，所以，故C错误. ， ，故D正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题. 12. 设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点(1，3) B. 直线与圆C相交最短弦长为2 C. 动点P的曲线与圆C相交 D. |PA|+|PB|最大值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A； 由题意可知当时所得弦长最短，由求出进而得到的方程，结合 到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B； 当时得到，P在圆C外；当时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C； 由题可证，设可得，进而得到 ，结合三角函数的值域即可判断D. 【详解】A：由， 有，所以直线过的定点为，故A正确； B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当 时所得弦长最短，则，又，，所以，得 ，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：， 故B正确； C：当时，，则点，此时点P在圆C外； 当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为 圆，得，半径为， 所以圆心距，所以两圆相交.故C正确； D：由， 当时，，有， 当时，，，则，所以， 又点P是两直线的交点，所以，所以， 设，则， 因为，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列的前项和，则数列的第4项是___________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据与的关系，即可得答案； 【详解】， 故答案为：. 【点睛】本题考查与的关系，属于基础题. 14. 过点与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意； ②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即， 要求直线与圆相切，则有，解可得， 此时要求直线的方程为：， 综上可得：所求直线的方程为：或 故答案为或 【点睛】本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题． 15. 已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】由求出点P的轨迹方程为圆，根据题意知两圆有公共点，求出圆心距d，则，列不等式求解r. 【详解】设，由可得， 整理可得，故P点的轨迹是圆， 根据题意知圆与圆有公共点， 又两圆圆心距， 所以应满足，即，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系、轨迹方程的求解，属于基础题. 16. 已知P为上的点，过点P作圆O：的切线，切点为M、N，若使得的点P有8个，则m的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件得到点的轨迹方程为,由条件可得曲线与圆有8个公共点,作出的图象，根据数形结合可得答案. 【详解】如图，根据切线的性质可得与全等， 由，则为等腰直角三角形，则 所以满足条件的点的轨迹方程为： P为与圆的交点, 由条件可得曲线与圆有8个公共点. 对于,当时， 当时， 当时， 当时， 如图，当时，曲线与圆有4个交点. 当时，曲线与圆相切，有4个公共点. 根据图象可得，当时，曲线与圆有8个公共点 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和根据图象的交点个数求参数，解答本题的关键是先求出点的轨迹方程为：，然后转化为曲线与圆有8个公共点.根据图象先求出临界情况的参数值，再数形结合解出答案，属于中档题. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最大值及对应的大小. 【答案】（1）（2）当或时,有最大值为20． 【解析】 【分析】 （1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进而求得的通项公式. （2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小. 【详解】（1）设的公差为，且． 由，得， 由，得， 于是,． 所以的通项公式为． （2）由（1）得 因为， 所以当或时 有最大值为20． 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算，考查等差数列前项和的最值的求法，属于基础题. 18. 已知抛物线． （1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； （2）过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】 【分析】 （1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论； （2）先求出直线方程，联立方程组，求出点，的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出． 【详解】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设方程为，代入，可得， 当时，，满足题意， 当时，，，直线方程为， 综上，直线的方程为或或； （2）抛物线的焦点坐标为， 则过焦点作一条斜率为的直线方程为， 联立，解得或， 不妨令，， ． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题． 19. 数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项； （2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证； （3）利用等比数列通项公式即可求解 【小问1详解】 当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． 【小问2详解】 当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． 【小问3详解】 由（2）得：，所以. 20. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，由，，求出圆心坐标和半径得圆方程； （2）选①，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选②，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选③，由数量积的定义求得，然后同选①求解． 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为， 因为圆心在直线 上，所以. 又圆与轴相切于点，所以， 所以圆的圆心坐标为，则圆的方程为； 【小问2详解】 如果选择条件①，因为，， 所以圆心到直线的距离， 则，解得， 如果选择条件②，因为，， 由垂径定理可知圆心到直线的距离． 则，解得， 如果选择条件③，因为，所以， 得，又， 所以圆心到直线的距离 ， 则，解得． 21. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）若成等比数列，求m的值； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式求解即可； （2）利用分组求和，再利用等差数列、等比数列求和公式求和即可. 【小问1详解】 由题设，故是公差为2的等差数列， 所以，即，得， 所以，又， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 所以. 22. 平面直角坐标系中，椭圆C：（）左，右焦点分别为，，且椭圆的长轴长为，右准线方程为. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l过椭圆C的右焦点，且与椭圆相交与A，B（与左右顶点不重合） （i）椭圆的右顶点为M，设的斜率为，的斜率为，求的值； （ii）若椭圆上存在一点D满足，求直线l的方程. 【答案】（1）;（2）（i）;（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴长和右准线以及，求得值，进而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理. （i）求得，结合韦达定理求得的值. （ii）利用求得点坐标，代入椭圆方程，由此求得直线的方程. 【详解】（1）由于椭圆的长轴长为，右准线方程为，所以，解得，所以椭圆方程为. （2）依题意.设，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，，所以，. （i） . （ii）设，由得，即，即，代入椭圆方程得， 化简得，由于在椭圆上，所以，所以上式可化为，即，即，解得，所以直线的方程为，即. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值问题，考查探究性问题，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2022~2023学年度高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列1，，一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列双曲线中，渐近线方程为的是 A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 4. 若直线与直线平行，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或 5. 已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ） A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 1 6. 给出下列说法： ①方程表示一个圆； ②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ③已知点、，若，则动点轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切. 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 在公比为等比数列中，为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 10. 已知分别是双曲线左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径的圆的方程为 11. 等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 当或10时，取最大值 C. D. 12. 设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点(1，3) B. 直线与圆C相交最短弦长为2 C. 动点P的曲线与圆C相交 D. |PA|+|PB|最大值为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列的前项和，则数列的第4项是___________． 14. 过点与圆相切的直线方程为______. 15. 已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是____. 16. 已知P为上的点，过点P作圆O：的切线，切点为M、N，若使得的点P有8个，则m的取值范围是_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最大值及对应的大小. 18. 已知抛物线． （1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； （2）过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长． 19. 数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 20. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：. 21. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）若成等比数列，求m的值； （2）设，求数列的前n项和． 22. 平面直角坐标系中，椭圆C：（）左，右焦点分别为，，且椭圆的长轴长为，右准线方程为. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l过椭圆C的右焦点，且与椭圆相交与A，B（与左右顶点不重合） （i）椭圆的右顶点为M，设的斜率为，的斜率为，求的值； （ii）若椭圆上存在一点D满足，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $