专题7.2平行线及其判定【7大题型】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题7.2平行线及其判定 【考点梳理】 考点一：两直线的位置关系 考点二：平行公理及推论 考点三：同位角判断直线平行 考点四：内错角相等判断直线平行 考点五：同旁内角互补判断直线平行 考点六：垂直于同一直线的两直线平行 考点七：平行判定的综合问题 【知识梳理】 知识点01平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 知识点02平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 知识点03平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点04平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 【题型探究】 题型一：两直线的位置关系 1．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 3．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 题型二：平行公理及推论 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 6．（23-24七年级下·河北石家庄）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 题型三：同位角判断直线平行 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，以下条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 题型四：内错角相等判断直线平行 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A．B．C．D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，下列条件中可以判定的是（          ） A． B． C． D． 题型五：同旁内角互补判断直线平行 13．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，能判定的条件是（    ） ． A． B． C． D． 题型六：垂直于同一直线的两直线平行 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 17．（21-22七年级下·河南漯河·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 18．（21-22七年级上·河南南阳·期末）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论： ①如果ab，ac，那么bc； ②如果a⊥b，b⊥c，那么ac； ③如果ab，b⊥c，那么a⊥c； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；正确的有个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七：平行线的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，分别与直线交于点，，，分别平分和，且．求证：． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，分别平分和，分别平分和，，． (1)求的度数． (2)求证：． (3)是否平分，说明理由． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数为（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行；③如果，，那么；④如果直线，，那么直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 27．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③⑥ D．①③⑤⑥ 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c 相交，给出下列条件：；．其中能判断的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 29．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 二、填空题 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是 ．（请填写序号） 33．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 34．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 三、解答题 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 36．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分．求证：． 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 38．（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 39．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)求证． 40．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2平行线及其判定 【考点梳理】 考点一：两直线的位置关系 考点二：平行公理及推论 考点三：同位角判断直线平行 考点四：内错角相等判断直线平行 考点五：同旁内角互补判断直线平行 考点六：垂直于同一直线的两直线平行 考点七：平行判定的综合问题 【知识梳理】 知识点01平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 知识点02平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 知识点03平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点04平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 【题型探究】 题型一：两直线的位置关系 1．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的； 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 【答案】D 【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意； D、在同一平面内，没有公共点的两条直线相互平行，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 题型二：平行公理及推论 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一直线上， 故选：． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 6．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线公理及推论，牢记平行公理是关键，根据平行公理及垂直的性质直接判断即可． 【详解】解：已知直线l，在同一平面内， 与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误； 经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误； 若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确； 故选：D． 题型三：同位角判断直线平行 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能判定，故选项符合题意； B、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； C、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； D、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； 故选：A． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，以下条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定，即可判断． 【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意； B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定，故本符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意． 故选：C． 题型四：内错角相等判断直线平行 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故A错误； B、，即，内错角相等可判定出，故B正确； C、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故C错误； D、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故D错误； 故选：B． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，下列条件中可以判定的是（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据每个选项的角的关系，再结合平行线的判定内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项是正确的； B、∵，∴，∴得不到，故该选项是错误的； C、∵，且不是同位角也不是内错角，∴得不到，故该选项是错误的； D、∵，且不是同位角也不是内错角，∴得不到，故该选项是错误的； 故选：A． 题型五：同旁内角互补判断直线平行 13．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，能判定的条件是（    ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】A.由得，故不符合题意； B.由得，故不符合题意； C.由得，故符合题意； D.由得，故不符合题意； 故选：C． 题型六：垂直于同一直线的两直线平行 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可． 【详解】解：A、如果，，那么，说法正确； B、如果，，那么，说法正确； C、如果，，那么，故原说法错误； D、如果，，那么，说法正确． 故选：C． 17．（21-22七年级下·河南漯河·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab． 【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b ∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 故答案为B． 【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键． 18．（21-22七年级上·河南南阳·期末）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论： ①如果ab，ac，那么bc； ②如果a⊥b，b⊥c，那么ac； ③如果ab，b⊥c，那么a⊥c； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；正确的有个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：①若ab，ac，则bc，故①说法正确， ②若a⊥b，b⊥c，则ac，故②说法正确， ③若ab，b⊥c，则a⊥c，故③说法正确， ④若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行． 题型七：平行线的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，分别与直线交于点，，，分别平分和，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定是解题的关键． 由角平分线的定义得到，，根据，进而推出，再根据对顶角相等，等量代换即可得出即可证明． 【详解】证明：平分，平分， ，， ， ． 又， ， ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，分别平分和，分别平分和，，． (1)求的度数． (2)求证：． (3)是否平分，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）先由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，据此根据三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可推出，则； （3）先由平行线的性质得到，则，再根据，得到，则是否平分． 【详解】（1）解：∵分别平分和，分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 分别平分和， ∴， ∴， ∴； （3）解：平分，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线， 螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线 故选：D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】该题主要考查了平行公理及推论，平行线的定义，熟记平行公理及推论，平行线的定义是解题的关键． 根据平行公理及推论，平行线的定义解答即可． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故A选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误，不符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数为（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行；③如果，，那么；④如果直线，，那么直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的定义，平行公理，和平行线的判定，掌握平行线的定义，平行公理，和平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行，说法正确； ③同一平面内，如果，，那么，原说法错误； ④如果直线，，那么直线，说法正确； 故选：B． 26．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴；故③正确； 不能判定；故④错误； 故选A． 27．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③⑥ D．①③⑤⑥ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理直接作出判断即可，熟知平行线判定的条件：同位角相同，两直线平行；内错角相同，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键． 【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得； ②根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ③根据同位角相等，两直线平行即可证得； ④根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ⑤根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得； ⑥根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得不能证明； 故一定能判定的条件是①③⑤， 故选：A． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c 相交，给出下列条件：；．其中能判断的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，解题的关键是掌握平行线的判定方法． 【详解】解： ∴，故①符合题意； 和是对顶角，根据不能判定，故②不符合题意； ， ∴，故③符合题意； ∴，故④符合题意； 综上，①③④能判定， 故选：B． 29．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 是对角，不能判定，不符合题意； B. ，的依据是“同位角相等，两直线平行”，符合题意； C. ，的依据是“内错角相等，两直线平行”，不符合题意； D. ，的依据是“同旁内角互补，两直线平行”，不符合题意． 故选B． 二、填空题 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得． 【详解】解：添加：， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是 ．（请填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ， 能够得到的条件是②③， 故答案为：②③． 33．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定逐一判断． 【详解】解： ，（内错角相等两直线平行）； ，和是不相关的一组角，不能判断； ，（同旁内角互补两直线平行）； ，（同旁内角互补两直线平行）； 故答案为：． 34．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故①不符合题意； ②∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故②不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：③④⑤． 三、解答题 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 36．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平行线的判定；根据题意以及角平分线的定义得出，根据邻补角以及三角形内角和定理得出，即可得证． 【详解】证明：如图所示， ∵平分． ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 【详解】解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 38．（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 39．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义，熟练的利用多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键． （1）由四边形内角和定理得到，由平分即可得到答案； （2）设，证明，在中，，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 40．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$