（篇三）第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）苏教版

第 1 页 共 26 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 26 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情 况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 ................................................................................... 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） .....................................................6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 ................................................................................8 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 .................................................................... 9 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 ..............................................................................10 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 .................................................................. 11 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 ...........................................................12 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 ..............................................................................13 【考点九】和差问题 ........................................................................................................ 15 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 ...................................................................... 16 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 ..........................................................................17 第 3 页 共 26 页 【考点十二】行程问题其三：追及问题 ..........................................................................20 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 .................................................................. 21 【考点十四】鸡兔同笼问题 ............................................................................................. 23 【考点十五】盈亏问题 .....................................................................................................24 【考点十六】年龄问题 .....................................................................................................25 第 4 页 共 26 页 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等 式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出 等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多” 等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程， 因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 第 5 页 共 26 页 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点 6月 5日的接种人数为 1524人，是 6月 4日接种人数的 4倍，该 接种点 6月 4日的接种人数是多少人？ 【对应练习 1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多 少立方米？ 【对应练习 2】 某食堂今天购进的白菜 90千克，是购进的黄瓜的 3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【对应练习 3】 学校买来 24个篮球，是足球的 3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 第 6 页 共 26 页 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题 1】几倍多几。 长方形菜地长是 20米，比宽的 2倍多 2米，宽是多少米？（用方程解） 【对应练习 1】 果园里苹果树的棵数比桃树的 2倍多 38棵，苹果树有 210棵，桃树有多少棵？ （列方程解答） 【对应练习 2】 粮店运来大米 5600千克，已知运来的大米比面粉的 2倍多 200千克，粮店运来 面粉多少千克？ 【对应练习 3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是 4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的 面积比大洋洲的 4倍多 912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用 方程解答） 第 7 页 共 26 页 【典型例题 2】几倍少几。 一个足球 74元，比一个排球价钱的 2倍少 12元，一个排球多少元？（列方程解 答） 【对应练习 1】 在跳绳比赛中，小华跳了 162个，比小红跳的 3倍少 54个，小红跳了多少个？ （用方程解） 【对应练习 2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有 150人参加游园活动，比六年级参加活动的 人数的 3倍少 90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【对应练习 3】 地球绕太阳一周大约要用 365天，比水星绕太阳一周所用时间的 5倍少 75天， 水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 第 8 页 共 26 页 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工 1800人，其中男职工是女职工人数的 4倍，这个钢厂男、女职工 各有多少人？ 【对应练习 1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树 5倍，梨树和桃树一共有 540颗，梨 树和桃树各多少棵？（用方程解） 【对应练习 2】 一辆双层巴士上共有乘客 42人，上层乘客人数是下层乘客人数的 2倍。上、下 层乘客各有多少人？（列方程解答） 【对应练习 3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有 36人，其中护士人数是医 生人数的 3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 第 9 页 共 26 页 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共 500千克，苹果的重量比梨的 4倍多 20千克，苹果比梨多 多少千克？ 【对应练习 1】 图书馆有故事书和科技书共 370本，故事书的本数比科技书的 2倍多 10本，图 书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 【对应练习 2】 某学校女教师和男教师共 46人，女教师人数比男教师人数的 2倍多 4人，男教 师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【对应练习 3】 一个篮球的质量比一个排球的 2倍多 100克，3个篮球和 4个排球共重 2800克。 每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 第 10 页 共 26 页 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的 3倍，小鸡比小鸭多 24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【对应练习 1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的 5倍，又知鸭比鹅多 44只，鹅 和鸭各多少只？ 【对应练习 2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的 7倍，桃树比梨树多 156棵，果 园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【对应练习 3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的 4倍，科技书比故事书多 180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 第 11 页 共 26 页 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学 校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有 蓝、绿水彩笔各多少支？ 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今 年各是多少岁？ 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树 多80棵，问两种树各有多少棵？ 第 12 页 共 26 页 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他 未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各 有多少棵？ 【对应练习1】 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人 各捐多少元？ 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙 三数各是多少? 【对应练习 3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的 3倍，丙数比乙数的 2倍多 20。三个 数的和是 80，这三个数分别是多少？ 第 13 页 共 26 页 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量， 再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题 1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小 芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰 兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的 5倍，从甲堆运 80吨到乙堆，这时乙 堆沙子的质量就是甲堆得 5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 【对应练习 3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过 8分钟，甲比乙多行 40米； 如果同时同地背向而行，5分钟后相距 175米，两人每分钟各行多少米？ 第 14 页 共 26 页 【典型例题 2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的 4倍，如果再看 50页，未看页数就 是已看页数的 2倍，这本书共多少页? 【对应练习 1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的 4倍，如果再行 100千米，未 行路程就是已行路程的 2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 【对应练习 2】 修一条公路，未修的长度是已修的 2倍， 如果再修 2000米，已修的长度就是未 修的 2倍，这条公路长多少米? 【对应练习 3】 修一条公路，未修的长度是已修的 3倍， 如果再修 300米，未修的长度就是已 修的 2倍，这条公路长多少米? 第 15 页 共 26 页 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多 8本，两种书一共 92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【对应练习1】 一架钢琴共有 88个键，白键比黑键多 16个。黑键和白键各有多少个？ 【对应练习2】 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是 36岁，3年后，妈妈比小军大 26岁，今年小军和妈 妈各多少岁？ 第 16 页 共 26 页 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是 138千米 /时。 经过 3小时，动车比特快列车多行了 201千米。动车的速度是多少千米 /时？（列 方程解答） 【对应练习 1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距 560米，一天李鹏和王明同时 从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走 45米，王明平均每 分钟走多少米？（用方程解答） 【对应练习 2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距 40千米。B车的速度 是多少千米/小时？ 第 17 页 共 26 页 【对应练习 3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距 300米。小丽和小明两人分别从甲、 乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距 860米。小丽平均每 分钟走 37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题 1】求相遇时间。 截至 2021年 5月，郑州铁路沿线新增游园 102个，打造出了一个安全宜居的铁 路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游 园晨练，她们沿着一条长 2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分 钟跑 260米，同同每分钟跑 240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【对应练习 1】 两艘舰艇同时从相距 948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶 38千米， 另一艘每小时行驶 41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 第 18 页 共 26 页 【对应练习 2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约 55千米。如果甲、乙两 辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行 60千米，乙车每小时行 65千米，甲、 乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 【对应练习 3】 甲、乙两辆汽车同时从相距 840千米的两地相对开出，甲车每小时行 90千米， 乙车每小时行 110千米，经过几小时后两车相遇？ 【典型例题 2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长 800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开 出的 A动车组列车平均每小时行驶 240千米，出发后 1.6小时与从乙地开出的 B 动车组列车相遇。从乙地开出的 B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【对应练习 1】 涂涂家和学校相距 3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电 话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂 涂每分钟走 60米，妈妈每分钟骑多少米？ 第 19 页 共 26 页 【对应练习 2】 两地间的路程是 630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过 4.2小时相遇。甲车每小时行驶 78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【对应练习 3】 两辆汽车同时从相距 1080千米的两地相向而行，经过 8小时相遇。一辆汽车平 均每小时行 60千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【典型例题 3】中点相遇问题。 甲、乙两列火车分别从 A、B两地同时出发，相向而行，经过 1.5小时在离中点 18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的 1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？ （用方程解答） 【对应练习 1】 甲乙两辆旅游车同时从 AB两地相向出发，甲车每小时行 58千米，乙车每小时 行 49千米，两车在离中点 27千米处相遇。求 AB两地的路程。 第 20 页 共 26 页 【对应练习 2】 甲、乙两辆汽车同时从 A、B两地出发相向而行，甲车的速度是 65千米/时，乙 车的速度是 50千米/时，两车在距离中点 90千米处相遇。求 A、B两地的路程。 【对应练习 3】 一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过 15小时在离中 点 3千米处相遇。已知快车平均每小时行 75千米，慢车平均每小时行多少千米？ 【考点十二】行程问题其三：追及问题。 【方法点拨】 追及问题，一般以追及问题的基本公式作为等量关系来列方程，即： 追及路程÷速度差＝追及时间； 速度差×追及时间＝追及路程； 追及路程÷追及时间＝速度差。 【典型例题】 一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车的速度是 45千米/时，货车开出 0.5 小时后，客车以 60千米/时的速度开出，几小时后客车能追上货车？ 【对应练习 1】 学校环形跑道长 400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过 10 分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是 240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 第 21 页 共 26 页 【对应练习 2】 甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。 甲的速度是 250米/分，乙的速度是 210米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ （列方程解答） 【对应练习 3】 明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过 18分钟 明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过 2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟 走 60米，甲、乙两地相距多少米？ 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题。 【方法点拨】 流水行船问题一般是研究船在“流水”中航行的问题，它是行程问题中比较特殊的 一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不 同作用。 1. 船速：船在静水中航行的速度。 2. 水速：水流动的速度。 3. 顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。 4. 流水行船问题基本数量关系： 顺速=船速＋水速；逆速=船速－水速； 船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2； 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2； 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间； 路程=逆流速度×逆流航行所需时间。 【典型例题】 第 22 页 共 26 页 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶， 用了 2.5小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度。 【对应练习 1】 船从甲港顺流而下到达乙港用了 15小时，从乙港返回甲港用了 24小时，船在静 水中的速度是 13 千米/时，水流的速度是多少? 【对应练习 2】 船从甲地顺流开往乙地，所用时间比从乙地逆流开往甲地少 1.5 小时。已知船在 静水中的速度为 18千米/时，水流的速度为 2千米/时，求甲、乙两地的距离。 【对应练习 3】 一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行 4.6 小时，飞机出航时顺风飞行，在静 风中的速度是 575千米/时，风速是 25千米/时，这架飞机最多飞出多长时间就应 该返回? 第 23 页 共 26 页 【考点十四】鸡兔同笼问题。 【方法点拨】 以脚的数量和作为等量关系来列方程，设兔的只数为 x，用 x表示另一未知量。 【典型例题】 鸡兔同笼，兔比鸡多 15只，鸡和兔共有 186只脚。鸡和兔各有多少只？ 【对应练习 1】 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多少 只？（列方程解答） 【对应练习 2】 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡和兔 各有多少只？（用方程解） 【对应练习 3】 鸡兔同笼，鸡和兔一共有 20只，鸡和兔的腿共有 72条。鸡和兔分别有几只？ 第 24 页 共 26 页 【考点十五】盈亏问题。 【方法点拨】 以总数量作为等量关系来列方程，设总人数为 x。 【典型例题】 把一袋糖分给幼儿园的小朋友，如果每人分4颗糖，就会多出5颗糖；如果每人分 5颗糖，就会少4颗，这袋糖有多少颗？ 【对应练习1】 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中二人各擦 4块，其余每人擦 5块，则余 22块；如果每人擦 7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃块数。 【对应练习2】 李师傅加工一批零件，如果每天做 50个，要比原计划晚 8天完成．如果每天做 60个，就可提前 5天完成．这批零件共有多少个？ 【对应练习3】 学校买回一些练习本，按计划的人数发放，如果每人发 4本，则剩余 48本，如 果每人发 6本，则又少 8本，学校买回多少练习本？计划发放的人数是多少？ 第 25 页 共 26 页 【考点十六】年龄问题。 【方法点拨】 以年龄差作为等量关系来列方程，问什么设什么，直接设未知数。 【典型例题 1】问题一。 爸爸今年 37岁，儿子 13岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 3倍？ 【对应练习1】 父亲今年45岁，儿子今年15岁，几年前父亲的年龄是儿子的11倍？ 【对应练习2】 小军今年8岁，爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸年龄是小军的3倍？ 【对应练习3】 妈妈今年46岁，小倩今年12岁，再过多少年妈妈的年龄是小倩的3倍？ 【典型例题 2】问题二。 10年前叔叔的年龄是乐乐的 4倍，今年叔叔的年龄是乐乐的 2倍，叔叔今年多 少岁？ 第 26 页 共 26 页 【对应练习 1】 今年父亲的年龄是儿子年龄的 4倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的 2.2倍。今 年儿子多少岁？ 【对应练习 2】 今年妈妈 45岁，哥哥的年龄是妹妹的 2倍。12年后，妈妈的年龄恰好等于兄妹 俩年龄之和，今年妹妹多少岁？ 【对应练习 3】 田田比心心小 3岁，今年她们的年龄和是老师年龄的一半。再过 15年，她们的 年龄和等于老师的年龄，今年田田多少岁？ 第 1 页 共 44 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 44 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情 况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 ................................................................................... 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） .....................................................6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 ..............................................................................10 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 .................................................................. 12 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 ..............................................................................15 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 .................................................................. 17 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 ...........................................................18 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 ..............................................................................20 【考点九】和差问题 ........................................................................................................ 22 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 ...................................................................... 24 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 ..........................................................................27 第 3 页 共 44 页 【考点十二】行程问题其三：追及问题 ..........................................................................34 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 .................................................................. 37 【考点十四】鸡兔同笼问题 ............................................................................................. 39 【考点十五】盈亏问题 .....................................................................................................41 【考点十六】年龄问题 .....................................................................................................42 第 4 页 共 44 页 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等 式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出 等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多” 等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程， 因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 第 5 页 共 44 页 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点 6月 5日的接种人数为 1524人，是 6月 4日接种人数的 4倍，该 接种点 6月 4日的接种人数是多少人？ 解析： 解：设该接种点 6月 4日的接种人数是 x人。 4x＝1524 x＝1524÷4 x＝381 答：该接种点 6月 4日的接种人数是 381人。 【对应练习 1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多 少立方米？ 解析： 解：设上个月用水x立方米。 1.2x=9.6 x=8 答：略。 【对应练习 2】 某食堂今天购进的白菜 90千克，是购进的黄瓜的 3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【答案】30千克 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设购进的黄瓜有 x千克，根据购进的黄 瓜质量×3＝购进的白菜质量，列出方程解答即可。 【详解】解：设购进的黄瓜有 x千克。 3x＝90 第 6 页 共 44 页 3x÷3＝90÷3 x＝30 答：购进的黄瓜有 30千克。 【对应练习 3】 学校买来 24个篮球，是足球的 3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 【答案】8个 【分析】根据题意可知：足球的数量×3＝篮球的数量，设学校买来 x个足球，据 此列方程解答。 【详解】解：设学校买来 x个足球。 3x＝24 x＝24÷3 x＝8 答：学校买来足球 8个。 【点睛】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进 而列出方程是解答此类问题的关键。 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题 1】几倍多几。 长方形菜地长是 20米，比宽的 2倍多 2米，宽是多少米？（用方程解） 【答案】9米 【分析】根据“长是 20米，比宽的 2倍多 2米”可得出等量关系：宽×2＋2＝长， 据此列出方程，并求解。 【详解】解：设宽是 x米。 2 x＋2＝20 2 x＋2－2＝20－2 2 x＝18 第 7 页 共 44 页 2 x÷2＝18÷2 x＝9 答：宽是 9米。 【对应练习 1】 果园里苹果树的棵数比桃树的 2倍多 38棵，苹果树有 210棵，桃树有多少棵？ （列方程解答） 【答案】86棵 【分析】由题意可知，“桃树的棵数×2＋38＝苹果树的棵数”，根据此关系式列方 程求出桃树棵数。 【详解】解：设桃树有 x棵。 2x＋38＝210 2x＋38－38＝210－38 2x＝172 2x÷2＝172÷2 x＝86 答：桃树有 86棵。 【对应练习 2】 粮店运来大米 5600千克，已知运来的大米比面粉的 2倍多 200千克，粮店运来 面粉多少千克？ 【答案】2700千克 【分析】把粮店运来面粉的重量设为 x千克，根据运来的大米比面粉的 2倍多 200千克，找出等量关系：面粉的重量×2＋200＝运来大米的重量，据此列出方 程，根据等式的性质解方程，据此解答。 【详解】解：设粮店运来面粉 x千克。 2 200 5600x   2 200 200 5600 200x     2 5400x  2 2 5400 2x    2700x  第 8 页 共 44 页 答：粮店运来面粉 2700千克。 【对应练习 3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是 4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的 面积比大洋洲的 4倍多 912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用 方程解答） 【答案】897万平方千米 【分析】由题意可知，设大洋洲的面积是 x万平方千米，再根据等量关系：大洋 洲的面积×4＋912＝亚洲的面积，据此列方程解答即可。 【详解】解：设大洋洲的面积是 x万平方千米。 4x＋912＝4500 4x＋912－912＝4500－912 4x＝3588 4x÷4＝3588÷4 x＝897 答：大洋洲的面积是 897万平方千米。 【典型例题 2】几倍少几。 一个足球 74元，比一个排球价钱的 2倍少 12元，一个排球多少元？（列方程解 答） 【答案】43元 【分析】设一个排球 x元，根据等式关系排球的 2倍－12＝足球的价钱，列方程 解答即可。 【详解】解：设一个排球 x元。 2x 12 74  2x 12 12 74 12    2x 86 2x 2 86 2   x 43 答：一个排球 43元。 【对应练习 1】 第 9 页 共 44 页 在跳绳比赛中，小华跳了 162个，比小红跳的 3倍少 54个，小红跳了多少个？ （用方程解） 【答案】72个 【分析】设小红跳了 x个，则小华跳了（3x－54）个，已知小华跳了 162个，据 此列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】解：设小红跳了 x个。 3 54 162x   3 54 54 162 54x     3 216x  3 3 216 3x    72x  答：小红跳了 72个。 【对应练习 2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有 150人参加游园活动，比六年级参加活动的 人数的 3倍少 90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【答案】80人 【分析】根据题意可得出等量关系：六年级参加活动的人数×3－90＝五年级参加 活动的人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：六年级有 x人参加游园活动。 3 x－90＝150 3 x－90＋90＝150＋90 3 x＝240 3 x÷3＝240÷3 x＝80 答：六年级有 80人参加游园活动。 【对应练习 3】 地球绕太阳一周大约要用 365天，比水星绕太阳一周所用时间的 5倍少 75天， 水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 【答案】88天 第 10 页 共 44 页 【分析】根据题意可知，水星绕太阳一周大约要用 x天，水星绕太阳一周所用时 间×5－75天＝地球绕太阳一周所用时间，据此列方程为 5x－75＝365，然后解出 方程即可。 【详解】解：设水星绕太阳一周大约要用 x天。 5x－75＝365 5x－75＋75＝365＋75 5x＝440 5x÷5＝440÷5 x＝88 答：水星绕太阳一周大约要用 88天。 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工 1800人，其中男职工是女职工人数的 4倍，这个钢厂男、女职工 各有多少人？ 【答案】男职工：1440；女职工：360人 【分析】设这个钢厂女职工有 x人，男职工是女职工人数的 4倍，则男职工有 4x人，一共有 1800人，即男职工人数＋女职工人数＝1800，列方程：x＋4x＝ 1800，解方程，即可解答。 【详解】解：设这个钢厂女职工有 x人，则男职工有 4x人。 x＋4x＝1800 5x＝1800 5x÷5＝1800÷5 x＝360 男职工：360×4＝1440（人） 答：这个钢厂男职工有 1440人，女职工有 360人。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用男、女职工人数与总人数之间的关系， 第 11 页 共 44 页 设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【对应练习 1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树 5倍，梨树和桃树一共有 540颗，梨 树和桃树各多少棵？（用方程解） 【答案】梨树 450棵；桃树 90棵 【分析】设桃树有 x棵，则梨树有 5x棵，根据梨树棵数＋桃树棵数＝540，列出 方程求出 x的值是桃树棵数，桃树棵数×5＝梨树棵数。 【详解】解：设桃树有 x棵。 5x＋x＝540 6x＝540 6x÷6＝540÷6 x＝90 90×5＝450 答：梨树和桃树各 450棵、90棵。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习 2】 一辆双层巴士上共有乘客 42人，上层乘客人数是下层乘客人数的 2倍。上、下 层乘客各有多少人？（列方程解答） 【答案】28人；14人 【分析】假设下层乘客人数是 x人，则上层乘客人数是（2×x）人，根据数量关 系：上层乘客人数＋下层乘客人数＝42，据此列出方程，解方程即可分别求出下 层的乘客人数，继而求出上层的乘客人数。 【详解】解：设下层乘客人数是 x人，则上层乘客人数是（2×x）人。 x＋2×x＝42 （1＋2）x＝42 3x＝42 3x÷3＝42÷3 x＝14 14×2＝28（人） 第 12 页 共 44 页 答：上层乘客有 28人，下层乘客有 14人。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把下层乘客人数设为未知数 x，找出题中 数量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习 3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有 36人，其中护士人数是医 生人数的 3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 【答案】医生：9人；护士：27人 【分析】设医生有 x人，则护士有 3x人，根据医生人数＋护士人数＝总人数， 列出方程求出 x的值，是医生人数，医生人数×3＝护士人数，据此分析。 【详解】解：设医生有 x人。 x＋3x＝36 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 9×3＝27（人） 答：参加支援的医生有 9人，护士有 27人。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共 500千克，苹果的重量比梨的 4倍多 20千克，苹果比梨多 多少千克？ 【答案】308千克 【分析】根据题意可知，“梨的质量×4＋20＝苹果的重量”、“苹果的重量＋梨的 质量＝总质量”，据此列方程求出梨和苹果的质量，再进一步解答即可。 【详解】解：设梨的质量为 x千克，苹果的质量为（4x＋20）千克； 4x＋20＋x＝500 第 13 页 共 44 页 5x＝480 x＝96； 4×96＋20 ＝384＋20 ＝404（千克）； 404－96＝308（千克）； 答：苹果比梨多 308千克。 【点睛】根据梨和苹果质量的倍数关系设出未知量，根据总质量列方程解答。 【对应练习 1】 图书馆有故事书和科技书共 370本，故事书的本数比科技书的 2倍多 10本，图 书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 【答案】故事书 250本，科技书 120本 【分析】设科技书有 x本，则故事书有（2x＋10）本，再根据图书馆有故事书和 科技书共 370本列出方程解答即可。 【详解】解：设科技书有 x本，则故事书有（2x＋10）本。 2 10 370x x   3 10 370x   3 360x  120x  故事书：370－120＝250（本） 答：图书馆有故事书 250本，科技书 120本。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到题目中的等量关系式。 【对应练习 2】 某学校女教师和男教师共 46人，女教师人数比男教师人数的 2倍多 4人，男教 师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【答案】男教师 14人，女教师 32人 【分析】由题意可知，“男教师的人数＋女教师人数＝46”，由此列方程解答即可。 【详解】解：设男教师有 x人，则女教师有 2x＋4人。 x＋2x＋4＝46 第 14 页 共 44 页 3x＋4＝46 3x＝42 x＝14； 46－14＝32（人） 答：男教师 14人，女教师 32人。 【点睛】明确男教师的人数和女教师人数之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习 3】 一个篮球的质量比一个排球的 2倍多 100克，3个篮球和 4个排球共重 2800克。 每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 【答案】篮球 600克；排球 250克 【分析】根据“一个篮球的质量比一个排球的 2倍多 100克”，设每个排球重 x克， 则每个篮球（2 x＋100）克。 等量关系：每个篮球的质量×3＋每个排球的质量×4＝3个篮球和 4个排球的总质 量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设每个排球重 x克，则每个篮球（2 x＋100）克。 3（2 x＋100）＋4 x＝2800 6 x＋300＋4 x＝2800 10 x＋300＝2800 10 x＋300－300＝2800－300 10 x÷10＝2500÷10 x＝250 每个篮球重： 2×250＋100 ＝500＋100 ＝600（克） 答：每个篮球重 600克，每个排球重 250克。 【点睛】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“比”后面的量为 x，找到另一个 第 15 页 共 44 页 未知数与 x的关系，然后根据等量关系列出方程。 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的 3倍，小鸡比小鸭多 24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【答案】36只；12只 【分析】设小鸭有 x只，则小鸡有 3x只，小鸡比小鸭多 24只，即小鸡的数量－ 小鸭的数量＝24，据此列方程解答。 【详解】解：设小鸭有 x只，则小鸡有 3x只， 3x－x＝24 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 12×3＝36（只） 答：小鸡有 36只，小鸭有 12只。 【对应练习 1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的 5倍，又知鸭比鹅多 44只，鹅 和鸭各多少只？ 【答案】鹅 11只，鸭 55只 【分析】将鹅的数量设为 x只，那么鸭的数量有 5x只。据此，再根据“鸭－鹅＝ 44只”这一数量关系列方程解方程即可。 【详解】解：设鹅有 x只。 5x－x＝44 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 第 16 页 共 44 页 44＋11＝55（只） 答：鹅有 11只，鸭有 55只。 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是找出数量关系并列方程。 【对应练习 2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的 7倍，桃树比梨树多 156棵，果 园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】梨树：26棵；桃树：182棵 【分析】设梨树有 x棵，桃树是梨树的 7倍，则桃树有 7x棵，桃树比梨树多 156 棵，即用桃树棵数－梨树棵数＝156，列方程：7x－x＝156，解方程，即可解答。 【详解】解：设梨树有 x棵，桃树有 7x棵。 7x－x＝156 6x＝156 6x÷6＝156÷6 x＝26 桃树：26×7＝182（棵） 答：梨树有 26棵，桃树有 182棵。 【对应练习 3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的 4倍，科技书比故事书多 180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 【答案】故事书 60本；科技书 240本 【分析】假设故事书有 x本，则科技书有 4x本，再根据数量关系：科技书的本 数－故事书的本数＝180，据此列出方程，即可分别求出科技书和故事书各是多 少本。 【详解】解：设故事书有 x本，则科技书有 4x本， 4x－x＝180 3x＝180 3x÷3＝180÷3 x＝60 60×4＝240（本） 第 17 页 共 44 页 答：故事书有 60本，科技书有 240本。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把故事书的本数设为未知数 x，找出题中 数量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学 校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 解析： 解：设彩色粉笔有x箱，则白粉笔有（4x+3）箱。 4x+3-x=15 x=4 白粉笔：4+15=19（箱） 答：略。 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有 蓝、绿水彩笔各多少支？ 解析： 解：设绿色水彩笔有x支，则蓝色水彩笔有（3x-3）支。 3x-3-x=97 x=50 蓝色：50+97=147（支） 答：略。 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今 年各是多少岁？ 解析： 第 18 页 共 44 页 解：设小芳今年x岁，则爸爸今年（4x+5）岁。 4x+5-x=29 x=8 爸爸：8+29=37（岁） 答：略。 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树 多80棵，问两种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则苹果树有（3x-10）棵。 3x-10-x=80 x=45 苹果树：45+80=125（棵） 答：略。 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他 未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各 有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，杏树有3x棵。 x+2x+3x=240 x=40 桃树：80棵 杏树：120棵。 答：略。 【对应练习1】 第 19 页 共 44 页 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人 各捐多少元？ 解析： 解：设丙捐款x元，则乙捐款2x元，甲捐款6x元。 x+2x+6x=270 x=30 甲：180元 乙：60元 答：略。 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙 三数各是多少? 解析： 解：设乙数是x，则甲数是（2x+7），丙数是（3x-4）。 x+2x+7+3x-4=183 x=30 甲数：67 丙数：86 答：略。 【对应练习 3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的 3倍，丙数比乙数的 2倍多 20。三个 数的和是 80，这三个数分别是多少？ 【答案】甲数：6；乙数：18；丙数：56 【分析】假设甲数是 x，则乙数是 3x，根据数量关系：乙数×2＋20＝丙数，代入 表示出丙数是 3x×2＋20＝6x＋20，再根据数量关系：甲数＋乙数＋丙数＝80， 代入未知数，据此列出方程，解方程即可求出甲数，继而求出乙数和丙数。 【详解】解：设甲数是 x，则乙数是 3x，丙数是 6x＋20 x＋3x＋6x＋20＝80 （1＋3＋6）x＝80－20 第 20 页 共 44 页 10x＝60 x＝60÷10 x＝6 6×3＝18 6×6＋20 ＝36＋20 ＝56 答：甲数是 6，乙数是 18，丙数是 56。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲数设为未知数 x，找出题中数量间的 相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量， 再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题 1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小 芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 解：设原来小强有课外书x本，那么小芳就有3x本 x+10=3（3x-10） x+10=9x-30 8x=40 x=5 小芳原有课外书 3×5=15（本） 小强现在有课外书 5+15=20（本） 小芳现在有课外书 15-10=5（本） 答：小强现在有课外书15本，小芳现在有课外书5本。 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰 兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 第 21 页 共 44 页 解析： 解：设兰兰原来有x张邮票。 （4x-18）×4=x+18 x=6 6×4=24（张） 24-18=6（张） 6+18=24（张） 答：红红现在有6张邮票，兰兰现在有24张邮票。 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的 5倍，从甲堆运 80吨到乙堆，这时乙 堆沙子的质量就是甲堆得 5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 解析： 解：设乙堆原来有 x吨。则甲堆原来有 5x吨。 5（5x-80）=x+80 x=20 现在甲堆：5×20-80=20（吨） 现在乙堆：20+80=100（吨） 答：现在工地甲堆有 20吨，乙堆有 100吨。 【对应练习 3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过 8分钟，甲比乙多行 40米； 如果同时同地背向而行，5分钟后相距 175米，两人每分钟各行多少米？ 解析： 解：设乙每分钟行 x米，则甲每分钟行（x+40÷8）米。 （x+x+40÷8）×5=175 x=15 甲每分钟行：15+40÷8=20（米） 答：甲每分钟行 20米，乙每分钟行 15米。 【典型例题 2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的 4倍，如果再看 50页，未看页数就 第 22 页 共 44 页 是已看页数的 2倍，这本书共多少页? 解析： 解：设已看页数是 x页，那么未看页数就是 4x页 4x－50=（x＋50）×2 4x－50=2x＋100 2x=150 x=75 未看页数：75×4=300（页） 总页数：75＋300=375（页） 答：这本书共 375页。 【对应练习 1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的 4倍，如果再行 100千米，未 行路程就是已行路程的 2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 解析：750千米 【对应练习 2】 修一条公路，未修的长度是已修的 2倍， 如果再修 2000米，已修的长度就是未 修的 2倍，这条公路长多少米? 解析：6000米 【对应练习 3】 修一条公路，未修的长度是已修的 3倍， 如果再修 300米，未修的长度就是已 修的 2倍，这条公路长多少米? 解析：3600米 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多 8本，两种书一共 92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【答案】科技书有 42本；故事书有 50本 【分析】可以设科技书有 x本，题中存在的等量关系是：故事书的本数＋科技书 第 23 页 共 44 页 的本数＝故事书和科技书一共的本数，据此代入数值作答即可。 【详解】解：设科技书有 x本，故事书有（x＋8）本， x＋8＋x＝92 2x＋8＝92 2x＋8－8＝92－8 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 8＋42＝50（本） 答：科技书有 42本，故事书有 50本。 【点睛】本题考查了列方程解应用题，关键是找出等量关系，再进行解答。 【对应练习1】 一架钢琴共有 88个键，白键比黑键多 16个。黑键和白键各有多少个？ 【答案】黑键：36个；白键：52个 【分析】假设黑键有 x个，白键比黑键多 16个，则白键有（16＋x）个，根据题 目中的数量关系：黑键的数量＋白键的数量＝88，据此列出方程，解方程即可求 出黑键和白键各有多少个。 【详解】解：设黑键有 x个，白键有（16＋x）个。 x＋（16＋x）＝88 x＋x＋16＝88 2x＝88－16 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 36＋16＝52（个） 答：黑键有 36个，白键有 52个。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把黑键的数量设为未知数 x，找出题中数 量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习2】 第 24 页 共 44 页 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 解析： 解：设乙的年龄是x岁，则甲是（x-5）岁。 x+x-5=35 x=20 甲：20-5=15（岁） 答：略。 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是 36岁，3年后，妈妈比小军大 26岁，今年小军和妈 妈各多少岁？ 解析： 解：设今年妈妈 x岁，则今年小军（36－ x）岁。 x－（36－ x）＝26 x－36＋ x＝26 2 x－36＝26 2 x－36＋36＝26＋36 2 x＝62 2 x ÷2＝62÷2 x＝31 今年小军：36－31＝5（岁） 答：今年小军 5岁，妈妈 31岁。 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是 138千米 /时。 第 25 页 共 44 页 经过 3小时，动车比特快列车多行了 201千米。动车的速度是多少千米 /时？（列 方程解答） 【答案】205千米 /时 【分析】设动车的速度是 x千米/时，根据等量关系：（动车的速度－特快列车 的速度）×行驶的时间 ＝动车比特快列车多行的路程，列方程解答即可。 【详解】解：设动车的速度是 x千米 /时。 ( 138) 3 201x     138 3 3 201 3x      138 67x   138 138 67 138x     205x  答：动车的速度是 205千米 /时。 【点睛】本题考查列方程解决问题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知 数为 x，由此列方程解决问题。 【对应练习 1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距 560米，一天李鹏和王明同时 从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走 45米，王明平均每 分钟走多少米？（用方程解答） 【答案】35米 【分析】设王明平均每分钟走 x米；王明 7分钟走 7x米；李鹏平均每分钟走 45 米，7分钟走 45×7米，两家相距 560米，即王明走的路程＋李鹏走的路程＝两 家相距 560米，列方程：7x＋45×7＝560，解方程，即可解答。 【详解】解：设王明平均每分钟走 x米。 7x＋45×7＝560 7x＋315＝560 7x＋315－315＝560－315 7x＝245 7x÷7＝245÷7 x＝35 第 26 页 共 44 页 答：王明平均每分钟走 35米。 【对应练习 2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距 40千米。B车的速度 是多少千米/小时？ 【答案】41千米/小时 【分析】根据题意可知，A车的速度×A车行驶的时间－B车的速度×B车行驶的 时间＝路程差，据此设 B车的速度是 x千米/小时，45×10－10x＝40，然后解出 方程即可。 【详解】解：设 B车速度是 x千米/小时。 45×10－10x＝40 450－10x＝40 10x＝450－40 10x＝410 10x÷10＝410÷10 x＝41 答：B车速度是 41千米/小时。 【对应练习 3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距 300米。小丽和小明两人分别从甲、 乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距 860米。小丽平均每 分钟走 37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【答案】43米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：小丽的速度×时间＋小明的速 度×时间＋甲、乙两幢大楼相距的距离＝7分钟后小丽和小明相距的距离，据此 列出方程，并求解。 【详解】解：设小明平均每分钟走 x米。 37×7＋7 x＋300＝860 第 27 页 共 44 页 259＋7 x＋300＝860 559＋7 x＝860 559＋7 x－559＝860－559 7 x＝301 7 x÷7＝301÷7 x＝43 答：小明平均每分钟走 43米。 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题 1】求相遇时间。 截至 2021年 5月，郑州铁路沿线新增游园 102个，打造出了一个安全宜居的铁 路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游 园晨练，她们沿着一条长 2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分 钟跑 260米，同同每分钟跑 240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【答案】（1）见详解；（2）5分钟 【分析】（1）已知蓝蓝每分钟跑 260米，同同每分钟跑 240米，她们沿着一条 长 2500米的跑道从两端同时出发，相向而行，从他们出发到相遇，所用时间相 同，且两人的路程和等于跑道的长度，据此可列数量关系式：蓝蓝的速度×相遇 时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和，据此画图。 （2）假设两人 x分钟后相遇，根据（1）可列方程：260x＋240x＝2500，然后解 出方程即可。 第 28 页 共 44 页 【详解】（1） 数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和 （2）解：设两人 x分钟后相遇。 260x＋240x＝2500 500x＝2500 500x÷500＝2500÷500 x＝5 答：两人 5分钟后相遇。 【点睛】本题考查了列方程解决问题，找到对应的数量关系式是解题的关键。 【对应练习 1】 两艘舰艇同时从相距 948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶 38千米， 另一艘每小时行驶 41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 【答案】12小时 【分析】把相遇时间设为未知数，等量关系式：两艘舰艇的速度和×相遇时间＝ 两个港口之间的总路程，据此列方程解答。 【详解】解：设经过 x小时两艘舰艇相遇。 （38＋41）x＝948 79x＝948 x＝948÷79 x＝12 答：经过 12小时两艘舰艇相遇。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系是解答题目的关键。 【对应练习 2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约 55千米。如果甲、乙两 辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行 60千米，乙车每小时行 65千米，甲、 乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 第 29 页 共 44 页 【答案】0.44小时 【分析】根据题意可得，等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝ 桥隧的长度；据此设甲、乙两车经过 x小时相遇，列式为：（60＋65）×x＝55， 解方程即可。 【详解】解：设甲、乙两车经过 x小时相遇，可得： （60＋65）×x＝55 125x＝55 x＝0.44 答：甲、乙两车经过 0.44小时相遇。 【点睛】找出等量关系，正确列方程并解方程，是解答此题的关键。 【对应练习 3】 甲、乙两辆汽车同时从相距 840千米的两地相对开出，甲车每小时行 90千米， 乙车每小时行 110千米，经过几小时后两车相遇？ 【答案】4.2小时 【分析】设经过 x小时后两车相遇，速度×时间＝路程，根据两车速度和×相遇 时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过 x小时后两车相遇。 （90＋110）x＝840 200x＝840 200x÷200＝840÷200 x＝4.2 答：经过 4.2小时后两车相遇。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找 到等量关系。 【典型例题 2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长 800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开 出的 A动车组列车平均每小时行驶 240千米，出发后 1.6小时与从乙地开出的 B 第 30 页 共 44 页 动车组列车相遇。从乙地开出的 B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【答案】每小时 260千米 【分析】速度×时间＝路程，设从乙地开出的 B动车组列车的速度是每小时 x千 米，根据 A动车组列车平均速度×相遇时间＋B动车组列车的速度×相遇时间＝ 甲、乙两地高铁专线全长，列出方程解答即可。 【详解】解：设从乙地开出的 B动车组列车的速度是每小时 x千米。 240×1.6＋1.6x＝800 384＋1.6x＝800 384＋1.6x－384＝800－384 1.6x＝416 1.6x÷1.6＝416÷1.6 x＝260 答：从乙地开出的 B动车组列车的速度是每小时 260千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找 到等量关系。 【对应练习 1】 涂涂家和学校相距 3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电 话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂 涂每分钟走 60米，妈妈每分钟骑多少米？ 【答案】280米 【分析】根据 1千米＝1000米，先统一单位，速度×时间＝路程，设妈妈每分钟 骑 x米，根据妈妈骑行速度×相遇时间＋涂涂步行速度×相遇时间＝总路程，列 出方程解答即可。 【详解】3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑 x米。 10x＋60×10＝3400 10x＋600＝3400 10x＋600－600＝3400－600 10x＝2800 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） 6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 8 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 9 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 10 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 11 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 12 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 13 【考点九】和差问题 15 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 16 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 17 【考点十二】行程问题其三：追及问题 20 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 21 【考点十四】鸡兔同笼问题 23 【考点十五】盈亏问题 24 【考点十六】年龄问题 25 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程，因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？ 【对应练习1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多少立方米？ 【对应练习2】 某食堂今天购进的白菜90千克，是购进的黄瓜的3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【对应练习3】 学校买来24个篮球，是足球的3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题1】几倍多几。 长方形菜地长是20米，比宽的2倍多2米，宽是多少米？（用方程解） 【对应练习1】 果园里苹果树的棵数比桃树的2倍多38棵，苹果树有210棵，桃树有多少棵？（列方程解答） 【对应练习2】 粮店运来大米5600千克，已知运来的大米比面粉的2倍多200千克，粮店运来面粉多少千克？ 【对应练习3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲的4倍多912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用方程解答） 【典型例题2】几倍少几。 一个足球74元，比一个排球价钱的2倍少12元，一个排球多少元？（列方程解答） 【对应练习1】 在跳绳比赛中，小华跳了162个，比小红跳的3倍少54个，小红跳了多少个？（用方程解） 【对应练习2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有150人参加游园活动，比六年级参加活动的人数的3倍少90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【对应练习3】 地球绕太阳一周大约要用365天，比水星绕太阳一周所用时间的5倍少75天，水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工1800人，其中男职工是女职工人数的4倍，这个钢厂男、女职工各有多少人？ 【对应练习1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树5倍，梨树和桃树一共有540颗，梨树和桃树各多少棵？（用方程解） 【对应练习2】 一辆双层巴士上共有乘客42人，上层乘客人数是下层乘客人数的2倍。上、下层乘客各有多少人？（列方程解答） 【对应练习3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有36人，其中护士人数是医生人数的3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共500千克，苹果的重量比梨的4倍多20千克，苹果比梨多多少千克？ 【对应练习1】 图书馆有故事书和科技书共370本，故事书的本数比科技书的2倍多10本，图书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 【对应练习2】 某学校女教师和男教师共46人，女教师人数比男教师人数的2倍多4人，男教师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【对应练习3】 一个篮球的质量比一个排球的2倍多100克，3个篮球和4个排球共重2800克。每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的3倍，小鸡比小鸭多24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【对应练习1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的5倍，又知鸭比鹅多44只，鹅和鸭各多少只？ 【对应练习2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的7倍，桃树比梨树多156棵，果园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【对应练习3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的4倍，科技书比故事书多180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有蓝、绿水彩笔各多少支？ 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今年各是多少岁？ 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树多80棵，问两种树各有多少棵？ 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各有多少棵？ 【对应练习1】 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人各捐多少元？ 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙三数各是多少? 【对应练习3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的3倍，丙数比乙数的2倍多20。三个数的和是80，这三个数分别是多少？ 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量，再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的5倍，从甲堆运80吨到乙堆，这时乙堆沙子的质量就是甲堆得5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 【对应练习3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过8分钟，甲比乙多行40米；如果同时同地背向而行，5分钟后相距175米，两人每分钟各行多少米？ 【典型例题2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的4倍，如果再看50页，未看页数就是已看页数的2倍，这本书共多少页? 【对应练习1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的4倍，如果再行100千米，未行路程就是已行路程的2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 【对应练习2】 修一条公路，未修的长度是已修的2倍， 如果再修2000米，已修的长度就是未修的2倍，这条公路长多少米? 【对应练习3】 修一条公路，未修的长度是已修的3倍， 如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米? 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多8本，两种书一共92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【对应练习1】 一架钢琴共有88个键，白键比黑键多16个。黑键和白键各有多少个？ 【对应练习2】 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是36岁，3年后，妈妈比小军大26岁，今年小军和妈妈各多少岁？ 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是138千米时。经过3小时，动车比特快列车多行了201千米。动车的速度是多少千米时？（列方程解答） 【对应练习1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距560米，一天李鹏和王明同时从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走45米，王明平均每分钟走多少米？（用方程解答） 【对应练习2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距40千米。B车的速度是多少千米/小时？ 【对应练习3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距300米。小丽和小明两人分别从甲、乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距860米。小丽平均每分钟走37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题1】求相遇时间。 截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【对应练习1】 两艘舰艇同时从相距948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶38千米，另一艘每小时行驶41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 【对应练习2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约55千米。如果甲、乙两辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行65千米，甲、乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 【对应练习3】 甲、乙两辆汽车同时从相距840千米的两地相对开出，甲车每小时行90千米，乙车每小时行110千米，经过几小时后两车相遇？ 【典型例题2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开出的A动车组列车平均每小时行驶240千米，出发后1.6小时与从乙地开出的B动车组列车相遇。从乙地开出的B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【对应练习1】 涂涂家和学校相距3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂涂每分钟走60米，妈妈每分钟骑多少米？ 【对应练习2】 两地间的路程是630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4.2小时相遇。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【对应练习3】 两辆汽车同时从相距1080千米的两地相向而行，经过8小时相遇。一辆汽车平均每小时行60千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【典型例题3】中点相遇问题。 甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）    【对应练习1】 甲乙两辆旅游车同时从AB两地相向出发，甲车每小时行58千米，乙车每小时行49千米，两车在离中点27千米处相遇。求AB两地的路程。 【对应练习2】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车的速度是65千米/时，乙车的速度是50千米/时，两车在距离中点90千米处相遇。求A、B两地的路程。 【对应练习3】 一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过15小时在离中点3千米处相遇。已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？ 【考点十二】行程问题其三：追及问题。 【方法点拨】 追及问题，一般以追及问题的基本公式作为等量关系来列方程，即： 追及路程÷速度差＝追及时间； 速度差×追及时间＝追及路程； 追及路程÷追及时间＝速度差。 【典型例题】 一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车的速度是45千米/时，货车开出0.5小时后，客车以60千米/时的速度开出，几小时后客车能追上货车？ 【对应练习1】 学校环形跑道长400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过10分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 【对应练习2】 甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是250米/分，乙的速度是210米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？（列方程解答） 【对应练习3】 明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题。 【方法点拨】 流水行船问题一般是研究船在“流水”中航行的问题，它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 1. 船速：船在静水中航行的速度。 2. 水速：水流动的速度。 3. 顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。 4. 流水行船问题基本数量关系： 顺速=船速＋水速；逆速=船速－水速； 船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2； 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2； 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间； 路程=逆流速度×逆流航行所需时间。 【典型例题】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3 千米/时，求船在静水中的速度。 【对应练习1】 船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港用了24小时，船在静水中的速度是13 千米/时，水流的速度是多少? 【对应练习2】 船从甲地顺流开往乙地，所用时间比从乙地逆流开往甲地少1.5 小时。已知船在静水中的速度为18千米/时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两地的距离。 【对应练习3】 一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行4.6 小时，飞机出航时顺风飞行，在静风中的速度是575千米/时，风速是25千米/时，这架飞机最多飞出多长时间就应该返回? 【考点十四】鸡兔同笼问题。 【方法点拨】 以脚的数量和作为等量关系来列方程，设兔的只数为x，用x表示另一未知量。 【典型例题】 鸡兔同笼，兔比鸡多15只，鸡和兔共有186只脚。鸡和兔各有多少只？ 【对应练习1】 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【对应练习2】 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【对应练习3】 鸡兔同笼，鸡和兔一共有20只，鸡和兔的腿共有72条。鸡和兔分别有几只？ 【考点十五】盈亏问题。 【方法点拨】 以总数量作为等量关系来列方程，设总人数为x。 【典型例题】 把一袋糖分给幼儿园的小朋友，如果每人分4颗糖，就会多出5颗糖；如果每人分5颗糖，就会少4颗，这袋糖有多少颗？ 【对应练习1】 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中二人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃块数。 【对应练习2】 李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成．如果每天做60个，就可提前5天完成．这批零件共有多少个？ 【对应练习3】 学校买回一些练习本，按计划的人数发放，如果每人发4本，则剩余48本，如果每人发6本，则又少8本，学校买回多少练习本？计划发放的人数是多少？ 【考点十六】年龄问题。 【方法点拨】 以年龄差作为等量关系来列方程，问什么设什么，直接设未知数。 【典型例题1】问题一。 爸爸今年37岁，儿子13岁，几年前爸爸的年龄是儿子的3倍？ 【对应练习1】 父亲今年45岁，儿子今年15岁，几年前父亲的年龄是儿子的11倍？ 【对应练习2】 小军今年8岁，爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸年龄是小军的3倍？ 【对应练习3】 妈妈今年46岁，小倩今年12岁，再过多少年妈妈的年龄是小倩的3倍？ 【典型例题2】问题二。 10年前叔叔的年龄是乐乐的4倍，今年叔叔的年龄是乐乐的2倍，叔叔今年多少岁？ 【对应练习1】 今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的2.2倍。今年儿子多少岁？ 【对应练习2】 今年妈妈45岁，哥哥的年龄是妹妹的2倍。12年后，妈妈的年龄恰好等于兄妹俩年龄之和，今年妹妹多少岁？ 【对应练习3】 田田比心心小3岁，今年她们的年龄和是老师年龄的一半。再过15年，她们的年龄和等于老师的年龄，今年田田多少岁？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） 6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 9 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 11 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 13 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 14 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 16 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 18 【考点九】和差问题 20 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 22 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 24 【考点十二】行程问题其三：追及问题 29 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 31 【考点十四】鸡兔同笼问题 33 【考点十五】盈亏问题 35 【考点十六】年龄问题 36 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程，因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？ 解析： 解：设该接种点6月4日的接种人数是x人。 4x＝1524 x＝1524÷4 x＝381 答：该接种点6月4日的接种人数是381人。 【对应练习1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多少立方米？ 解析： 解：设上个月用水x立方米。 1.2x=9.6 x=8 答：略。 【对应练习2】 某食堂今天购进的白菜90千克，是购进的黄瓜的3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【答案】 解：设购进的黄瓜有x千克。 3x＝90 3x÷3＝90÷3 x＝30 答：购进的黄瓜有30千克。 【对应练习3】 学校买来24个篮球，是足球的3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 【答案】 解：设学校买来x个足球。 3x＝24 x＝24÷3 x＝8 答：学校买来足球8个。 【点睛】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题1】几倍多几。 长方形菜地长是20米，比宽的2倍多2米，宽是多少米？（用方程解） 【答案】 解：设宽是米。 2＋2＝20 2＋2－2＝20－2 2＝18 2÷2＝18÷2 ＝9 答：宽是9米。 【对应练习1】 果园里苹果树的棵数比桃树的2倍多38棵，苹果树有210棵，桃树有多少棵？（列方程解答） 【答案】 解：设桃树有x棵。 2x＋38＝210 2x＋38－38＝210－38 2x＝172 2x÷2＝172÷2 x＝86 答：桃树有86棵。 【对应练习2】 粮店运来大米5600千克，已知运来的大米比面粉的2倍多200千克，粮店运来面粉多少千克？ 【答案】 解：设粮店运来面粉x千克。 答：粮店运来面粉2700千克。 【对应练习3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲的4倍多912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用方程解答） 【答案】 解：设大洋洲的面积是x万平方千米。 4x＋912＝4500 4x＋912－912＝4500－912 4x＝3588 4x÷4＝3588÷4 x＝897 答：大洋洲的面积是897万平方千米。 【典型例题2】几倍少几。 一个足球74元，比一个排球价钱的2倍少12元，一个排球多少元？（列方程解答） 【答案】 解：设一个排球x元。 答：一个排球43元。 【对应练习1】 在跳绳比赛中，小华跳了162个，比小红跳的3倍少54个，小红跳了多少个？（用方程解） 【答案】 解：设小红跳了x个。 答：小红跳了72个。 【对应练习2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有150人参加游园活动，比六年级参加活动的人数的3倍少90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【答案】 解：六年级有人参加游园活动。 3－90＝150 3－90＋90＝150＋90 3＝240 3÷3＝240÷3 ＝80 答：六年级有80人参加游园活动。 【对应练习3】 地球绕太阳一周大约要用365天，比水星绕太阳一周所用时间的5倍少75天，水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 【答案】 解：设水星绕太阳一周大约要用x天。 5x－75＝365 5x－75＋75＝365＋75 5x＝440 5x÷5＝440÷5 x＝88 答：水星绕太阳一周大约要用88天。 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工1800人，其中男职工是女职工人数的4倍，这个钢厂男、女职工各有多少人？ 【答案】 解：设这个钢厂女职工有x人，则男职工有4x人。 x＋4x＝1800 5x＝1800 5x÷5＝1800÷5 x＝360 男职工：360×4＝1440（人） 答：这个钢厂男职工有1440人，女职工有360人。 【对应练习1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树5倍，梨树和桃树一共有540颗，梨树和桃树各多少棵？（用方程解） 【答案】 解：设桃树有x棵。 5x＋x＝540 6x＝540 6x÷6＝540÷6 x＝90 90×5＝450 答：梨树和桃树各450棵、90棵。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习2】 一辆双层巴士上共有乘客42人，上层乘客人数是下层乘客人数的2倍。上、下层乘客各有多少人？（列方程解答） 【答案】 解：设下层乘客人数是x人，则上层乘客人数是（2×x）人。 x＋2×x＝42 （1＋2）x＝42 3x＝42 3x÷3＝42÷3 x＝14 14×2＝28（人） 答：上层乘客有28人，下层乘客有14人。 【对应练习3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有36人，其中护士人数是医生人数的3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 【答案】 解：设医生有x人。 x＋3x＝36 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 9×3＝27（人） 答：参加支援的医生有9人，护士有27人。 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共500千克，苹果的重量比梨的4倍多20千克，苹果比梨多多少千克？ 【答案】 解：设梨的质量为x千克，苹果的质量为（4x＋20）千克； 4x＋20＋x＝500 5x＝480 x＝96； 4×96＋20 ＝384＋20 ＝404（千克）； 404－96＝308（千克）； 答：苹果比梨多308千克。 【对应练习1】 图书馆有故事书和科技书共370本，故事书的本数比科技书的2倍多10本，图书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 【答案】 解：设科技书有x本，则故事书有（2x＋10）本。 故事书：370－120＝250（本） 答：图书馆有故事书250本，科技书120本。 【对应练习2】 某学校女教师和男教师共46人，女教师人数比男教师人数的2倍多4人，男教师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【答案】 解：设男教师有x人，则女教师有2x＋4人。 x＋2x＋4＝46 3x＋4＝46 3x＝42 x＝14； 46－14＝32（人） 答：男教师14人，女教师32人。 【对应练习3】 一个篮球的质量比一个排球的2倍多100克，3个篮球和4个排球共重2800克。每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 【答案】 解：设每个排球重克，则每个篮球（2＋100）克。 3（2＋100）＋4＝2800 6＋300＋4＝2800 10＋300＝2800 10＋300－300＝2800－300 10÷10＝2500÷10 ＝250 每个篮球重： 2×250＋100 ＝500＋100 ＝600（克） 答：每个篮球重600克，每个排球重250克。 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的3倍，小鸡比小鸭多24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【答案】 解：设小鸭有x只，则小鸡有3x只， 3x－x＝24 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 12×3＝36（只） 答：小鸡有36只，小鸭有12只。 【对应练习1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的5倍，又知鸭比鹅多44只，鹅和鸭各多少只？ 【答案】 解：设鹅有x只。 5x－x＝44 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 44＋11＝55（只） 答：鹅有11只，鸭有55只。 【对应练习2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的7倍，桃树比梨树多156棵，果园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】 解：设梨树有x棵，桃树有7x棵。 7x－x＝156 6x＝156 6x÷6＝156÷6 x＝26 桃树：26×7＝182（棵） 答：梨树有26棵，桃树有182棵。 【对应练习3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的4倍，科技书比故事书多180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 【答案】 解：设故事书有x本，则科技书有4x本， 4x－x＝180 3x＝180 3x÷3＝180÷3 x＝60 60×4＝240（本） 答：故事书有60本，科技书有240本。 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 解析： 解：设彩色粉笔有x箱，则白粉笔有（4x+3）箱。 4x+3-x=15 x=4 白粉笔：4+15=19（箱） 答：略。 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有蓝、绿水彩笔各多少支？ 解析： 解：设绿色水彩笔有x支，则蓝色水彩笔有（3x-3）支。 3x-3-x=97 x=50 蓝色：50+97=147（支） 答：略。 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今年各是多少岁？ 解析： 解：设小芳今年x岁，则爸爸今年（4x+5）岁。 4x+5-x=29 x=8 爸爸：8+29=37（岁） 答：略。 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树多80棵，问两种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则苹果树有（3x-10）棵。 3x-10-x=80 x=45 苹果树：45+80=125（棵） 答：略。 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，杏树有3x棵。 x+2x+3x=240 x=40 桃树：80棵 杏树：120棵。 答：略。 【对应练习1】 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人各捐多少元？ 解析： 解：设丙捐款x元，则乙捐款2x元，甲捐款6x元。 x+2x+6x=270 x=30 甲：180元 乙：60元 答：略。 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙三数各是多少? 解析： 解：设乙数是x，则甲数是（2x+7），丙数是（3x-4）。 x+2x+7+3x-4=183 x=30 甲数：67 丙数：86 答：略。 【对应练习3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的3倍，丙数比乙数的2倍多20。三个数的和是80，这三个数分别是多少？ 【答案】 解：设甲数是x，则乙数是3x，丙数是6x＋20 x＋3x＋6x＋20＝80 （1＋3＋6）x＝80－20 10x＝60 x＝60÷10 x＝6 6×3＝18 6×6＋20 ＝36＋20 ＝56 答：甲数是6，乙数是18，丙数是56。 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量，再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 解：设原来小强有课外书x本，那么小芳就有3x本 x+10=3（3x-10） x+10=9x-30 8x=40 x=5 小芳原有课外书 3×5=15（本） 小强现在有课外书 5+15=20（本） 小芳现在有课外书 15-10=5（本） 答：小强现在有课外书15本，小芳现在有课外书5本。 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 解析： 解：设兰兰原来有x张邮票。 （4x-18）×4=x+18 x=6 6×4=24（张） 24-18=6（张） 6+18=24（张） 答：红红现在有6张邮票，兰兰现在有24张邮票。 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的5倍，从甲堆运80吨到乙堆，这时乙堆沙子的质量就是甲堆得5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 解析： 解：设乙堆原来有x吨。则甲堆原来有5x吨。 5（5x-80）=x+80 x=20 现在甲堆：5×20-80=20（吨） 现在乙堆：20+80=100（吨） 答：现在工地甲堆有20吨，乙堆有100吨。 【对应练习3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过8分钟，甲比乙多行40米；如果同时同地背向而行，5分钟后相距175米，两人每分钟各行多少米？ 解析： 解：设乙每分钟行x米，则甲每分钟行（x+40÷8）米。 （x+x+40÷8）×5=175 x=15 甲每分钟行：15+40÷8=20（米） 答：甲每分钟行20米，乙每分钟行15米。 【典型例题2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的4倍，如果再看50页，未看页数就是已看页数的2倍，这本书共多少页? 解析： 解：设已看页数是x页，那么未看页数就是4x页 4x－50=（x＋50）×2 4x－50=2x＋100 2x=150 x=75 未看页数：75×4=300（页） 总页数：75＋300=375（页） 答：这本书共375页。 【对应练习1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的4倍，如果再行100千米，未行路程就是已行路程的2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 解析：750千米 【对应练习2】 修一条公路，未修的长度是已修的2倍， 如果再修2000米，已修的长度就是未修的2倍，这条公路长多少米? 解析：6000米 【对应练习3】 修一条公路，未修的长度是已修的3倍， 如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米? 解析：3600米 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多8本，两种书一共92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【答案】 解：设科技书有x本，故事书有（x＋8）本， x＋8＋x＝92 2x＋8＝92 2x＋8－8＝92－8 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 8＋42＝50（本） 答：科技书有42本，故事书有50本。 【对应练习1】 一架钢琴共有88个键，白键比黑键多16个。黑键和白键各有多少个？ 【答案】 解：设黑键有x个，白键有（16＋x）个。 x＋（16＋x）＝88 x＋x＋16＝88 2x＝88－16 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 36＋16＝52（个） 答：黑键有36个，白键有52个。 【对应练习2】 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 解析： 解：设乙的年龄是x岁，则甲是（x-5）岁。 x+x-5=35 x=20 甲：20-5=15（岁） 答：略。 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是36岁，3年后，妈妈比小军大26岁，今年小军和妈妈各多少岁？ 解析： 解：设今年妈妈岁，则今年小军（36－）岁。 －（36－）＝26 －36＋＝26 2－36＝26 2－36＋36＝26＋36 2＝62 2÷2＝62÷2 ＝31 今年小军：36－31＝5（岁） 答：今年小军5岁，妈妈31岁。 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是138千米时。经过3小时，动车比特快列车多行了201千米。动车的速度是多少千米时？（列方程解答） 【答案】 解：设动车的速度是千米时。 答：动车的速度是205千米时。 【对应练习1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距560米，一天李鹏和王明同时从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走45米，王明平均每分钟走多少米？（用方程解答） 【答案】 解：设王明平均每分钟走x米。 7x＋45×7＝560 7x＋315＝560 7x＋315－315＝560－315 7x＝245 7x÷7＝245÷7 x＝35 答：王明平均每分钟走35米。 【对应练习2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距40千米。B车的速度是多少千米/小时？ 【答案】 解：设B车速度是x千米/小时。 45×10－10x＝40 450－10x＝40 10x＝450－40 10x＝410 10x÷10＝410÷10 x＝41 答：B车速度是41千米/小时。 【对应练习3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距300米。小丽和小明两人分别从甲、乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距860米。小丽平均每分钟走37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【答案】 解：设小明平均每分钟走米。 37×7＋7＋300＝860 259＋7＋300＝860 559＋7＝860 559＋7－559＝860－559 7＝301 7÷7＝301÷7 ＝43 答：小明平均每分钟走43米。 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题1】求相遇时间。 截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【答案】 （1） 数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和 （2）解：设两人x分钟后相遇。 260x＋240x＝2500 500x＝2500 500x÷500＝2500÷500 x＝5 答：两人5分钟后相遇。 【对应练习1】 两艘舰艇同时从相距948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶38千米，另一艘每小时行驶41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 【答案】 解：设经过x小时两艘舰艇相遇。 （38＋41）x＝948 79x＝948 x＝948÷79 x＝12 答：经过12小时两艘舰艇相遇。 【对应练习2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约55千米。如果甲、乙两辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行65千米，甲、乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 【答案】 解：设甲、乙两车经过x小时相遇，可得： （60＋65）×x＝55 125x＝55 x＝0.44 答：甲、乙两车经过0.44小时相遇。 【对应练习3】 甲、乙两辆汽车同时从相距840千米的两地相对开出，甲车每小时行90千米，乙车每小时行110千米，经过几小时后两车相遇？ 【答案】解：设经过x小时后两车相遇。 （90＋110）x＝840 200x＝840 200x÷200＝840÷200 x＝4.2 答：经过4.2小时后两车相遇。 【典型例题2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开出的A动车组列车平均每小时行驶240千米，出发后1.6小时与从乙地开出的B动车组列车相遇。从乙地开出的B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【答案】 解：设从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时x千米。 240×1.6＋1.6x＝800 384＋1.6x＝800 384＋1.6x－384＝800－384 1.6x＝416 1.6x÷1.6＝416÷1.6 x＝260 答：从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时260千米。 【对应练习1】 涂涂家和学校相距3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂涂每分钟走60米，妈妈每分钟骑多少米？ 【答案】 3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑x米。 10x＋60×10＝3400 10x＋600＝3400 10x＋600－600＝3400－600 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 x＝280 答：妈妈每分钟骑280米。 【对应练习2】 两地间的路程是630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4.2小时相遇。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】 解：设乙车每小时行驶x千米。 （78＋x）×4.2＝630 （78＋x）×4.2÷4.2＝630÷4.2 78＋x＝150 78＋x－78＝150－78 x＝72 答：乙车每小时行驶72千米。 【对应练习3】 两辆汽车同时从相距1080千米的两地相向而行，经过8小时相遇。一辆汽车平均每小时行60千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】 解：设另一辆车平均每小时行x千米。 60×8＋8x＝1080 （60＋x）×8＝1080 （60＋x）×8÷8＝1080÷8 60＋x＝135 60＋x－60＝135－60 x＝75 答：另一辆汽车平均每小时行75千米。 【典型例题3】中点相遇问题。 甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）    【答案】 解：设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时。 1.5×1.2－1.5＝18×2 1.8－1.5＝36 0.3＝36 0.3÷0.3＝36÷0.3 ＝120 乙车行了：120×1.5＝180（千米） 甲车行了：120×1.2×1.5＝216（千米） 答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。 【对应练习1】 甲乙两辆旅游车同时从AB两地相向出发，甲车每小时行58千米，乙车每小时行49千米，两车在离中点27千米处相遇。求AB两地的路程。 【答案】 27×2＝54（千米） 54÷（58－49） ＝54÷9 ＝6（小时）   （58＋49）×6 ＝107×6 ＝642（千米） 答：AB两地的路程是642千米。 【对应练习2】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车的速度是65千米/时，乙车的速度是50千米/时，两车在距离中点90千米处相遇。求A、B两地的路程。 【答案】 90×2＝180（千米） 65－50＝15（千米/时） 180÷15＝12（小时） （65＋50）×12 ＝115×12 ＝1380（千米） 答：A、B两地之间的距离是1380千米。 【对应练习3】 一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过15小时在离中点3千米处相遇。已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？ 【答案】 解：设慢车平均每小时行x千米。 75×15－3＝15x＋3 1125－3＝15x＋3 15x＋3＝1122 15x＋3－3＝1122－3 15x＝1119 15x÷15＝1119÷15 x＝74.6 答：慢车平均每小时行74.6千米。 【考点十二】行程问题其三：追及问题。 【方法点拨】 追及问题，一般以追及问题的基本公式作为等量关系来列方程，即： 追及路程÷速度差＝追及时间； 速度差×追及时间＝追及路程； 追及路程÷追及时间＝速度差。 【典型例题】 一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车的速度是45千米/时，货车开出0.5小时后，客车以60千米/时的速度开出，几小时后客车能追上货车？ 【答案】 解：设x小时后客车能追上火车。 45×0.5＋45x＝60x 22.5＋45x＝60x 22.5＋45x－45x＝60x－45x 15x＝22.5 15x÷15＝22.5÷15 x＝1.5 答：1.5小时后客车能追上货车。 【对应练习1】 学校环形跑道长400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过10分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 【答案】 解：设张珊每分钟跑x米。 10x－240×10＝400 10x－2400＝400 10x－2400＋2400＝400＋2400 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 x＝280 答：张珊每分钟跑280米。 【对应练习2】 甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是250米/分，乙的速度是210米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？（列方程解答） 【答案】 解：设经过x分钟甲第一次追上乙，根据题意列方程： 250x－210x＝400 40x＝400 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【对应练习3】 明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】 解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题。 【方法点拨】 流水行船问题一般是研究船在“流水”中航行的问题，它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 1. 船速：船在静水中航行的速度。 2. 水速：水流动的速度。 3. 顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。 4. 流水行船问题基本数量关系： 顺速=船速＋水速；逆速=船速－水速； 船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2； 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2； 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间； 路程=逆流速度×逆流航行所需时间。 【典型例题】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3 千米/时，求船在静水中的速度。 解析： 解：设船在静水中的速度是x 千米/时，那么顺流速度是（x＋3）千米/时，逆流速度是（x－ 3）千米/时。 2（x＋3）＝2.5（x－3） x＝27 答：船在静水中的速度是 27千米/时。 【对应练习1】 船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港用了24小时，船在静水中的速度是13 千米/时，水流的速度是多少? 解析： 解：设水流的速度是x千米/时。 15（13+x）=24（13-x） x=3 答：水流的速度是3千米/时。 【对应练习2】 船从甲地顺流开往乙地，所用时间比从乙地逆流开往甲地少1.5 小时。已知船在静水中的速度为18千米/时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两地的距离。 解析： 解：设轮船逆水航行从乙地到甲地需要x小时。 （18+2）（x-1.5）=（18-2）x x=7.5 距离：（18-2）×7.5=120 答：甲乙两地的距离是120千米。 【对应练习3】 一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行4.6 小时，飞机出航时顺风飞行，在静风中的速度是575千米/时，风速是25千米/时，这架飞机最多飞出多长时间就应该返回? 解析： 解：设飞机最多飞出x小时就应返回。 （575+25）x=（575-25）×（4.6-x） x=2.2 答：飞机最多飞出2.2小时就应返回。 【考点十四】鸡兔同笼问题。 【方法点拨】 以脚的数量和作为等量关系来列方程，设兔的只数为x，用x表示另一未知量。 【典型例题】 鸡兔同笼，兔比鸡多15只，鸡和兔共有186只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】 解：设鸡有x只，则兔有（15＋x）只 2x＋（15＋x）×4＝186 2x＋60＋4x＝186 6x＝186－60 6x＝126 x＝126÷6 x＝21 21＋15＝36（只） 答：鸡有21只，兔有36只。 【对应练习1】 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【答案】 解：设鸡和兔各有x只。 答：鸡和兔各有8只。 【对应练习2】 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】 解：设鸡有x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 【对应练习3】 鸡兔同笼，鸡和兔一共有20只，鸡和兔的腿共有72条。鸡和兔分别有几只？ 【答案】 解：设兔有x只，则鸡有20－x只。 4x＋2（20－x）＝72 4x＋40－2x＝72 4x＋40－2x－40＝72－40 4x－2x＝32 2x＝32 2x÷2＝32÷2 x＝16 鸡：20－16＝4（只） 答：鸡和兔分别有几4只、16只。 【考点十五】盈亏问题。 【方法点拨】 以总数量作为等量关系来列方程，设总人数为x。 【典型例题】 把一袋糖分给幼儿园的小朋友，如果每人分4颗糖，就会多出5颗糖；如果每人分5颗糖，就会少4颗，这袋糖有多少颗？ 解析： 解：设总共有x人。 4x+5=5x-4 x=9 糖：4×9+5=41（颗） 答：略。 【对应练习1】 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中二人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃块数。 解析： 解：设有x个人擦玻璃； 答：有10个人擦玻璃，总共有70块玻璃。 【对应练习2】 李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成．如果每天做60个，就可提前5天完成．这批零件共有多少个？ 解析： 解：设原计划要x天完成，则零件总数是50×（x+8）或60×(x-5)。 50×(x+8)=60×(x-5)     x=70 这批零件共有：50×(70+8) =3900（个） 【对应练习3】 学校买回一些练习本，按计划的人数发放，如果每人发4本，则剩余48本，如果每人发6本，则又少8本，学校买回多少练习本？计划发放的人数是多少？ 解析：160本；28人。 【考点十六】年龄问题。 【方法点拨】 以年龄差作为等量关系来列方程，问什么设什么，直接设未知数。 【典型例题1】问题一。 爸爸今年37岁，儿子13岁，几年前爸爸的年龄是儿子的3倍？ 解析： 解：设x年前爸爸的年龄是儿子的3倍。 37－x＝3（13－x） 37－x＝39－3x 2x＝2 x＝1 答：1年前爸爸的年龄是儿子的3倍。 【对应练习1】 父亲今年45岁，儿子今年15岁，几年前父亲的年龄是儿子的11倍？ 解析： 解：设几件前儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是11x岁。 11x-x=45-15 x=3 15-3=12（年） 答：略。 【对应练习2】 小军今年8岁，爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸年龄是小军的3倍？ 解析： 解：设小军x岁时，爸爸的年龄是小军的3倍，则爸爸的年龄是3x岁。 3x-x=34-8 x=13 答：略。 【对应练习3】 妈妈今年46岁，小倩今年12岁，再过多少年妈妈的年龄是小倩的3倍？ 解析： 解：设几年后小倩的年龄是x岁，则妈妈的年龄是3x岁。 3x-x=46-12 x=17 17-12=5（年） 答：略。 【典型例题2】问题二。 10年前叔叔的年龄是乐乐的4倍，今年叔叔的年龄是乐乐的2倍，叔叔今年多少岁？ 解析： 解：设10年前乐乐x岁。 4x＋10＝2（x＋10） x＝5 4×5＋10＝30（岁） 答：叔叔今年30岁。 【对应练习1】 今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的2.2倍。今年儿子多少岁？ 解析： 解：设今年儿子x岁。 4x+15=（x+15）×2.2 x=10 答：今年儿子10岁。 【对应练习2】 今年妈妈45岁，哥哥的年龄是妹妹的2倍。12年后，妈妈的年龄恰好等于兄妹俩年龄之和，今年妹妹多少岁？ 解析： 解：设今年妹妹x岁，那么今年哥哥2x岁。 x+12+2x+12=45+12 x=11 答：今年妹妹11岁。 【对应练习3】 田田比心心小3岁，今年她们的年龄和是老师年龄的一半。再过15年，她们的年龄和等于老师的年龄，今年田田多少岁？ 解析： 解：设今年田田x岁，那么今年心心（x+3）岁。 x+15+x+3+15=2（x+x+3）+15 x=6 答：今年田田6岁。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） 6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 10 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 12 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 15 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 17 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 18 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 20 【考点九】和差问题 22 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 24 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 27 【考点十二】行程问题其三：追及问题 34 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 37 【考点十四】鸡兔同笼问题 39 【考点十五】盈亏问题 41 【考点十六】年龄问题 42 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程，因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？ 解析： 解：设该接种点6月4日的接种人数是x人。 4x＝1524 x＝1524÷4 x＝381 答：该接种点6月4日的接种人数是381人。 【对应练习1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多少立方米？ 解析： 解：设上个月用水x立方米。 1.2x=9.6 x=8 答：略。 【对应练习2】 某食堂今天购进的白菜90千克，是购进的黄瓜的3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【答案】30千克 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设购进的黄瓜有x千克，根据购进的黄瓜质量×3＝购进的白菜质量，列出方程解答即可。 【详解】解：设购进的黄瓜有x千克。 3x＝90 3x÷3＝90÷3 x＝30 答：购进的黄瓜有30千克。 【对应练习3】 学校买来24个篮球，是足球的3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 【答案】8个 【分析】根据题意可知：足球的数量×3＝篮球的数量，设学校买来x个足球，据此列方程解答。 【详解】解：设学校买来x个足球。 3x＝24 x＝24÷3 x＝8 答：学校买来足球8个。 【点睛】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设1倍量(标准量)为x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含有两个未知量，那么另一个未知量则用含x的式子表示出来，再根据等量关系列出方程。 【典型例题1】几倍多几。 长方形菜地长是20米，比宽的2倍多2米，宽是多少米？（用方程解） 【答案】9米 【分析】根据“长是20米，比宽的2倍多2米”可得出等量关系：宽×2＋2＝长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设宽是米。 2＋2＝20 2＋2－2＝20－2 2＝18 2÷2＝18÷2 ＝9 答：宽是9米。 【对应练习1】 果园里苹果树的棵数比桃树的2倍多38棵，苹果树有210棵，桃树有多少棵？（列方程解答） 【答案】86棵 【分析】由题意可知，“桃树的棵数×2＋38＝苹果树的棵数”，根据此关系式列方程求出桃树棵数。 【详解】解：设桃树有x棵。 2x＋38＝210 2x＋38－38＝210－38 2x＝172 2x÷2＝172÷2 x＝86 答：桃树有86棵。 【对应练习2】 粮店运来大米5600千克，已知运来的大米比面粉的2倍多200千克，粮店运来面粉多少千克？ 【答案】2700千克 【分析】把粮店运来面粉的重量设为x千克，根据运来的大米比面粉的2倍多200千克，找出等量关系：面粉的重量×2＋200＝运来大米的重量，据此列出方程，根据等式的性质解方程，据此解答。 【详解】解：设粮店运来面粉x千克。 答：粮店运来面粉2700千克。 【对应练习3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲的4倍多912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用方程解答） 【答案】897万平方千米 【分析】由题意可知，设大洋洲的面积是x万平方千米，再根据等量关系：大洋洲的面积×4＋912＝亚洲的面积，据此列方程解答即可。 【详解】解：设大洋洲的面积是x万平方千米。 4x＋912＝4500 4x＋912－912＝4500－912 4x＝3588 4x÷4＝3588÷4 x＝897 答：大洋洲的面积是897万平方千米。 【典型例题2】几倍少几。 一个足球74元，比一个排球价钱的2倍少12元，一个排球多少元？（列方程解答） 【答案】43元 【分析】设一个排球x元，根据等式关系排球的2倍－12＝足球的价钱，列方程解答即可。 【详解】解：设一个排球x元。 答：一个排球43元。 【对应练习1】 在跳绳比赛中，小华跳了162个，比小红跳的3倍少54个，小红跳了多少个？（用方程解） 【答案】72个 【分析】设小红跳了x个，则小华跳了（3x－54）个，已知小华跳了162个，据此列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】解：设小红跳了x个。 答：小红跳了72个。 【对应练习2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有150人参加游园活动，比六年级参加活动的人数的3倍少90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【答案】80人 【分析】根据题意可得出等量关系：六年级参加活动的人数×3－90＝五年级参加活动的人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：六年级有人参加游园活动。 3－90＝150 3－90＋90＝150＋90 3＝240 3÷3＝240÷3 ＝80 答：六年级有80人参加游园活动。 【对应练习3】 地球绕太阳一周大约要用365天，比水星绕太阳一周所用时间的5倍少75天，水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 【答案】88天 【分析】根据题意可知，水星绕太阳一周大约要用x天，水星绕太阳一周所用时间×5－75天＝地球绕太阳一周所用时间，据此列方程为5x－75＝365，然后解出方程即可。 【详解】解：设水星绕太阳一周大约要用x天。 5x－75＝365 5x－75＋75＝365＋75 5x＝440 5x÷5＝440÷5 x＝88 答：水星绕太阳一周大约要用88天。 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工1800人，其中男职工是女职工人数的4倍，这个钢厂男、女职工各有多少人？ 【答案】男职工：1440；女职工：360人 【分析】设这个钢厂女职工有x人，男职工是女职工人数的4倍，则男职工有4x人，一共有1800人，即男职工人数＋女职工人数＝1800，列方程：x＋4x＝1800，解方程，即可解答。 【详解】解：设这个钢厂女职工有x人，则男职工有4x人。 x＋4x＝1800 5x＝1800 5x÷5＝1800÷5 x＝360 男职工：360×4＝1440（人） 答：这个钢厂男职工有1440人，女职工有360人。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用男、女职工人数与总人数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【对应练习1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树5倍，梨树和桃树一共有540颗，梨树和桃树各多少棵？（用方程解） 【答案】梨树450棵；桃树90棵 【分析】设桃树有x棵，则梨树有5x棵，根据梨树棵数＋桃树棵数＝540，列出方程求出x的值是桃树棵数，桃树棵数×5＝梨树棵数。 【详解】解：设桃树有x棵。 5x＋x＝540 6x＝540 6x÷6＝540÷6 x＝90 90×5＝450 答：梨树和桃树各450棵、90棵。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习2】 一辆双层巴士上共有乘客42人，上层乘客人数是下层乘客人数的2倍。上、下层乘客各有多少人？（列方程解答） 【答案】28人；14人 【分析】假设下层乘客人数是x人，则上层乘客人数是（2×x）人，根据数量关系：上层乘客人数＋下层乘客人数＝42，据此列出方程，解方程即可分别求出下层的乘客人数，继而求出上层的乘客人数。 【详解】解：设下层乘客人数是x人，则上层乘客人数是（2×x）人。 x＋2×x＝42 （1＋2）x＝42 3x＝42 3x÷3＝42÷3 x＝14 14×2＝28（人） 答：上层乘客有28人，下层乘客有14人。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把下层乘客人数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有36人，其中护士人数是医生人数的3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 【答案】医生：9人；护士：27人 【分析】设医生有x人，则护士有3x人，根据医生人数＋护士人数＝总人数，列出方程求出x的值，是医生人数，医生人数×3＝护士人数，据此分析。 【详解】解：设医生有x人。 x＋3x＝36 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 9×3＝27（人） 答：参加支援的医生有9人，护士有27人。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共500千克，苹果的重量比梨的4倍多20千克，苹果比梨多多少千克？ 【答案】308千克 【分析】根据题意可知，“梨的质量×4＋20＝苹果的重量”、“苹果的重量＋梨的质量＝总质量”，据此列方程求出梨和苹果的质量，再进一步解答即可。 【详解】解：设梨的质量为x千克，苹果的质量为（4x＋20）千克； 4x＋20＋x＝500 5x＝480 x＝96； 4×96＋20 ＝384＋20 ＝404（千克）； 404－96＝308（千克）； 答：苹果比梨多308千克。 【点睛】根据梨和苹果质量的倍数关系设出未知量，根据总质量列方程解答。 【对应练习1】 图书馆有故事书和科技书共370本，故事书的本数比科技书的2倍多10本，图书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 【答案】故事书250本，科技书120本 【分析】设科技书有x本，则故事书有（2x＋10）本，再根据图书馆有故事书和科技书共370本列出方程解答即可。 【详解】解：设科技书有x本，则故事书有（2x＋10）本。 故事书：370－120＝250（本） 答：图书馆有故事书250本，科技书120本。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到题目中的等量关系式。 【对应练习2】 某学校女教师和男教师共46人，女教师人数比男教师人数的2倍多4人，男教师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【答案】男教师14人，女教师32人 【分析】由题意可知，“男教师的人数＋女教师人数＝46”，由此列方程解答即可。 【详解】解：设男教师有x人，则女教师有2x＋4人。 x＋2x＋4＝46 3x＋4＝46 3x＝42 x＝14； 46－14＝32（人） 答：男教师14人，女教师32人。 【点睛】明确男教师的人数和女教师人数之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习3】 一个篮球的质量比一个排球的2倍多100克，3个篮球和4个排球共重2800克。每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 【答案】篮球600克；排球250克 【分析】根据“一个篮球的质量比一个排球的2倍多100克”，设每个排球重克，则每个篮球（2＋100）克。 等量关系：每个篮球的质量×3＋每个排球的质量×4＝3个篮球和4个排球的总质量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设每个排球重克，则每个篮球（2＋100）克。 3（2＋100）＋4＝2800 6＋300＋4＝2800 10＋300＝2800 10＋300－300＝2800－300 10÷10＝2500÷10 ＝250 每个篮球重： 2×250＋100 ＝500＋100 ＝600（克） 答：每个篮球重600克，每个排球重250克。 【点睛】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“比”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，然后根据等量关系列出方程。 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的3倍，小鸡比小鸭多24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【答案】36只；12只 【分析】设小鸭有x只，则小鸡有3x只，小鸡比小鸭多24只，即小鸡的数量－小鸭的数量＝24，据此列方程解答。 【详解】解：设小鸭有x只，则小鸡有3x只， 3x－x＝24 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 12×3＝36（只） 答：小鸡有36只，小鸭有12只。 【对应练习1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的5倍，又知鸭比鹅多44只，鹅和鸭各多少只？ 【答案】鹅11只，鸭55只 【分析】将鹅的数量设为x只，那么鸭的数量有5x只。据此，再根据“鸭－鹅＝44只”这一数量关系列方程解方程即可。 【详解】解：设鹅有x只。 5x－x＝44 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 44＋11＝55（只） 答：鹅有11只，鸭有55只。 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是找出数量关系并列方程。 【对应练习2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的7倍，桃树比梨树多156棵，果园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】梨树：26棵；桃树：182棵 【分析】设梨树有x棵，桃树是梨树的7倍，则桃树有7x棵，桃树比梨树多156棵，即用桃树棵数－梨树棵数＝156，列方程：7x－x＝156，解方程，即可解答。 【详解】解：设梨树有x棵，桃树有7x棵。 7x－x＝156 6x＝156 6x÷6＝156÷6 x＝26 桃树：26×7＝182（棵） 答：梨树有26棵，桃树有182棵。 【对应练习3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的4倍，科技书比故事书多180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 【答案】故事书60本；科技书240本 【分析】假设故事书有x本，则科技书有4x本，再根据数量关系：科技书的本数－故事书的本数＝180，据此列出方程，即可分别求出科技书和故事书各是多少本。 【详解】解：设故事书有x本，则科技书有4x本， 4x－x＝180 3x＝180 3x÷3＝180÷3 x＝60 60×4＝240（本） 答：故事书有60本，科技书有240本。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把故事书的本数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设1倍量(标准量)为x，另一个未知量则用含x的式子表示出来，再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 解析： 解：设彩色粉笔有x箱，则白粉笔有（4x+3）箱。 4x+3-x=15 x=4 白粉笔：4+15=19（箱） 答：略。 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有蓝、绿水彩笔各多少支？ 解析： 解：设绿色水彩笔有x支，则蓝色水彩笔有（3x-3）支。 3x-3-x=97 x=50 蓝色：50+97=147（支） 答：略。 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今年各是多少岁？ 解析： 解：设小芳今年x岁，则爸爸今年（4x+5）岁。 4x+5-x=29 x=8 爸爸：8+29=37（岁） 答：略。 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树多80棵，问两种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则苹果树有（3x-10）棵。 3x-10-x=80 x=45 苹果树：45+80=125（棵） 答：略。 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，杏树有3x棵。 x+2x+3x=240 x=40 桃树：80棵 杏树：120棵。 答：略。 【对应练习1】 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人各捐多少元？ 解析： 解：设丙捐款x元，则乙捐款2x元，甲捐款6x元。 x+2x+6x=270 x=30 甲：180元 乙：60元 答：略。 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙三数各是多少? 解析： 解：设乙数是x，则甲数是（2x+7），丙数是（3x-4）。 x+2x+7+3x-4=183 x=30 甲数：67 丙数：86 答：略。 【对应练习3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的3倍，丙数比乙数的2倍多20。三个数的和是80，这三个数分别是多少？ 【答案】甲数：6；乙数：18；丙数：56 【分析】假设甲数是x，则乙数是3x，根据数量关系：乙数×2＋20＝丙数，代入表示出丙数是3x×2＋20＝6x＋20，再根据数量关系：甲数＋乙数＋丙数＝80，代入未知数，据此列出方程，解方程即可求出甲数，继而求出乙数和丙数。 【详解】解：设甲数是x，则乙数是3x，丙数是6x＋20 x＋3x＋6x＋20＝80 （1＋3＋6）x＝80－20 10x＝60 x＝60÷10 x＝6 6×3＝18 6×6＋20 ＝36＋20 ＝56 答：甲数是6，乙数是18，丙数是56。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量，再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 解：设原来小强有课外书x本，那么小芳就有3x本 x+10=3（3x-10） x+10=9x-30 8x=40 x=5 小芳原有课外书 3×5=15（本） 小强现在有课外书 5+15=20（本） 小芳现在有课外书 15-10=5（本） 答：小强现在有课外书15本，小芳现在有课外书5本。 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 解析： 解：设兰兰原来有x张邮票。 （4x-18）×4=x+18 x=6 6×4=24（张） 24-18=6（张） 6+18=24（张） 答：红红现在有6张邮票，兰兰现在有24张邮票。 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的5倍，从甲堆运80吨到乙堆，这时乙堆沙子的质量就是甲堆得5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 解析： 解：设乙堆原来有x吨。则甲堆原来有5x吨。 5（5x-80）=x+80 x=20 现在甲堆：5×20-80=20（吨） 现在乙堆：20+80=100（吨） 答：现在工地甲堆有20吨，乙堆有100吨。 【对应练习3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过8分钟，甲比乙多行40米；如果同时同地背向而行，5分钟后相距175米，两人每分钟各行多少米？ 解析： 解：设乙每分钟行x米，则甲每分钟行（x+40÷8）米。 （x+x+40÷8）×5=175 x=15 甲每分钟行：15+40÷8=20（米） 答：甲每分钟行20米，乙每分钟行15米。 【典型例题2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的4倍，如果再看50页，未看页数就是已看页数的2倍，这本书共多少页? 解析： 解：设已看页数是x页，那么未看页数就是4x页 4x－50=（x＋50）×2 4x－50=2x＋100 2x=150 x=75 未看页数：75×4=300（页） 总页数：75＋300=375（页） 答：这本书共375页。 【对应练习1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的4倍，如果再行100千米，未行路程就是已行路程的2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 解析：750千米 【对应练习2】 修一条公路，未修的长度是已修的2倍， 如果再修2000米，已修的长度就是未修的2倍，这条公路长多少米? 解析：6000米 【对应练习3】 修一条公路，未修的长度是已修的3倍， 如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米? 解析：3600米 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多8本，两种书一共92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【答案】科技书有42本；故事书有50本 【分析】可以设科技书有x本，题中存在的等量关系是：故事书的本数＋科技书的本数＝故事书和科技书一共的本数，据此代入数值作答即可。 【详解】解：设科技书有x本，故事书有（x＋8）本， x＋8＋x＝92 2x＋8＝92 2x＋8－8＝92－8 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 8＋42＝50（本） 答：科技书有42本，故事书有50本。 【点睛】本题考查了列方程解应用题，关键是找出等量关系，再进行解答。 【对应练习1】 一架钢琴共有88个键，白键比黑键多16个。黑键和白键各有多少个？ 【答案】黑键：36个；白键：52个 【分析】假设黑键有x个，白键比黑键多16个，则白键有（16＋x）个，根据题目中的数量关系：黑键的数量＋白键的数量＝88，据此列出方程，解方程即可求出黑键和白键各有多少个。 【详解】解：设黑键有x个，白键有（16＋x）个。 x＋（16＋x）＝88 x＋x＋16＝88 2x＝88－16 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 36＋16＝52（个） 答：黑键有36个，白键有52个。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把黑键的数量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习2】 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 解析： 解：设乙的年龄是x岁，则甲是（x-5）岁。 x+x-5=35 x=20 甲：20-5=15（岁） 答：略。 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是36岁，3年后，妈妈比小军大26岁，今年小军和妈妈各多少岁？ 解析： 解：设今年妈妈岁，则今年小军（36－）岁。 －（36－）＝26 －36＋＝26 2－36＝26 2－36＋36＝26＋36 2＝62 2÷2＝62÷2 ＝31 今年小军：36－31＝5（岁） 答：今年小军5岁，妈妈31岁。 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是138千米时。经过3小时，动车比特快列车多行了201千米。动车的速度是多少千米时？（列方程解答） 【答案】205千米时 【分析】设动车的速度是x千米/时，根据等量关系：（动车的速度－特快列车的速度）×行驶的时间 ＝动车比特快列车多行的路程，列方程解答即可。 【详解】解：设动车的速度是千米时。 答：动车的速度是205千米时。 【点睛】本题考查列方程解决问题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 【对应练习1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距560米，一天李鹏和王明同时从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走45米，王明平均每分钟走多少米？（用方程解答） 【答案】35米 【分析】设王明平均每分钟走x米；王明7分钟走7x米；李鹏平均每分钟走45米，7分钟走45×7米，两家相距560米，即王明走的路程＋李鹏走的路程＝两家相距560米，列方程：7x＋45×7＝560，解方程，即可解答。 【详解】解：设王明平均每分钟走x米。 7x＋45×7＝560 7x＋315＝560 7x＋315－315＝560－315 7x＝245 7x÷7＝245÷7 x＝35 答：王明平均每分钟走35米。 【对应练习2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距40千米。B车的速度是多少千米/小时？ 【答案】41千米/小时 【分析】根据题意可知，A车的速度×A车行驶的时间－B车的速度×B车行驶的时间＝路程差，据此设B车的速度是x千米/小时，45×10－10x＝40，然后解出方程即可。 【详解】解：设B车速度是x千米/小时。 45×10－10x＝40 450－10x＝40 10x＝450－40 10x＝410 10x÷10＝410÷10 x＝41 答：B车速度是41千米/小时。 【对应练习3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距300米。小丽和小明两人分别从甲、乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距860米。小丽平均每分钟走37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【答案】43米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：小丽的速度×时间＋小明的速度×时间＋甲、乙两幢大楼相距的距离＝7分钟后小丽和小明相距的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小明平均每分钟走米。 37×7＋7＋300＝860 259＋7＋300＝860 559＋7＝860 559＋7－559＝860－559 7＝301 7÷7＝301÷7 ＝43 答：小明平均每分钟走43米。 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题1】求相遇时间。 截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【答案】（1）见详解；（2）5分钟 【分析】（1）已知蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行，从他们出发到相遇，所用时间相同，且两人的路程和等于跑道的长度，据此可列数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和，据此画图。 （2）假设两人x分钟后相遇，根据（1）可列方程：260x＋240x＝2500，然后解出方程即可。 【详解】（1） 数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和 （2）解：设两人x分钟后相遇。 260x＋240x＝2500 500x＝2500 500x÷500＝2500÷500 x＝5 答：两人5分钟后相遇。 【点睛】本题考查了列方程解决问题，找到对应的数量关系式是解题的关键。 【对应练习1】 两艘舰艇同时从相距948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶38千米，另一艘每小时行驶41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 【答案】12小时 【分析】把相遇时间设为未知数，等量关系式：两艘舰艇的速度和×相遇时间＝两个港口之间的总路程，据此列方程解答。 【详解】解：设经过x小时两艘舰艇相遇。 （38＋41）x＝948 79x＝948 x＝948÷79 x＝12 答：经过12小时两艘舰艇相遇。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系是解答题目的关键。 【对应练习2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约55千米。如果甲、乙两辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行65千米，甲、乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 【答案】0.44小时 【分析】根据题意可得，等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝桥隧的长度；据此设甲、乙两车经过x小时相遇，列式为：（60＋65）×x＝55，解方程即可。 【详解】解：设甲、乙两车经过x小时相遇，可得： （60＋65）×x＝55 125x＝55 x＝0.44 答：甲、乙两车经过0.44小时相遇。 【点睛】找出等量关系，正确列方程并解方程，是解答此题的关键。 【对应练习3】 甲、乙两辆汽车同时从相距840千米的两地相对开出，甲车每小时行90千米，乙车每小时行110千米，经过几小时后两车相遇？ 【答案】4.2小时 【分析】设经过x小时后两车相遇，速度×时间＝路程，根据两车速度和×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过x小时后两车相遇。 （90＋110）x＝840 200x＝840 200x÷200＝840÷200 x＝4.2 答：经过4.2小时后两车相遇。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【典型例题2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开出的A动车组列车平均每小时行驶240千米，出发后1.6小时与从乙地开出的B动车组列车相遇。从乙地开出的B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【答案】每小时260千米 【分析】速度×时间＝路程，设从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时x千米，根据A动车组列车平均速度×相遇时间＋B动车组列车的速度×相遇时间＝甲、乙两地高铁专线全长，列出方程解答即可。 【详解】解：设从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时x千米。 240×1.6＋1.6x＝800 384＋1.6x＝800 384＋1.6x－384＝800－384 1.6x＝416 1.6x÷1.6＝416÷1.6 x＝260 答：从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时260千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习1】 涂涂家和学校相距3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂涂每分钟走60米，妈妈每分钟骑多少米？ 【答案】280米 【分析】根据1千米＝1000米，先统一单位，速度×时间＝路程，设妈妈每分钟骑x米，根据妈妈骑行速度×相遇时间＋涂涂步行速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑x米。 10x＋60×10＝3400 10x＋600＝3400 10x＋600－600＝3400－600 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 x＝280 答：妈妈每分钟骑280米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习2】 两地间的路程是630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4.2小时相遇。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】72千米 【分析】由于经过4.2小时相遇，说明是相遇问题，可以设乙车每小时行驶x千米，根据相遇问题的公式：相遇时间×速度和＝两地间的路程，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行驶x千米。 （78＋x）×4.2＝630 （78＋x）×4.2÷4.2＝630÷4.2 78＋x＝150 78＋x－78＝150－78 x＝72 答：乙车每小时行驶72千米。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找准等量关系，同时熟练掌握相遇问题的公式是解题的关键。 【对应练习3】 两辆汽车同时从相距1080千米的两地相向而行，经过8小时相遇。一辆汽车平均每小时行60千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】75千米 【分析】相遇时，两车的路程和等于原来两地的距离。据此，将另一辆车的速度设为每小时x千米，那么它的路程是8x千米。再根据两车路程和等于1080千米，列方程解方程即可。 【详解】解：设另一辆车平均每小时行x千米。 60×8＋8x＝1080 （60＋x）×8＝1080 （60＋x）×8÷8＝1080÷8 60＋x＝135 60＋x－60＝135－60 x＝75 答：另一辆汽车平均每小时行75千米。 【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时路程和等于初始距离。 【典型例题3】中点相遇问题。 甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）    【答案】甲车216千米；乙车180千米 【分析】根据“甲车速度是乙车的1.2倍”，可以设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时； 根据线段图以及“经过1.5小时在离中点18千米处相遇”，可知相遇时甲车比乙车多行了（18×2）千米； 根据“路程＝速度×时间”可得出等量关系：甲车的速度×相遇时间－乙车的速度×相遇时间＝相遇时甲车比乙车多行的路程，据此列出方程，并求解，进而求出两车各行的路程。 【详解】解：设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时。 1.5×1.2－1.5＝18×2 1.8－1.5＝36 0.3＝36 0.3÷0.3＝36÷0.3 ＝120 乙车行了：120×1.5＝180（千米） 甲车行了：120×1.2×1.5＝216（千米） 答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。 【点睛】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“是”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 【对应练习1】 甲乙两辆旅游车同时从AB两地相向出发，甲车每小时行58千米，乙车每小时行49千米，两车在离中点27千米处相遇。求AB两地的路程。 【答案】642千米 【分析】根据题意可知，甲车比乙车多行驶了2个27千米，因此用甲车比乙车多行驶的路程，除以，甲车和乙车的速度差，即可计算出两车相遇的时间，再根据“路程＝速度之和×相遇时间”进行计算并解答即可。 【详解】27×2＝54（千米） 54÷（58－49） ＝54÷9 ＝6（小时）   （58＋49）×6 ＝107×6 ＝642（千米） 答：AB两地的路程是642千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题的计算，先计算出两车相遇的时间长，是解答此题的关键。 【对应练习2】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车的速度是65千米/时，乙车的速度是50千米/时，两车在距离中点90千米处相遇。求A、B两地的路程。 【答案】1380千米 【分析】由于甲车的速度快于乙车的速度，那么当相遇地点距离两地的中点90千米，甲车就比乙车多行驶2个90千米，因此先求出两车的速度差，再依据“时间＝路程÷速度”，求出相遇时需要的时间，然后求出两车的速度和，最后根据“路程＝速度之和×相遇时间”即可解答。 【详解】90×2＝180（千米） 65－50＝15（千米/时） 180÷15＝12（小时） （65＋50）×12 ＝115×12 ＝1380（千米） 答：A、B两地之间的距离是1380千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题的计算，先计算出两车相遇的时间，是解答此题的关键。 【对应练习3】 一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过15小时在离中点3千米处相遇。已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？ 【答案】74.6千米 【分析】由题意可知，设慢车平均每小时行x千米，根据等量关系：快车行驶的路程－3＝慢车行驶的路程＋3，据此列方程解答即可。 【详解】解：设慢车平均每小时行x千米。 75×15－3＝15x＋3 1125－3＝15x＋3 15x＋3＝1122 15x＋3－3＝1122－3 15x＝1119 15x÷15＝1119÷15 x＝74.6 答：慢车平均每小时行74.6千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 【考点十二】行程问题其三：追及问题。 【方法点拨】 追及问题，一般以追及问题的基本公式作为等量关系来列方程，即： 追及路程÷速度差＝追及时间； 速度差×追及时间＝追及路程； 追及路程÷追及时间＝速度差。 【典型例题】 一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车的速度是45千米/时，货车开出0.5小时后，客车以60千米/时的速度开出，几小时后客车能追上货车？ 【答案】1.5小时 【分析】设x小时后客车能追上货车；货车行驶的路程＝先开出0.5小时行驶的路程＋x小时行驶的路程，客车行驶的路程＝x小时行驶的路程；根据题意可知，货车行驶的路程＝客车行驶的路程；列方程：45×0.5＋45x＝60x，解方程，即可解答。 【详解】解：设x小时后客车能追上火车。 45×0.5＋45x＝60x 22.5＋45x＝60x 22.5＋45x－45x＝60x－45x 15x＝22.5 15x÷15＝22.5÷15 x＝1.5 答：1.5小时后客车能追上货车。 【对应练习1】 学校环形跑道长400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过10分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 【答案】280米 【分析】张珊第一次追上王丽时，张珊比王丽多跑一圈，即400米，设张珊每分钟跑x米，在10分钟跑10x米，王丽跑了240×10米，然后根据张珊跑的路程－王丽跑的路程＝400米，列出方程求解。 【详解】解：设张珊每分钟跑x米。 10x－240×10＝400 10x－2400＝400 10x－2400＋2400＝400＋2400 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 x＝280 答：张珊每分钟跑280米。 【点睛】本题考查了环形跑道上的追及问题。利用追及问题常用的等量关系为：甲路程－乙路程＝环形跑道的长度是解题关键。 【对应练习2】 甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是250米/分，乙的速度是210米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？（列方程解答） 【答案】10分钟 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，根据甲跑的路程－乙跑的路程＝400，列方程解答即可。 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙，根据题意列方程： 250x－210x＝400 40x＝400 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【点睛】同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙时甲比乙多跑1圈，即路程差是环形跑道的周长，这是解答本题的关键。 【对应练习3】 明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】270米 【分析】根据题意，设明明每分钟走x米。根据路程差÷速度差＝追及时间，路程差也是甲、乙两地距离，速度和×相遇时间＝总路程，列方程解答。 【详解】解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【点睛】解答此题的关键是找到追及路程中的路程差和相遇路程中的总路程相等。 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题。 【方法点拨】 流水行船问题一般是研究船在“流水”中航行的问题，它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 1. 船速：船在静水中航行的速度。 2. 水速：水流动的速度。 3. 顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。 4. 流水行船问题基本数量关系： 顺速=船速＋水速；逆速=船速－水速； 船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2； 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2； 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间； 路程=逆流速度×逆流航行所需时间。 【典型例题】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3 千米/时，求船在静水中的速度。 解析： 解：设船在静水中的速度是x 千米/时，那么顺流速度是（x＋3）千米/时，逆流速度是（x－ 3）千米/时。 2（x＋3）＝2.5（x－3） x＝27 答：船在静水中的速度是 27千米/时。 【对应练习1】 船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港用了24小时，船在静水中的速度是13 千米/时，水流的速度是多少? 解析： 解：设水流的速度是x千米/时。 15（13+x）=24（13-x） x=3 答：水流的速度是3千米/时。 【对应练习2】 船从甲地顺流开往乙地，所用时间比从乙地逆流开往甲地少1.5 小时。已知船在静水中的速度为18千米/时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两地的距离。 解析： 解：设轮船逆水航行从乙地到甲地需要x小时。 （18+2）（x-1.5）=（18-2）x x=7.5 距离：（18-2）×7.5=120 答：甲乙两地的距离是120千米。 【对应练习3】 一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行4.6 小时，飞机出航时顺风飞行，在静风中的速度是575千米/时，风速是25千米/时，这架飞机最多飞出多长时间就应该返回? 解析： 解：设飞机最多飞出x小时就应返回。 （575+25）x=（575-25）×（4.6-x） x=2.2 答：飞机最多飞出2.2小时就应返回。 【考点十四】鸡兔同笼问题。 【方法点拨】 以脚的数量和作为等量关系来列方程，设兔的只数为x，用x表示另一未知量。 【典型例题】 鸡兔同笼，兔比鸡多15只，鸡和兔共有186只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡21只，兔36只。 【分析】根据题意可假设鸡有x只，则兔有（15＋x）只，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，鸡的脚的总只数＋兔的脚的总只数＝186只，依此列出方程并解答即可。 【详解】解：设鸡有x只，则兔有（15＋x）只 2x＋（15＋x）×4＝186 2x＋60＋4x＝186 6x＝186－60 6x＝126 x＝126÷6 x＝21 21＋15＝36（只） 答：鸡有21只，兔有36只。 【点睛】此题考查的是列方程解含两个未知数的问题，应先根据题意找到对应的等量关系式再进行解答。 【对应练习1】 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有8只 【分析】设鸡和兔各有x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48，列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有x只。 答：鸡和兔各有8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 【对应练习2】 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解方程即可求出鸡和兔子的数量。 【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答，也可以用假设法进行解答。 【对应练习3】 鸡兔同笼，鸡和兔一共有20只，鸡和兔的腿共有72条。鸡和兔分别有几只？ 【答案】4只；16只 【分析】此题可用方程法解答，设兔的数量为x，因为鸡和兔一共有20只，所以20－x即为鸡的数量，一只兔有4条腿，x只兔有4x条腿，一只鸡有2条腿，20－x只鸡有2（20－x）条腿，再把兔与鸡的腿数相加等于72即可列出方程。再根据等式的性质1与性质2解方程，即可解答。 【详解】解：设兔有x只，则鸡有20－x只。 4x＋2（20－x）＝72 4x＋40－2x＝72 4x＋40－2x－40＝72－40 4x－2x＝32 2x＝32 2x÷2＝32÷2 x＝16 鸡：20－16＝4（只） 答：鸡和兔分别有几4只、16只。 【点睛】此题的重点是找到等量关系：兔腿数量＋鸡腿数量＝72。 【考点十五】盈亏问题。 【方法点拨】 以总数量作为等量关系来列方程，设总人数为x。 【典型例题】 把一袋糖分给幼儿园的小朋友，如果每人分4颗糖，就会多出5颗糖；如果每人分5颗糖，就会少4颗，这袋糖有多少颗？ 解析： 解：设总共有x人。 4x+5=5x-4 x=9 糖：4×9+5=41（颗） 答：略。 【对应练习1】 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中二人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃块数。 解析： 解：设有x个人擦玻璃； 答：有10个人擦玻璃，总共有70块玻璃。 【对应练习2】 李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成．如果每天做60个，就可提前5天完成．这批零件共有多少个？ 解析： 解：设原计划要x天完成，则零件总数是50×（x+8）或60×(x-5)。 50×(x+8)=60×(x-5)     x=70 这批零件共有：50×(70+8) =3900（个） 【对应练习3】 学校买回一些练习本，按计划的人数发放，如果每人发4本，则剩余48本，如果每人发6本，则又少8本，学校买回多少练习本？计划发放的人数是多少？ 解析：160本；28人。 【考点十六】年龄问题。 【方法点拨】 以年龄差作为等量关系来列方程，问什么设什么，直接设未知数。 【典型例题1】问题一。 爸爸今年37岁，儿子13岁，几年前爸爸的年龄是儿子的3倍？ 解析： 解：设x年前爸爸的年龄是儿子的3倍。 37－x＝3（13－x） 37－x＝39－3x 2x＝2 x＝1 答：1年前爸爸的年龄是儿子的3倍。 【对应练习1】 父亲今年45岁，儿子今年15岁，几年前父亲的年龄是儿子的11倍？ 解析： 解：设几件前儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是11x岁。 11x-x=45-15 x=3 15-3=12（年） 答：略。 【对应练习2】 小军今年8岁，爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸年龄是小军的3倍？ 解析： 解：设小军x岁时，爸爸的年龄是小军的3倍，则爸爸的年龄是3x岁。 3x-x=34-8 x=13 答：略。 【对应练习3】 妈妈今年46岁，小倩今年12岁，再过多少年妈妈的年龄是小倩的3倍？ 解析： 解：设几年后小倩的年龄是x岁，则妈妈的年龄是3x岁。 3x-x=46-12 x=17 17-12=5（年） 答：略。 【典型例题2】问题二。 10年前叔叔的年龄是乐乐的4倍，今年叔叔的年龄是乐乐的2倍，叔叔今年多少岁？ 解析： 解：设10年前乐乐x岁。 4x＋10＝2（x＋10） x＝5 4×5＋10＝30（岁） 答：叔叔今年30岁。 【对应练习1】 今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的2.2倍。今年儿子多少岁？ 解析： 解：设今年儿子x岁。 4x+15=（x+15）×2.2 x=10 答：今年儿子10岁。 【对应练习2】 今年妈妈45岁，哥哥的年龄是妹妹的2倍。12年后，妈妈的年龄恰好等于兄妹俩年龄之和，今年妹妹多少岁？ 解析： 解：设今年妹妹x岁，那么今年哥哥2x岁。 x+12+2x+12=45+12 x=11 答：今年妹妹11岁。 【对应练习3】 田田比心心小3岁，今年她们的年龄和是老师年龄的一半。再过15年，她们的年龄和等于老师的年龄，今年田田多少岁？ 解析： 解：设今年田田x岁，那么今年心心（x+3）岁。 x+15+x+3+15=2（x+x+3）+15 x=6 答：今年田田6岁。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 38 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 38 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元简易方程·实际应用篇·六种典型问题 专题内容 本专题以列方程解应用题为主，其中包括六种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点综合性较强，难度较大，建议根据学生实际掌握情 况和整体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】倍数问题其一：基础型 ................................................................................... 5 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几） .....................................................6 【考点三】倍数问题其三：和倍问题 ................................................................................9 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题 .................................................................. 11 【考点五】倍数问题其五：差倍问题 ..............................................................................13 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题 .................................................................. 14 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题 ...........................................................16 【考点八】倍数问题其八：思维拓展 ..............................................................................18 【考点九】和差问题 ........................................................................................................ 20 【考点十】行程问题其一：基础行程问题 ...................................................................... 22 【考点十一】行程问题其二：相遇问题 ..........................................................................24 第 3 页 共 38 页 【考点十二】行程问题其三：追及问题 ..........................................................................29 【考点十三】行程问题其四：流水行船问题 .................................................................. 31 【考点十四】鸡兔同笼问题 ............................................................................................. 33 【考点十五】盈亏问题 .....................................................................................................35 【考点十六】年龄问题 .....................................................................................................36 第 4 页 共 38 页 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 1.列方程解应用题。 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等 式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出 等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2.列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多” 等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 3.注意。 列方程解应用题的核心是正确找出等量关系，并根据等量关系列出方程， 因此，本专题着重介绍几种常见典型问题的方程解法。 第 5 页 共 38 页 【考点一】倍数问题其一：基础型。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题】 某疫苗接种点 6月 5日的接种人数为 1524人，是 6月 4日接种人数的 4倍，该 接种点 6月 4日的接种人数是多少人？ 解析： 解：设该接种点 6月 4日的接种人数是 x人。 4x＝1524 x＝1524÷4 x＝381 答：该接种点 6月 4日的接种人数是 381人。 【对应练习 1】 李玲家这个月用水9.6立方米，这个月的用水量是上个月的1.2倍，上个月用水多 少立方米？ 解析： 解：设上个月用水x立方米。 1.2x=9.6 x=8 答：略。 【对应练习 2】 某食堂今天购进的白菜 90千克，是购进的黄瓜的 3倍，购进的黄瓜有多少千克？ 【答案】 解：设购进的黄瓜有 x千克。 3x＝90 3x÷3＝90÷3 x＝30 第 6 页 共 38 页 答：购进的黄瓜有 30千克。 【对应练习 3】 学校买来 24个篮球，是足球的 3倍，学校买来足球多少个？（用方程解） 【答案】 解：设学校买来 x个足球。 3x＝24 x＝24÷3 x＝8 答：学校买来足球 8个。 【点睛】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进 而列出方程是解答此类问题的关键。 【考点二】倍数问题其二：进阶型（几倍多或少几）。 【方法点拨】 倍数问题一般设 1倍量(标准量)为 x，再根据倍数关系列出方程，如果方程中含 有两个未知量，那么另一个未知量则用含 x的式子表示出来，再根据等量关系列 出方程。 【典型例题 1】几倍多几。 长方形菜地长是 20米，比宽的 2倍多 2米，宽是多少米？（用方程解） 【答案】 解：设宽是 x米。 2 x＋2＝20 2 x＋2－2＝20－2 2 x＝18 2 x÷2＝18÷2 x＝9 答：宽是 9米。 【对应练习 1】 果园里苹果树的棵数比桃树的 2倍多 38棵，苹果树有 210棵，桃树有多少棵？ （列方程解答） 第 7 页 共 38 页 【答案】 解：设桃树有 x棵。 2x＋38＝210 2x＋38－38＝210－38 2x＝172 2x÷2＝172÷2 x＝86 答：桃树有 86棵。 【对应练习 2】 粮店运来大米 5600千克，已知运来的大米比面粉的 2倍多 200千克，粮店运来 面粉多少千克？ 【答案】 解：设粮店运来面粉 x千克。 2 200 5600x   2 200 200 5600 200x     2 5400x  2 2 5400 2x    2700x  答：粮店运来面粉 2700千克。 【对应练习 3】 世界上最大的洲是亚洲，面积是 4500万平方千米。最小的洲是大洋洲，亚洲的 面积比大洋洲的 4倍多 912万平方千米，大洋洲的面积是多少万平方千米？（用 方程解答） 【答案】 解：设大洋洲的面积是 x万平方千米。 4x＋912＝4500 4x＋912－912＝4500－912 4x＝3588 4x÷4＝3588÷4 第 8 页 共 38 页 x＝897 答：大洋洲的面积是 897万平方千米。 【典型例题 2】几倍少几。 一个足球 74元，比一个排球价钱的 2倍少 12元，一个排球多少元？（列方程解 答） 【答案】 解：设一个排球 x元。 2x 12 74  2x 12 12 74 12    2x 86 2x 2 86 2   x 43 答：一个排球 43元。 【对应练习 1】 在跳绳比赛中，小华跳了 162个，比小红跳的 3倍少 54个，小红跳了多少个？ （用方程解） 【答案】 解：设小红跳了 x个。 3 54 162x   3 54 54 162 54x     3 216x  3 3 216 3x    72x  答：小红跳了 72个。 【对应练习 2】 六一儿童节那天，希望小学五年级有 150人参加游园活动，比六年级参加活动的 人数的 3倍少 90人，六年级有多少人参加游园活动？（列方程解答） 【答案】 解：六年级有 x人参加游园活动。 第 9 页 共 38 页 3 x－90＝150 3 x－90＋90＝150＋90 3 x＝240 3 x÷3＝240÷3 x＝80 答：六年级有 80人参加游园活动。 【对应练习 3】 地球绕太阳一周大约要用 365天，比水星绕太阳一周所用时间的 5倍少 75天， 水星绕太阳一周大约要用多少天？（用方程解） 【答案】 解：设水星绕太阳一周大约要用 x天。 5x－75＝365 5x－75＋75＝365＋75 5x＝440 5x÷5＝440÷5 x＝88 答：水星绕太阳一周大约要用 88天。 【考点三】倍数问题其三：和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 某钢厂有职工 1800人，其中男职工是女职工人数的 4倍，这个钢厂男、女职工 各有多少人？ 【答案】 解：设这个钢厂女职工有 x人，则男职工有 4x人。 x＋4x＝1800 5x＝1800 5x÷5＝1800÷5 第 10 页 共 38 页 x＝360 男职工：360×4＝1440（人） 答：这个钢厂男职工有 1440人，女职工有 360人。 【对应练习 1】 果园里种着梨树和桃树，梨树的颗数是桃树 5倍，梨树和桃树一共有 540颗，梨 树和桃树各多少棵？（用方程解） 【答案】 解：设桃树有 x棵。 5x＋x＝540 6x＝540 6x÷6＝540÷6 x＝90 90×5＝450 答：梨树和桃树各 450棵、90棵。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习 2】 一辆双层巴士上共有乘客 42人，上层乘客人数是下层乘客人数的 2倍。上、下 层乘客各有多少人？（列方程解答） 【答案】 解：设下层乘客人数是 x人，则上层乘客人数是（2×x）人。 x＋2×x＝42 （1＋2）x＝42 3x＝42 3x÷3＝42÷3 x＝14 14×2＝28（人） 答：上层乘客有 28人，下层乘客有 14人。 【对应练习 3】 某医院组织医疗队进行全员核酸检测，参加支援的有 36人，其中护士人数是医 第 11 页 共 38 页 生人数的 3倍，参加支援的医生和护士各有多少人？ 【答案】 解：设医生有 x人。 x＋3x＝36 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 9×3＝27（人） 答：参加支援的医生有 9人，护士有 27人。 【考点四】倍数问题其四：复杂的和倍问题。 【方法点拨】 和倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以和作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 水果店有苹果和梨共 500千克，苹果的重量比梨的 4倍多 20千克，苹果比梨多 多少千克？ 【答案】 解：设梨的质量为 x千克，苹果的质量为（4x＋20）千克； 4x＋20＋x＝500 5x＝480 x＝96； 4×96＋20 ＝384＋20 ＝404（千克）； 404－96＝308（千克）； 答：苹果比梨多 308千克。 【对应练习 1】 图书馆有故事书和科技书共 370本，故事书的本数比科技书的 2倍多 10本，图 书馆有故事书和科技书各多少本？（用方程解） 第 12 页 共 38 页 【答案】 解：设科技书有 x本，则故事书有（2x＋10）本。 2 10 370x x   3 10 370x   3 360x  120x  故事书：370－120＝250（本） 答：图书馆有故事书 250本，科技书 120本。 【对应练习 2】 某学校女教师和男教师共 46人，女教师人数比男教师人数的 2倍多 4人，男教 师和女教师分别有多少人？（用方程解） 【答案】 解：设男教师有 x人，则女教师有 2x＋4人。 x＋2x＋4＝46 3x＋4＝46 3x＝42 x＝14； 46－14＝32（人） 答：男教师 14人，女教师 32人。 【对应练习 3】 一个篮球的质量比一个排球的 2倍多 100克，3个篮球和 4个排球共重 2800克。 每个篮球重多少克？每个排球重多少克？（列方程解答） 【答案】 解：设每个排球重 x克，则每个篮球（2 x＋100）克。 3（2 x＋100）＋4 x＝2800 6 x＋300＋4 x＝2800 10 x＋300＝2800 第 13 页 共 38 页 10 x＋300－300＝2800－300 10 x÷10＝2500÷10 x＝250 每个篮球重： 2×250＋100 ＝500＋100 ＝600（克） 答：每个篮球重 600克，每个排球重 250克。 【考点五】倍数问题其五：差倍问题。 【方法点拨】 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 小鸡的数量是小鸭的 3倍，小鸡比小鸭多 24只。小鸡和小鸭分别有多少只？ 【答案】 解：设小鸭有 x只，则小鸡有 3x只， 3x－x＝24 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 12×3＝36（只） 答：小鸡有 36只，小鸭有 12只。 【对应练习 1】 列方程解决下列问题。 河里有鹅、鸭若干，其中鸭的只数是鹅的只数的 5倍，又知鸭比鹅多 44只，鹅 和鸭各多少只？ 【答案】 解：设鹅有 x只。 5x－x＝44 第 14 页 共 38 页 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 44＋11＝55（只） 答：鹅有 11只，鸭有 55只。 【对应练习 2】 王伯伯的果园里种了桃树和梨树，桃树是梨树的 7倍，桃树比梨树多 156棵，果 园里梨树和桃树各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】 解：设梨树有 x棵，桃树有 7x棵。 7x－x＝156 6x＝156 6x÷6＝156÷6 x＝26 桃树：26×7＝182（棵） 答：梨树有 26棵，桃树有 182棵。 【对应练习 3】 学校图书室购进一批图书，科技书的本数是故事书的 4倍，科技书比故事书多 180本，科技书和故事书各是多少本？（列方程解答） 【答案】 解：设故事书有 x本，则科技书有 4x本， 4x－x＝180 3x＝180 3x÷3＝180÷3 x＝60 60×4＝240（本） 答：故事书有 60本，科技书有 240本。 【考点六】倍数问题其六：复杂的差倍问题。 【方法点拨】 第 15 页 共 38 页 差倍问题，一般设 1倍量(标准量)为 x，另一个未知量则用含 x的式子表示出来， 再以差作为等量关系来列出方程。 【典型例题】 学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学 校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 解析： 解：设彩色粉笔有x箱，则白粉笔有（4x+3）箱。 4x+3-x=15 x=4 白粉笔：4+15=19（箱） 答：略。 【对应练习1】 学校买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，学校有 蓝、绿水彩笔各多少支？ 解析： 解：设绿色水彩笔有x支，则蓝色水彩笔有（3x-3）支。 3x-3-x=97 x=50 蓝色：50+97=147（支） 答：略。 【对应练习2】 今年爸爸比小芳大29岁，已知爸爸今年的岁数比小芳的4倍多5岁，爸爸和小芳今 年各是多少岁？ 解析： 解：设小芳今年x岁，则爸爸今年（4x+5）岁。 4x+5-x=29 x=8 爸爸：8+29=37（岁） 答：略。 第 16 页 共 38 页 【对应练习3】 果园里有一些苹果数和梨树，苹果树的棵数是梨树的3倍少10棵，苹果树比梨树 多80棵，问两种树各有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则苹果树有（3x-10）棵。 3x-10-x=80 x=45 苹果树：45+80=125（棵） 答：略。 【考点七】倍数问题其七：多个倍数的倍数问题。 【方法点拨】 题目中有多个倍数关系时，寻找一倍数，以一倍数作为未知数，并来表示出其他 未知量。 【典型例题】 果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各 有多少棵？ 解析： 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，杏树有3x棵。 x+2x+3x=240 x=40 桃树：80棵 杏树：120棵。 答：略。 【对应练习1】 甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的2倍，三人 各捐多少元？ 解析： 解：设丙捐款x元，则乙捐款2x元，甲捐款6x元。 x+2x+6x=270 第 17 页 共 38 页 x=30 甲：180元 乙：60元 答：略。 【对应练习2】 甲乙丙三数之和是183，甲数比乙数的2倍多7，丙数比乙数的3倍少4，求甲乙丙 三数各是多少? 解析： 解：设乙数是x，则甲数是（2x+7），丙数是（3x-4）。 x+2x+7+3x-4=183 x=30 甲数：67 丙数：86 答：略。 【对应练习 3】 有甲、乙、丙三个数，如果乙数是甲数的 3倍，丙数比乙数的 2倍多 20。三个 数的和是 80，这三个数分别是多少？ 【答案】 解：设甲数是 x，则乙数是 3x，丙数是 6x＋20 x＋3x＋6x＋20＝80 （1＋3＋6）x＝80－20 10x＝60 x＝60÷10 x＝6 6×3＝18 6×6＋20 ＝36＋20 ＝56 答：甲数是 6，乙数是 18，丙数是 56。 第 18 页 共 38 页 【考点八】倍数问题其八：思维拓展。 【方法点拨】 题目中有两个倍数关系时，分析已知条件，利用其中一个倍数关系表示未知量， 再根据已知等量关系列出方程。 【典型例题 1】问题一。 小芳课外书的本书是小强的3倍，现在小芳借给小强10本书，小强书的本书是小 芳的3倍。小芳，小强现在各有课外书多少本？ 解：设原来小强有课外书x本，那么小芳就有3x本 x+10=3（3x-10） x+10=9x-30 8x=40 x=5 小芳原有课外书 3×5=15（本） 小强现在有课外书 5+15=20（本） 小芳现在有课外书 15-10=5（本） 答：小强现在有课外书15本，小芳现在有课外书5本。 【对应练习1】 红红和兰兰都收集邮票，红红收集的邮票是兰兰的4倍，红红给了兰兰18张，兰 兰现在的邮票就是红红的4倍，红红和兰兰现在各有邮票多少张？ 解析： 解：设兰兰原来有x张邮票。 （4x-18）×4=x+18 x=6 6×4=24（张） 24-18=6（张） 6+18=24（张） 答：红红现在有6张邮票，兰兰现在有24张邮票。 【对应练习2】 工地上有两堆沙子，甲堆的质量是乙堆的 5倍，从甲堆运 80吨到乙堆，这时乙 第 19 页 共 38 页 堆沙子的质量就是甲堆得 5倍，现在两堆沙子的质量分别是多少吨？ 解析： 解：设乙堆原来有 x吨。则甲堆原来有 5x吨。 5（5x-80）=x+80 x=20 现在甲堆：5×20-80=20（吨） 现在乙堆：20+80=100（吨） 答：现在工地甲堆有 20吨，乙堆有 100吨。 【对应练习 3】 甲、乙两人共同步行，如果同时同地同向而行，经过 8分钟，甲比乙多行 40米； 如果同时同地背向而行，5分钟后相距 175米，两人每分钟各行多少米？ 解析： 解：设乙每分钟行 x米，则甲每分钟行（x+40÷8）米。 （x+x+40÷8）×5=175 x=15 甲每分钟行：15+40÷8=20（米） 答：甲每分钟行 20米，乙每分钟行 15米。 【典型例题 2】问题二。 王叔叔看一本小说，未看页数是已看页数的 4倍，如果再看 50页，未看页数就 是已看页数的 2倍，这本书共多少页? 解析： 解：设已看页数是 x页，那么未看页数就是 4x页 4x－50=（x＋50）×2 4x－50=2x＋100 2x=150 x=75 未看页数：75×4=300（页） 总页数：75＋300=375（页） 答：这本书共 375页。 第 20 页 共 38 页 【对应练习 1】 一辆汽车从甲地到乙地，未行的路程是乙行路程的 4倍，如果再行 100千米，未 行路程就是已行路程的 2倍，甲乙两地之间的公路长多少千米？ 解析：750千米 【对应练习 2】 修一条公路，未修的长度是已修的 2倍， 如果再修 2000米，已修的长度就是未 修的 2倍，这条公路长多少米? 解析：6000米 【对应练习 3】 修一条公路，未修的长度是已修的 3倍， 如果再修 300米，未修的长度就是已 修的 2倍，这条公路长多少米? 解析：3600米 【考点九】和差问题。 【方法点拨】 和差问题，设小不设大，一般以和作为等量关系来列方程。 【典型例题】 故事书比科技书多 8本，两种书一共 92本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【答案】 解：设科技书有 x本，故事书有（x＋8）本， x＋8＋x＝92 2x＋8＝92 2x＋8－8＝92－8 2x＝84 2x÷2＝84÷2 x＝42 8＋42＝50（本） 答：科技书有 42本，故事书有 50本。 【对应练习1】 一架钢琴共有 88个键，白键比黑键多 16个。黑键和白键各有多少个？ 第 21 页 共 38 页 【答案】 解：设黑键有 x个，白键有（16＋x）个。 x＋（16＋x）＝88 x＋x＋16＝88 2x＝88－16 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 36＋16＝52（个） 答：黑键有 36个，白键有 52个。 【对应练习2】 甲乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各有多少岁？ 解析： 解：设乙的年龄是x岁，则甲是（x-5）岁。 x+x-5=35 x=20 甲：20-5=15（岁） 答：略。 【对应练习3】 小军和妈妈现在年龄的和是 36岁，3年后，妈妈比小军大 26岁，今年小军和妈 妈各多少岁？ 解析： 解：设今年妈妈 x岁，则今年小军（36－ x）岁。 x－（36－ x）＝26 x－36＋ x＝26 2 x－36＝26 2 x－36＋36＝26＋36 2 x＝62 2 x ÷2＝62÷2 第 22 页 共 38 页 x＝31 今年小军：36－31＝5（岁） 答：今年小军 5岁，妈妈 31岁。 【考点十】行程问题其一：基础行程问题。 【方法点拨】 行程问题，一般利用行程问题基本数量关系作为等量关系来列方程，即 路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度。 【典型例题】 一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是 138千米 /时。 经过 3小时，动车比特快列车多行了 201千米。动车的速度是多少千米 /时？（列 方程解答） 【答案】 解：设动车的速度是 x千米 /时。 ( 138) 3 201x     138 3 3 201 3x      138 67x   138 138 67 138x     205x  答：动车的速度是 205千米 /时。 【对应练习 1】 李鹏和王明的家分别在学校的东西两边，两家相距 560米，一天李鹏和王明同时 从校门口回家，7分钟后他们同时到家。李鹏平均每分钟走 45米，王明平均每 分钟走多少米？（用方程解答） 【答案】 解：设王明平均每分钟走 x米。 7x＋45×7＝560 第 23 页 共 38 页 7x＋315＝560 7x＋315－315＝560－315 7x＝245 7x÷7＝245÷7 x＝35 答：王明平均每分钟走 35米。 【对应练习 2】 A、B两车同时从甲地出发去往乙地。10小时后两车相距 40千米。B车的速度 是多少千米/小时？ 【答案】 解：设 B车速度是 x千米/小时。 45×10－10x＝40 450－10x＝40 10x＝450－40 10x＝410 10x÷10＝410÷10 x＝41 答：B车速度是 41千米/小时。 【对应练习 3】 甲、乙两幢大楼的楼门在一条直线上，相距 300米。小丽和小明两人分别从甲、 乙两幢大楼门口同时向相反的方向走去，7分钟后两人相距 860米。小丽平均每 分钟走 37米，小明平均每分钟走多少米？（用方程解） 【答案】 解：设小明平均每分钟走 x米。 37×7＋7 x＋300＝860 259＋7 x＋300＝860 第 24 页 共 38 页 559＋7 x＝860 559＋7 x－559＝860－559 7 x＝301 7 x÷7＝301÷7 x＝43 答：小明平均每分钟走 43米。 【考点十一】行程问题其二：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题，一般以相遇问题的基本公式作为等量关系来列方程，即 路程=速度和×相遇时间； 速度和=路程÷相遇时间； 相遇时间=路程÷速度和。 【典型例题 1】求相遇时间。 截至 2021年 5月，郑州铁路沿线新增游园 102个，打造出了一个安全宜居的铁 路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游 园晨练，她们沿着一条长 2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分 钟跑 260米，同同每分钟跑 240米，几分钟后她俩相遇？ （1）画线段图分析题中的数量关系。 （2）列方程解答。 【答案】 （1） 数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和 （2）解：设两人 x分钟后相遇。 260x＋240x＝2500 500x＝2500 500x÷500＝2500÷500 第 25 页 共 38 页 x＝5 答：两人 5分钟后相遇。 【对应练习 1】 两艘舰艇同时从相距 948千米的两个港口相向而行。一艘每小时行驶 38千米， 另一艘每小时行驶 41千米。经过几小时两艘舰艇相遇？ 【答案】 解：设经过 x小时两艘舰艇相遇。 （38＋41）x＝948 79x＝948 x＝948÷79 x＝12 答：经过 12小时两艘舰艇相遇。 【对应练习 2】 港珠澳大桥是当今世界上最长的跨海大桥，桥隧全长约 55千米。如果甲、乙两 辆车同时从两端相向开出，甲车每小时行 60千米，乙车每小时行 65千米，甲、 乙两车经过多少小时相遇？（列方程解答） 【答案】 解：设甲、乙两车经过 x小时相遇，可得： （60＋65）×x＝55 125x＝55 x＝0.44 答：甲、乙两车经过 0.44小时相遇。 【对应练习 3】 甲、乙两辆汽车同时从相距 840千米的两地相对开出，甲车每小时行 90千米， 乙车每小时行 110千米，经过几小时后两车相遇？ 【答案】解：设经过 x小时后两车相遇。 （90＋110）x＝840 第 26 页 共 38 页 200x＝840 200x÷200＝840÷200 x＝4.2 答：经过 4.2小时后两车相遇。 【典型例题 2】求速度。 甲、乙两地高铁专线全长 800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开 出的 A动车组列车平均每小时行驶 240千米，出发后 1.6小时与从乙地开出的 B 动车组列车相遇。从乙地开出的 B动车组列车的速度是多少？（列方程解决） 【答案】 解：设从乙地开出的 B动车组列车的速度是每小时 x千米。 240×1.6＋1.6x＝800 384＋1.6x＝800 384＋1.6x－384＝800－384 1.6x＝416 1.6x÷1.6＝416÷1.6 x＝260 答：从乙地开出的 B动车组列车的速度是每小时 260千米。 【对应练习 1】 涂涂家和学校相距 3.4千米，周一早上涂涂到学校后发现自己忘带语文书，打电 话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也往回家方向走，10分钟后相遇，已知涂 涂每分钟走 60米，妈妈每分钟骑多少米？ 【答案】 3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑 x米。 10x＋60×10＝3400 10x＋600＝3400 10x＋600－600＝3400－600 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 第 27 页 共 38 页 x＝280 答：妈妈每分钟骑 280米。 【对应练习 2】 两地间的路程是 630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过 4.2小时相遇。甲车每小时行驶 78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】 解：设乙车每小时行驶 x千米。 （78＋x）×4.2＝630 （78＋x）×4.2÷4.2＝630÷4.2 78＋x＝150 78＋x－78＝150－78 x＝72 答：乙车每小时行驶 72千米。 【对应练习 3】 两辆汽车同时从相距 1080千米的两地相向而行，经过 8小时相遇。一辆汽车平 均每小时行 60千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】 解：设另一辆车平均每小时行 x千米。 60×8＋8x＝1080 （60＋x）×8＝1080 （60＋x）×8÷8＝1080÷8 60＋x＝135 60＋x－60＝135－60 x＝75 答：另一辆汽车平均每小时行 75千米。 【典型例题 3】中点相遇问题。 甲、乙两列火车分别从 A、B两地同时出发，相向而行，经过 1.5小时在离中点 18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的 1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？ （用方程解答） 第 28 页 共 38 页 【答案】 解：设乙车的速度是 x千米/时，则甲车的速度是 1.2 x千米/时。 1.5×1.2 x－1.5 x＝18×2 1.8 x－1.5 x＝36 0.3 x＝36 0.3 x ÷0.3＝36÷0.3 x＝120 乙车行了：120×1.5＝180（千米） 甲车行了：120×1.2×1.5＝216（千米） 答：相遇时，甲车行了 216千米，乙车行了 180千米。 【对应练习 1】 甲乙两辆旅游车同时从 AB两地相向出发，甲车每小时行 58千米，乙车每小时 行 49千米，两车在离中点 27千米处相遇。求 AB两地的路程。 【答案】 27×2＝54（千米） 54÷（58－49） ＝54÷9 ＝6（小时） （58＋49）×6 ＝107×6 ＝642（千米） 答：AB两地的路程是 642千米。 【对应练习 2】 甲、乙两辆汽车同时从 A、B两地出发相向而行，甲车的速度是 65千米/时，乙 车的速度是 50千米/时，两车在距离中点 90千米处相遇。求 A、B两地的路程。 【答案】 90×2＝180（千米） 第 29 页 共 38 页 65－50＝15（千米/时） 180÷15＝12（小时） （65＋50）×12 ＝115×12 ＝1380（千米） 答：A、B两地之间的距离是 1380千米。 【对应练习 3】 一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过 15小时在离中 点 3千米处相遇。已知快车平均每小时行 75千米，慢车平均每小时行多少千米？ 【答案】 解：设慢车平均每小时行 x千米。 75×15－3＝15x＋3 1125－3＝15x＋3 15x＋3＝1122 15x＋3－3＝1122－3 15x＝1119 15x÷15＝1119÷15 x＝74.6 答：慢车平均每小时行 74.6千米。 【考点十二】行程问题其三：追及问题。 【方法点拨】 追及问题，一般以追及问题的基本公式作为等量关系来列方程，即： 追及路程÷速度差＝追及时间； 速度差×追及时间＝追及路程； 追及路程÷追及时间＝速度差。 【典型例题】 一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车的速度是 45千米/时，货车开出 0.5 小时后，客车以 60千米/时的速度开出，几小时后客车能追上货车？ 【答案】 第 30 页 共 38 页 解：设 x小时后客车能追上火车。 45×0.5＋45x＝60x 22.5＋45x＝60x 22.5＋45x－45x＝60x－45x 15x＝22.5 15x÷15＝22.5÷15 x＝1.5 答：1.5小时后客车能追上货车。 【对应练习 1】 学校环形跑道长 400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过 10 分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是 240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 【答案】 解：设张珊每分钟跑 x米。 10x－240×10＝400 10x－2400＝400 10x－2400＋2400＝400＋2400 10x＝2800 10x÷10＝2800÷10 x＝280 答：张珊每分钟跑 280米。 【对应练习 2】 甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。 甲的速度是 250米/分，乙的速度是 210米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ （列方程解答） 【答案】 解：设经过 x分钟甲第一次追上乙，根据题意列方程： 250x－210x＝400 40x＝400 x＝10