专题7.1相交线【7大题型】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题7.1相交线 【考点梳理】 考点一：相交线与垂线的定义 考点二：画垂线或最短问题 考点三：与对顶角有关问题 考点四：邻补角的定义 考点五：邻补角求角度问题 考点六：同位角、内错角、同旁内角的问题 考点七：相交线的综合问题 【 知识梳理】 知识点一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 知识点二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 【题型归纳】 题型一：相交线与垂线的定义 1．（2025七年级下·全国）如图，若已知，则下列说法正确的是（　　） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键．根据与不垂直可对选项进行判断；根据与不垂直可对选项进行判断；根据线段是点A到的垂线段可对选项进行判断；根据可对选项进行判断；综上，即可得出答案． 【详解】解：与不垂直， 点B到的垂线段不是线段， 故选项不正确，不符合题意； 与不垂直， 点C到的垂线段不是线段， 故选项不正确，不符合题意； 线段是点A到的垂线段， 选项不正确，不符合题意； ， 线段是点B到的垂线段， 故选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了垂线公理，熟知公理内容是解题的关键． 根据垂线公理即可解题． 【详解】解：由题意知，过点有且只有一条直线与垂直，即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：C ． 题型二：画垂线或最短问题 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故选C． 题型三：与对顶角有关问题 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边的角．解决本题的关键是根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：A选项：和不是由两直线相交形成的，故A选项不符合题意； B选项：和不是由两直线相交形成的，故B选项不符合题意； C选项：和两角有公共边，故C选项不符合题意； D选项：和是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边，故D选项合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是考查关于角度运算问题．熟练掌握角的和差关系，平角性质，对顶角性质，是解题的关键． 运用平角求出的度数；即可得到的度数． 【详解】解: ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，邻补角的计算，根据题意可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，， ∴， ∴， 故选：C ． 题型四：邻补角的定义 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； B、和不是邻补角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项符合题意； D、和不是邻补角，故此选项不符合题意． 故选：C． 11．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角和邻补角的性质，即可求解． 【详解】解：∵直线、交于点， ∴，，， 故A、C错误，不符合题意；B正确，符合题意； 无法确定与 的数量关系，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等，互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键． 12．（20-21七年级下·湖北荆门·期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角定义进行解答即可． 【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意； B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意； C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意； D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 题型五：邻补角求角度问题 13．（24-25七年级下·全国）如图，直线，相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质．根据对顶角相等得出，再根据，求出，再利用邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，补角的定义，由补角的定义得，由余角的定义得，即可求解；理解余角的定义，补角的定义是解题的关键． 【详解】解：因为， ， 所以， 因为， 所以， 所以 ． 故选B． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 题型六：同位角、内错角、同旁内角的问题 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法一定正确的是（   ） A．和互为余角 B．和是内错角 C．和互为补角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，熟练掌握相关定义是解题关键．根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可． 【详解】解：A．由于与的和不一定是，所以和不一定是互为余角，因此选项A不符合题意； B．和不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定，因此选项B不符合题意； C．和是一组同旁内角，但和不一定互补，因此选项C不符合题意； D．和是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意． 故选：D． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，关键是掌握以上概念的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可．． 【详解】解：①与是同位角，正确，故①符合题意； ②与是同旁内角，正确，故②符合题意 ③与是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意； ④与是内错角，正确，故④符合题意． 其中正确的有3个． 故选：C． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键． 根据同位角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者． 故选：B． 题型七：相交线的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)＞；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离； 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短； 故答案为：>；垂线段最短； （3）解：平分， ， ． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）先求出，再得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25七年级下·全国）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义判断解答即可． 本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是对顶角的是： 故选：C． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角性质，得，结合得到，利用邻补角计算即可． 本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键． 利用内错角定义可得答案． 【详解】解：A、的内错角是，故此选项符合题意； B、与是同旁内角，故此选项不合题意； C、与是同位角，故此选项不合题意； D、与不是内错角，故此选项不合题意； 故选：A． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O．若比大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据已知条件得出，根据对顶角相等得出，根据得出，求出结果即可． 【详解】解：∵ 比大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：D． 28．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项符合题意； D、与是同位角，故此选项不符合题意． 故选：C． 29．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 30．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 【详解】解：如图：令与的交点为， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】40或80/80或40 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 32．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【答案】/149度 【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成形，内错角的边构成形，同旁内角的边构成形．利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可． 【详解】解：的同位角是； 的内错角是； 的同旁内角是． 故答案为：． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查对顶角，三线八角，根据对顶角和三线八角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与是对顶角；故①正确； 与是同旁内角；故②正确； 与是邻补角；故③错误； 与是内错角；故④正确； 故答案为：①②④． 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 三、解答题 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图，，，，求的度数； （2）若把（1）中的“”去掉，则的度数是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差等知识点，熟练掌握垂直的定义以及角的等量代换解决问题是解题的关键． （1）根据已知，根据角的等量关系及等量代换求解即可； （2）根据可得，再利用角的等量代换求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点，且平分． (1)与______互为邻补角； (2)与互为补角的是哪些角？请说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)与互为补角的角是．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）由邻补角的定义可直接得出； （2）由邻补角的定义和角平分线的定义可得出结论； （3）由的度数可得出的度数，再结合角平分线的性质可得出的度数． 【详解】（1）由图形可知， ∴与和互为邻补角， 故答案为：和． （2）和，理由如下： 由图形可知，， ∵平分， ， ， ∴的补角有和． （3））∵， 平分， 38．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，平分，求的度数．    请将以下解答过程补充完整： 解：是直线上一点 °． ° 平分， ∴ ＝ °． 【答案】 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵O是直线上一点， ， ， ， ∵平分， ∴． 故答案为：. 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点． （1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案； （3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． （3）解：．理由如下： 由题图①，得，． ∵， ∴． 40．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点O是直线上一点，，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，邻补角互补的知识，掌握以上的知识是解题的关键； （1）根据，，得到，再根据角平分线得到，最后通过邻补角互补即可求解； （2）本题先得出，进而通过角平分线得到，最后通过邻补角互补即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， 即 41．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角的和差， 余角的定义，周角的定义． （1）根据垂直的定义，可得出与的度数， 根据余角的定义， 得出， 再根据角的和差求出结果； （2）根据垂直的定义， 可得出与的度数，再结合角的和差，得到， 从而求出结果； （3）根据（1）（2）的结果，均得到，故猜想与的度数和为，再结合角的和差，可以验证自己的猜想是正确的； （4）根据比例分配关系，得出 计算即可得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）∵，， ∴． ∴． 故答案为： （3）与互补． 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵，所以， ∴， ∴．即与互补． 故答案为：与互补 （4）   由角的和差，得， 按比例分配，得，． 故答案为：， 42．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1相交线 【考点梳理】 考点一：相交线与垂线的定义 考点二：画垂线或最短问题 考点三：与对顶角有关问题 考点四：邻补角的定义 考点五：邻补角求角度问题 考点六：同位角、内错角、同旁内角的问题 考点七：相交线的综合问题 【 知识梳理】 知识点一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 知识点二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 【题型归纳】 题型一：相交线与垂线的定义 1．（2025七年级下·全国）如图，若已知，则下列说法正确的是（　　） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 题型二：画垂线或最短问题 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 题型三：与对顶角有关问题 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型四：邻补角的定义 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（20-21七年级下·湖北荆门·期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 题型五：邻补角求角度问题 13．（24-25七年级下·全国）如图，直线，相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 题型六：同位角、内错角、同旁内角的问题 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法一定正确的是（   ） A．和互为余角 B．和是内错角 C．和互为补角 D．和是同位角 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 题型七：相交线的综合问题 19．（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25七年级下·全国）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A．B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O．若比大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 28．（2024七年级上·江苏）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 29．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 30．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 32．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 33．（24-25七年级下·全国）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 三、解答题 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图，，，，求的度数； （2）若把（1）中的“”去掉，则的度数是多少？ 37．（24-25七年级下·全国）如图，已知直线相交于点，且平分． (1)与______互为邻补角； (2)与互为补角的是哪些角？请说明理由； (3)若，求的度数． 38．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，平分，求的度数．    请将以下解答过程补充完整： 解：是直线上一点 °． ° 平分， ∴ ＝ °． 39．（24-25七年级下·全国）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 40．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点O是直线上一点，，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 41．（2024七年级上·全国）已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 42．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$