专题01 平行线重难点题型归纳（十二大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）
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内容正文：
专题01 平行线重难点题型归纳（十二大题型）
重难点题型归纳
【题型1对顶角及其性质】
【题型2垂线段的性质】
【题型3点到直线的距离】
【题型4 利用平行线性质求角度】
【题型5 利用平行线性质解决三角板问题】
【题型6 利用平行线性质解决折叠问题】
【题型7 平行线性质的实际应用】
【题型8 利用平行线的判定与性质的综合】
【题型9 命题的判定】
【题型10利用平移的性质求面积】
【题型11利用平移的性质求长度】
【题型12 利用平移解决实际问题】
【题型1对顶角及其性质】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对顶角性质，得，结合得到，利用邻补角计算即可．
本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ．
【答案】35
【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．
根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：35．
3．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为 °．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角的定义，以及角的和差计算．先求出的度数，再根据，可求出的度数，据此求解即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
∴，
又∵是平角，
∴，
∵，
∴；
∴的余角为；
故答案为：．
4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角．
(1)若，求的大小；
(2)若、分别平分、，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，余角的定义，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据余角可得，根据对顶角相等得出，进而可得出答案；
（2）根据角平分线的定义得出，，进而得出，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∵与互为余角，
∴，
∴．
5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足．
(1)求证：；
(2)若，判断与的位置关系并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义可得，求出，结合即可得证；
（2）由角平分线的定义可得，证明，得出，从而可得，进而得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【题型2垂线段的性质】
6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案．
【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短．
故选：D．
7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【详解】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴
∵，
∴可能为，
故选项D符合题意．
故选：D．
8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是 ，原因是 ．
【答案】 B同学 垂线段最短
【分析】此题考查了垂线段的性质．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是B同学，原因是垂线段最短，
故答案为：B同学，垂线段最短
9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 的长度．
【答案】
【分析】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题的关键．
【详解】解：点P到n的距离是点P到n的垂线，
∴线段的长度是点P到n的距离，
故答案为：．
10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论．
【详解】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离，
∴小明的真实成绩为米，
故答案为：．
【题型3点到直线的距离】
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离，即．
故选：A．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（ ）
A． B． C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”是解题的关键．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】解∶当时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为，
当不垂直m时，点P到直线m的距离小于的长，即点P到直线m的距离小于，
综上所述：点P到直线m的距离不大于，
故选∶D．
【题型4 利用平行线性质求角度】
13．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质，解题关键是根据平行线的性质得出，再求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
14．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，直线，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
，
，
，
，
故选：B．
15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到E，先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质可得：，即可解答．
【详解】解：如图：延长到E，
∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
故选：A．
16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得出，再根据对顶角相等可知，进而可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案．
【详解】解：如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A
19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
利用平行线的性质求出，再根据即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：A．
20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线，和是直线被直线所截形成的角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：B．
21．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．112° B．122° C．132° D．142°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握平行线性质，是解题关键．
根据，，得，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行公理推论，平行线的性质，过作，则，根据平行线的性质得，，然后利用角度和差即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴,
故选：．
23．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可．
【详解】解：过点作，如图所示：
∵，
，
，，
．
故选：A．
24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，反向延长交于M，由，可得，进而得出，再根据即可求解．
【详解】解：如图，反向延长交于M，
∵，
∴，
∴；
又∵，
∴．
故选D．
【题型5 利用平行线性质解决三角板问题】
25．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可．
【详解】依题意：
又
故选：B
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断．
【详解】解：因为，
所以，故①正确；
因为，，
所以，
所以，故②正确；
过点作，如图所示：
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，故③正确；
因为，，
所以，
所以，故④正确．
综上分析可知：正确的是①②③④．
故选：A．
27．（24-25七年级下·全国·单元测试）三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定即性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键．
假设时，得到的度数，再对比原来的度数即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，即，
∴此时，
又∵，
∴则需转动的最小角度为：，
故选：A．
28．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角板中角的计算、平行线的性质，由题意得，，，，由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，
则，
∴，
故选：B．
29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的性质，由，则，然后根据角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
30．（2024·广东东莞·一模）将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了“两直线平行，内错角相等”的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可求出的度数．
【详解】
，
，
．
故选：C．
【题型6 利用平行线性质解决折叠问题】
31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着折叠，交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意得到，由于折叠得到，即可求出，即可得到答案．
【详解】解：两边分别平行，
，
沿着折叠，
，
，
．
故选C．
32．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
33．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，把长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点和点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据折叠的性质得出，再根据平行线的性质得出，再由据此可得出结论．
【详解】解： ，
．
长方形纸条沿折叠，点，分别折叠至点，，
，
，
．
．
故选：A
34．（2024·陕西西安·二模）如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据平行得到，再利用外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
故选B．
35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将一张长方形纸片折叠后再展开，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据翻折的性质可得∠3=∠1，然后根据平角等于180°列式求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【详解】解：如图，
根据翻折的性质，∠3=∠1=62°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=180°-62°-62°=56°，
∵长方形纸条的对边平行，
∴∠2=∠4=56°．
故选：A．
【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，翻折变换的性质，熟记性质是解题的关键．
【题型7 平行线性质的实际应用】
36．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
37．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）为响应国家新能源建设的号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板．已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转（），则m等于（ ）
A．16 B．20 C．26 D．44
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，利用平行线的性质求解即可，熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，
∴与水平线的夹角为：，
要使，需要电池板与水平线的夹角为，
需将电池板逆时针旋转：，
故选：．
38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
39．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图是一杆古秤在称物过程中某一时刻的状态，所有秤绳都平行．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质，邻补角的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，根据题意，得，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
40．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则 度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
41．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，平分，，当为 时，．
【答案】/65度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用同位角相等，两直线平行，即可解答．
【详解】解：都与地面l平行，
，
，
，
，
平分，
，
当时，，
故答案为：．
42．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为
【答案】/45度
【分析】本题考查平行线的性质、平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．过B作，过A作，根据平行线的性质推导出，即可求解．
【详解】解：如图，过B作，过A作，
∴，
∴， ，
∵固定支撑杆垂直底座于点，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型8 利用平行线的判定与性质的综合】
43．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）完成下面的证明：
已知：如图，在三角形中，于D，于G，且．
求证：．
证明：，已知，
，
______，
______，
又已知，
____________，
______
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先根据垂直定义可得：，从而利用同位角相等，两直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得：，从而利用同角的补角相等可得：，最后根据内错角相等，两直线平行即可解答．
【详解】解：，（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行．
44．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：
（1）由于，可判断，则，由得出，可判断出；
（2）根据平行线的性质得出，根据垂线的定义和角的和差关系求出，则可得到的度数，据此求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
45．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，是直线上两点，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由，，可得，即可证明；
（）由平行线的性质可得，又由平分，得，再根据平行线的性质可得到的度数；
本题考查了平行线的判定和性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
46．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交的延长线点F．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．
（1）根据等边对等角得，，再证明，进而可证；
（2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，鸡儿可出的度数．
【详解】（1）证明： ，
，．
在中，，
，
，即
，
，
．
（2）解： ，，
平分，
，
，
．
47．（24-25七年级上·江苏·期末）【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________．
【实际应用】
请用【原理探究】获得的结论解决以下问题：
如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线．
（1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？
（2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数．
【答案】原理探究：等角的余角相等；实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，理由见解答；（2）平面镜和反射光线见解答；或或或
【分析】本题考查了作图的应用和设计，平行线的性质，掌握平面镜原理和平行线的性质是解题的关键．
原理探究：根据互余的性质求解；
实际应用：（1）根据平面镜原理和平行线的判定定理求解；（2）根据平面镜原理和平行线的性质定理求解．
【详解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，，
（等角的余角相等），
故答案为：等角的余角相等；
实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，
理由：由平面镜原理得：，
，
，
，
，
；
（2）平面镜和反射光线如下图③和图④所示：
当反射光线向右时：延长到F，
，
由平面镜原理得：，
，
，
，
当M和N互换位置时，；
当反射光线向左时：如下图④所示：
，
，
由平面镜原理得：，平分，，
，
，
当M和N互换位置时，．
48．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，．
(1)求证：；
(2)的角平分线交于点G，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)108°
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键．
（1）根据，，得，即得；
（2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 ．
【详解】（1） ，且，
，
；
（2） ，，
，
又为的角平分线，
，
，
（方法不唯一）．
50．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型9 命题的判定】
51．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若，则
C．对顶角相等
D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题与定理、对顶角相等、实数的乘方、不等式的性质等知识点．根据平行线的性质、实数的乘方、对顶角相等、数的整除逐项判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、若，则，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意；
D、一个数能被3整除，不一定能被6整除，例如9能被3整除，不能被6整除，故本选项命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
52．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
【详解】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意；
B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意；
C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；
D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意．
故选：C．
53．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查命题真假的判定，说明命题是假命题时，只要举出反例即可：即符合命题的条件，但不符合命题的结论；掌握举反例的方法是解题的关键．根据题意，将各个选项验证即可．
【详解】解：A、，，且，满足“若，则”，故A选项不符合题意；
B、，，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项符合题意；
C、，，且，满足“若，则”，故C选项不符合题意；
D、，，此时不满足，故D选项不符合题意．
故选：B．
54．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但
B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但
D．设这个角是，它的余角是，但
【答案】A
【分析】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项．
【详解】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意；
B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意；
C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意；
D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意．
故选：A．
55．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
【答案】B
【分析】考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、直线的性质、垂线的性质、三角形外角的性质判断即可得解．
【详解】A.同位角相等，两直线平行，故原命题为真命题，不符合题意；
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，符合题意；
C.两点确定一条直线，故原命题为真命题，不符合题意；
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故原命题为真命题，不符合题意；
故选：B
【题型10利用平移的性质求面积】
56．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（ ）平方米．
A．36 B．42 C．56 D．都不对
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．
【详解】解：
（平方米）．
故种植花草的面积是42平方米．
故选：B
57．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键．
由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可．
【详解】解：由平移的性质可知：，，
∴，，
∴，
∴．
故选：B
58．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质．正确表示阴影部分的面积是解题的关键．
由平移的性质可知，，，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，
∴，
∴，
故选：B．
59．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，面积为2cm2的△ABC，沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）
A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
【答案】B
【分析】连接；根据平移的性质，得、，从而得，；再结合四边形ACED 的面积，通过计算即可得到答案．
【详解】如图，连接
根据题意，得
∵
∴
∴，
∵四边形ACED 的面积
又∵△ABC的面积为2cm2
∴四边形ACED 的面积为6cm2
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的知识；解题的关键是熟练掌握平移的性质，从而完成求解．
【题型11利用平移的性质求长度】
60．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，连接，若四边形的周长是13，则三角形的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，结合三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，得，，因为四边形的周长是13，则，即可作答．
【详解】解：∵三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，
∴，，
∵四边形的周长是13，
∴，
则，
∴，
即三角形的周长是9，
故选：D．
61．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了图形平移，掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移可得，由此即可求解．
【详解】解：将沿方向平移1个单位长度，
∴，
∴，
故选：B ．
62．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（ ）
A．27 B．40 C．42 D．54
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出，是解题的关键．根据平移的性质得出，，则，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：由平移的性质知，，，，
，，
的面积．
故选：A
63．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，三角形沿所在直线向右平移得到三角形，已知，则平移的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的不变性是解题的关键．
由平移得即可求解．
【详解】解：由平移得，，
故选：A．
64．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，将沿方向平移得到．连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到， 再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∴，
故选：B．
65．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，则的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由平移的性质得到AD=BE=CF，又由即可求解．
【详解】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，
∴AD=BE=CF，
∵，
∴BE=AD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键．
66．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，△ABC中，BC＝3cm将△ABC沿射线BC向右平移4cm得到△DEF，则BF的长为（ ）
A．4cm B．7cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】根据平移的性质进行求解，平移不改变图形的形状及大小．
【详解】解：将△ABC沿射线BC向右平移4cm得到△DEF，
根据平移的性质可得：，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质不改变图形的形状及大小．
【题型12利用平移解决实际问题】
67．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（ ）
A．108米 B．106米 C．104米 D．102米
【答案】C
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可．
【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于，纵向距离等于，
长米，宽米，
故从出口A到出口B所走的路线长为：（米），
故选C．
68．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（ ）
A．298元 B．288元 C．287元 D．297元
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少元．
故选B．
69．（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计．
(1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米；
(2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和；
（2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案．
【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和，
∴，
故答案为：．
（2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，
∴，
故答案为：
70．（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示）
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
【答案】(1)，
(2)
(3)元
【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键．
（1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决；
（2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可；
（3）代入数据求值即可．
【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形，
则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形，
则，
由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，
由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
则，
故答案为：，；
（2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形，
则；
（3）当，时，
，
因为铺草地平均每平方米需要花费元，
所以铺设这块草地一共需要花费（元），
答：铺设这块草地一共需要花费元．
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专题01 平行线重难点题型归纳（十二大题型）
重难点题型归纳
【题型1对顶角及其性质】
【题型2垂线段的性质】
【题型3点到直线的距离】
【题型4 利用平行线性质求角度】
【题型5 利用平行线性质解决三角板问题】
【题型6 利用平行线性质解决折叠问题】
【题型7 平行线性质的实际应用】
【题型8 利用平行线的判定与性质的综合】
【题型9 命题的判定】
【题型10利用平移的性质求面积】
【题型11利用平移的性质求长度】
【题型12 利用平移解决实际问题】
【题型1对顶角及其性质】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ．
3．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为 °．
4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角．
(1)若，求的大小；
(2)若、分别平分、，求的大小．
5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足．
(1)求证：；
(2)若，判断与的位置关系并说明理由．
【题型2垂线段的性质】
6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是 ，原因是 ．
9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 的长度．
10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米．
【题型3点到直线的距离】
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（ ）
A． B． C．小于 D．不大于
【题型4 利用平行线性质求角度】
13．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，直线，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线，和是直线被直线所截形成的角，若，则（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．112° B．122° C．132° D．142°
22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 利用平行线性质解决三角板问题】
25．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③
27．（24-25七年级下·全国·单元测试）三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数为（ ）．
A． B． C． D．
29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024·广东东莞·一模）将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用平行线性质解决折叠问题】
31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着折叠，交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
32．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，把长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点和点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·陕西西安·二模）如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将一张长方形纸片折叠后再展开，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【题型7 平行线性质的实际应用】
36．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
37．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）为响应国家新能源建设的号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板．已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转（），则m等于（ ）
A．16 B．20 C．26 D．44
38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
39．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图是一杆古秤在称物过程中某一时刻的状态，所有秤绳都平行．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
40．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则 度．
41．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，平分，，当为 时，．
42．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为
【题型8 利用平行线的判定与性质的综合】
43．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）完成下面的证明：
已知：如图，在三角形中，于D，于G，且．
求证：．
证明：，已知，
，
______，
______，
又已知，
____________，
______
44．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
45．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，是直线上两点，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
46．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交的延长线点F．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
47．（24-25七年级上·江苏·期末）【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________．
【实际应用】
请用【原理探究】获得的结论解决以下问题：
如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线．
（1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？
（2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数．
48．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，．
(1)求证：；
(2)的角平分线交于点G，若，求的度数．
50．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【题型9 命题的判定】
51．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若，则
C．对顶角相等
D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除
52．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
53．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
54．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但
B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但
D．设这个角是，它的余角是，但
55．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
【题型10利用平移的性质求面积】
56．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（ ）平方米．
A．36 B．42 C．56 D．都不对
57．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
58．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
59．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，面积为2cm2的△ABC，沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）
A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
【题型11利用平移的性质求长度】
60．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，连接，若四边形的周长是13，则三角形的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
61．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
62．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（ ）
A．27 B．40 C．42 D．54
63．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，三角形沿所在直线向右平移得到三角形，已知，则平移的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
64．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，将沿方向平移得到．连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
65．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，则的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
66．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，△ABC中，BC＝3cm将△ABC沿射线BC向右平移4cm得到△DEF，则BF的长为（ ）
A．4cm B．7cm C．8cm D．10cm
【题型12利用平移解决实际问题】
67．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（ ）
A．108米 B．106米 C．104米 D．102米
68．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（ ）
A．298元 B．288元 C．287元 D．297元
69．（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计．
(1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米；
(2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米．
70．（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示）
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
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