第十章 二元一次方程组（A卷 提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（湖北专用，人教版）

第十章 二元一次方程组（A卷 提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，四个选项中只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 2．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 3．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 4．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案． 【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得： ， ∴． 故选：C． 5．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得：． 故选：A． 6．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 7．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，那么这两个单项式是同类项”、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得，再解方程组求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 则， 故选：A． 8．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论，即可． 【详解】解：设购买了个篮球，购买了个足球， ∴， 整理得：且，为正整数， 当时，；当时，；当时，； ∴该社团共有种购买方案． 故选：C． 9．已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，由方程①得，再代入方程②可得答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②，得， 故答案为：． 12．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 13．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 14．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】 160 801 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．直接利用定义即可求出最小的“七巧数”；利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：根据题意，得：最小的“七巧数”为160； 设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：160，801． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 17．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 18．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可． 【详解】解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 19．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 【答案】大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系． 设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 根据题意得： 解得： 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 20．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 21．为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【答案】(1)每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元 (2)共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆 (3)方案一获得利润最大，最大利润为万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元， ∴， 解得，， ∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元； （2）解：设购买型车辆，购买型车辆， ∴， ∴， ∴是的倍数，且是正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆； （3）解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； ∵， ∴方案一获得利润最大，最大利润为万元． 23．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． （1）将原方程组变形为，然后根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 24．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（A卷 提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 3．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 5．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 6．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 7．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C．2 D．1 8．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 9．已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 12．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 13．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 14．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 15．对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．解方程组 17．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 18．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 19．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 20．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 21．为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 23．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 24．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$