专题7.3 平行线的性质【7大题型】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题7.3平行线的性质 【考点梳理】 考点一：平行线的性质 考点二：根据平行线性质探究角的关系 考点三：根据平行线性质求角的大小 考点四：平行线性质在生活应用问题 考点五：平行线之间的距离问题 考点六：与命题有关的问题 考点七：平行线的判定和性质的综合问题 【知识梳理】 知识01：平行线的性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说:两直线平行，同位角相等. 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说:两直线平行，内错角相等. 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说:两直线平行，同旁内角互补. 注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。 一个结论：平行线间的距离处处相等。 例如：应用于 说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或 以下底为底的两等面积的三角形。（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。） 知识02、命题 判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。 例如：“明天可能下雨。”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。”这句语句_____命题。(填“是”或“不是”) 1 命题分为真命题 与 假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。 2 逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。 注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。 【题型归纳】 题型一：平行线的性质 1．（24-25七年级上·吉林长春）如图，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 题型二：根据平行线性质探究角的关系 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型三：根据平行线性质求角的大小 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：平行线性质在生活应用问题 10．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 题型五：平行线之间的距离问题 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 15．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 题型六：与命题有关的问题 16．（2025七年级下·全国）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 17．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型七：平行线的判定和性质的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，和互余，于点．求证：． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【高分演练】 一、单选题 22．（2025七年级下·全国）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 24．（2025七年级下·全国·专题练习）以下正确的命题共有（   ） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线与射线为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A．B． C． D． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，连接，，，若，则添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列选项中，判定错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 31．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，交于点，交于点．若，则与的位置关系是 ． 36．（24-25七年级下·全国）如图，，则 ． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 38．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 39．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 三、解答题 40．（24-25七年级下·全国）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 44．（24-25七年级下·全国）完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 45．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 46．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3平行线的性质 【考点梳理】 考点一：平行线的性质 考点二：根据平行线性质探究角的关系 考点三：根据平行线性质求角的大小 考点四：平行线性质在生活应用问题 考点五：平行线之间的距离问题 考点六：与命题有关的问题 考点七：平行线的判定和性质的综合问题 【知识梳理】 知识01：平行线的性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说:两直线平行，同位角相等. 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说:两直线平行，内错角相等. 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说:两直线平行，同旁内角互补. 注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。 一个结论：平行线间的距离处处相等。 例如：应用于 说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或 以下底为底的两等面积的三角形。（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。） 知识02、命题 判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。 例如：“明天可能下雨。”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。”这句语句_____命题。(填“是”或“不是”) 1 命题分为真命题 与 假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。 2 逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。 注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。 【题型归纳】 题型一：平行线的性质 1．（24-25七年级上·吉林长春）如图，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、， （两直线平行，内错角相等），故A正确，不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），故B正确，不符合题意； C、由不能判定，故C不正确，符合题意； D、， 即（两直线平行，内错角相等），故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型二：根据平行线性质探究角的关系 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 题型三：根据平行线性质求角的大小 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质求出，再根据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型四：平行线性质在生活应用问题 10．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°． 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过作，得到，继而得到，得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 12．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作，，得出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：作，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型五：平行线之间的距离问题 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离定义解题即可． 【详解】解：A、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； B、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； C、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，说法正确； D、过平行线中一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条平行线间的距离，原说法错误； 故选：C． 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 15．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】由于到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求． 【详解】解：如图：    ∵到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上， 到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线a3、a4上， ∴符合条件的点是P1、P2、P3、P4，一共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键． 题型六：与命题有关的问题 16．（2025七年级下·全国）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查真假命题、逆命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平面内两直线的位置关系、垂直的定义、平行公理、补角的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，垂直只是相交的特殊情形，故说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确； 同角或等角的补角相等，故说法正确； 综上所述，正确的说法有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，垂直的定义，平行公理，补角的性质等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 题型七：平行线的判定和性质的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，和互余，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质．先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    21．（2025七年级下·全国·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质探究角的关系． （1）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． （2）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． 【详解】（1）解∶过点作． 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为∶ （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【高分演练】 一、单选题 22．（2025七年级下·全国）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 23．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 【答案】A 【分析】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【详解】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意； B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意． 故选：A． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）以下正确的命题共有（   ） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线与射线为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题的正误．利用确定直线的条件、及直线的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①过一点可画无数条直线，正确，符合题意； ②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条或1条直线，故原命题错误，不符合题意； ③射线与射线不是同一射线，故原命题错误，不符合题意； ④三条直线两两相交，必有1个或3个交点，故原命题错误，不符合题意， 正确的有1个， 故选：A． 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，连接，，，若，则添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质，判断解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， 无法判定， ∴B选项错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：B． 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列选项中，判定错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、若，则，故A正确，不符合题意； B、若，则，故B正确，不符合题意； C、若，则，故C正确，不符合题意； D、若，则，故D错误，符合题意． 故选：D． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 31．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，根据内错角相等，两直线平行得出，，根据两直线平行，同旁内角互补得出，即可作出判断，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴，故①④符合题意，③不符合题意； ∵， ∴，故②符合题意； 故选：D． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． ①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 因为，， 所以， 所以，故②正确； 过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，故③正确； 因为，， 所以， 所以，故④正确． 综上分析可知：正确的是①②③④． 故选：A． 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出，根据折叠得出，再逐个判断即可． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质，得，①正确； ，②正确； ， ． ， ，③正确； ， ，④正确． 故正确的结论有4个． 34．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质的知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先证明，易得，；结合角平分线的性质可得，进而可得；结合，易知，进而可得，易知，即有，故在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个． 故选：B． 二、填空题 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，交于点，交于点．若，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 【详解】解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【答案】/23度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 38．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，而与不一定垂直， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴和互余，和互余，而， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 39．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行；． 三、解答题 40．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握角平分线的定义及平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据平分，平分，得到，，由，得到，即可求解； （2）根据题意可得，由平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．熟练掌握对顶角相等，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，可证，则，，进而可证； （2）由（1）可知，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解； （2）根据（1）中的结论，即可得到结果． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作， ． 又， ， ， ， 即， （2）根据（1）中的结论， 可得出． 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即． 44．（24-25七年级下·全国·单元测试）完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；； 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， ， ． （已知）， ． 又平分（已知）， ． 又平分（已知）， ， ， ， ，即． 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；；；；；；． 45．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 46．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识． （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义即可解答； （2）过点G作，则，根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）过点G作，过点P作，则，由平行线的性质推出，，得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点G作，则， ∴，， ∴； （3）如图，过点G作，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平分线的判定及性质，角平分线的有关计算，互余的定义，一元一次方程的应用等； （1）由角平分线的定义及平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由等量代换得，由平行线的判定方法即可得证； （2）过点作，交于点．由（1）同理可证，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （3）设，由角平分线的定义及补角的定义得，由角的和差得，由平行线的性质得，可得，求出，由互余的定义得，即可求解； 掌握平分线的判定及性质，能熟练进行角平分线的有关计算，并利用一元一次方程进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点． 由（1）同理可证， ， ， ． ， ； （3）解：平分， 设， 又平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与互余， ， ， ， ， ． 故的度数为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$