专题03 相交线与平行线压轴训练60题-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

专题03 相交线与平行线压轴训练60题 一、单选题 1．如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 ． 过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答 ． 【详解】过向左作射线， 则， ∴ ， ， ， ． 故选：D． 2．如图， 平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，，， ∴ ， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵ ， ∴为定值，故④正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 3．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 4．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行）， 故④正确． ∴有3个． 故选：C． 5．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(   )       A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一判断即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意； 、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，符合题意， 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：． 6．如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 7．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（    ） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 【答案】C 【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案． 【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF， ∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E， ∵AB∥EF， ∴CG∥DH， ∴∠CDH＝∠DCG， ∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E）， ∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 8．如图，在直角三角形ABC中，，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平移的性质可得，即可判断①④的正确性，由，即可判断③的正确性，再根据平行线的性质即可判断②的正确性 ． 【详解】解：∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF， ∴，，故①正确 ∴， ∴，故②正确 ∵， ∴，故③正确 ∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF， ∴，故④正确 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等，合理的运用性质是解答此题的关键． 9．如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过E作，过H作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故选：B．    【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 10．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵，平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， 即，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选A． 11．如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】由，根据内错角相等，两直线平行，可判断结论①；由可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可判断结论②；由可得出，结合可得出，可判断结论③；由可得出，结合比的余角小可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，可判断结论④；根据角平分线的定义可得出以及，将其代入可求出的度数，可判断结论⑤．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵比的余角小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④不正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识点．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作，   ， ， ，， ． ， ． ． ． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 13．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据对顶角相等得到∠β=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30° ∴∠B=∠C-∠A=45° 在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360° 又∵∠β=∠DGB ∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360° ∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285° 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点． 15．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（    ） A．20° B．25° C．35° D．50° 【答案】A 【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数． 【详解】解：由题意得，AB∥DE， 如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=180°-125°=55°， ∴∠DCF=75°-55°=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 16．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果． 【详解】解: 连接，如图所示 平分，平分， 平分， ， 由平移得， ， ， ∴， 同理可得； 的周长， 即图中阴影部分的周长为8； 故选A 17．如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点C作，根据平行线的性质，和角平分线的定义，结合进行转化，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等． 18．如图，在中，，分别平分和，且相交于于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，即 ， ∴， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵， ∴，故结论⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干条件不相符，故结论②错误． 故选：C． 19．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】设∠HFC＝∠HCF＝x°，在△FHC中可得到∠FHC=180°-2x°，可得到∠FHB=2x°，然后根据角平分线性质可得到∠EFH=60°+2x°，然后计算出∠BFH从而得到∠AFB，在计算∠AFE即可． 【详解】解：设∠HFC＝∠HCF＝x°， ∴∠FHC=180°-∠HFC+∠HCF=180°-2x°， ∴∠FHB=180°-∠FHC= 2x°， ∵FG平分∠EFH，∠CFG＝30°， ∴∠EFH=2（∠CFG+∠HFC）＝60°+2x°， ∴∠BFH=180°-∠EFH=120°-2x° ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC +∠DCB=180°， ∴AD∥CB， ∴∠AFB＝∠FBH， 在△FBH中，∠FBH=180°-∠BFH -∠FHB=60°， ∴∠AFB＝∠FBH=60°， ∴∠AFE=180°-∠AFB＝120° 故选：B 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质应用，结合三角形内角和计算角度是解题的关键． 20．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由全等三角形的对应角相等得到，，，利用外角的性质得到，，利用平行线的性质得出，，再利用三角形内角和定理求出结果． 【详解】解：设，， ，， ，，， ，． ， ，， ，即． 则． ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 21．如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 延长和相交于点F，设，根据列方程求出x的值，再求出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】如图，延长和相交于点F，    ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 22．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由可得，由平分可得可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明，而不一定成立即可判定④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴，即①正确； ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴,，即③正确； ∴ ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 而题目中不能得到，故④错误． 故选：B． 二、填空题 23．将直角梯形平移得梯形，若，则图中阴影部分的面积为 平方单位． 【答案】36 【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积． 【详解】根据平移的性质得S梯形ABCD =S梯形EFGH， DC = HG = 10，MC= 2，MG = 4， DM = DC - MC = 10 - 2 = 8， S阴影= S梯形ABCD-S梯形EFMD =S梯形EFGH-S梯形EFMD =S梯形HGMD = =×(8+10)×4 = 36． 故答案为：36． 【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积． 24．如图，直线分别与直线，相交于点G，H，且．点M在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】设，，根据角平分线的定义可得，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，从而可得，根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：设，， ， 是的平分线， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，即， 整理得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 25．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 26．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ， ， ，分别平分和， ，， ，，， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 27．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，的大小为或． 故答案为：或． 28．如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是 °． 【答案】25 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出． 【详解】∵折叠后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 29．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    【答案】/96度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：．    30．如图：，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义，方程的思想求解即可． 【详解】解：连接，设，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，方程的思想，熟练应用平行线的性质，科学引入未知数是解题的关键． 31．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积 ． 【答案】1421平方米 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，可以得到下图： 所以种植花草的面积=(50−1)(30−1)=1421m2， 故答案为1421平方米． 【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BOC的度数，再根据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性质可得出∠BOE的度数，可判断①是否正确．根据OF⊥OE，由∠BOE的度数计算出∠BOF的度数，根据两直线平行，内错角相等的性质，得到∠BOD的度数，可计算出∠3的度数，可得出结论②是否正确，由②中的结论可判断③是否正确．根据平行线的性质，可得到∠OPB=90°，可计算出∠POB的度数，可得出④结论是否正确． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ABO＝40° ∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140° ∵OE平分∠BOC ∴∠B0E＝∠BOC＝＝70° 故结论①正确 ∵OF⊥OE，∠B0E＝70° ∴∠BOF＝90°﹣70°＝20° ∵AB∥CD，∠ABO＝40° ∴∠BOD＝∠ABO＝40° ∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20° ∴∠BOF＝∠DOF ∴OF平分∠BOD 故结论②正确 由②的结论可得 ∴∠1＝∠2＝20° 故结论③正确 ∵OP⊥CD ∴∠OPB＝90° ∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50° ∵2∠3＝2×20°＝40° ∴∠POB≠2∠3 故结论④错误 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线性质的应用，合理应用平行线的性质是解决本题关键． 33．如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形的性质和直角三角形的性质可求，根据折叠求出，根据平角的定义可求，再根据角平分线定义求出，再根据直角三角形的性质可求的度数，进而得，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 因为， 所以， 根据折叠可得， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 34．如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键． 35．如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 36．如图，和是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿方向平移得到的位置若，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据，即，利用梯形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由平移可得， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握平移的基本性质是关键． 37．如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，= ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°，由角平分线的定义可得∠DAM=∠BAN，进一步可得，从而可得结论． 【详解】解：∵AD//BC ∴∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180° ∵AM平分∠BAP， ∴∠BAM=∠MAP=∠BAP， ∵AN平分∠DAP， ∴∠DAN=∠NAP=∠DAP， ∵∠BAN=∠BMA ∴∠DAM=∠BAN ∵∠，∠ ∴∠ ∴∠ ∵， ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ 故答案为：90°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 38．在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为S，当S=4（cm2）时，平移的时间为 ． 【答案】s或s 【分析】先用时间表示已知面积的长方形形的长和宽，并以面积作为相等关系解关于时间x的方程即可． 【详解】解：长方形GAEH沿水平方向向右移动过程中，设HE与AD相交于点M，设平移时间为x秒， 如图1，           图1 则AF=1.5x，GH=2， 所以， 解得：x=， 如图2， 则BG=，GH=2， 所以， 解得：x=， 综上所述，当S=4（cm2）时，平移的时间为s或s． 故答案为：s或s． 【点睛】此题主要考查了长方形的性质以及一元一次方程的有关动点问题，解决本题的关键是能用代数式表示出平移后重叠部分的宽． 39．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ ． 【答案】92° 【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，根据角平分线可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，根据平行线的性质可得∠AMD＝∠EDP＝y，再根据三角形的外角性质可得y－x＝44°，根据平行线的性质可得∠NCD＝180°－2y，∠NCB＝2x，最后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB即可求得答案． 【详解】解：如图，延长AB交PD与点M，过点C作CNAB， ∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC， ∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y， ∴∠MBP＝∠ABF＝x， ∵ABDE， ∴∠AMD＝∠EDP＝y， ∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°， ∴y＝44°＋x， ∴y－x＝44°， ∵ABDE，CNAB， ∴CNDE， ∴∠CDE＋∠NCD＝180°， ∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y， ∵CNAB， ∴∠NCB＝∠ABC＝2x， ∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB ＝180°－2y＋2x ＝180°－2(y－x) ＝180°－2×44° ＝92°， 故答案为：92°． 【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 40．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． 41．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 42．如图，六边形的各角都相等，若，则 ． 【答案】 【分析】根据六边形ABCDEF的各角都相等，可得六边形ABCDEF的对边平行；延长DC，交直线n于点G，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：连接DF，延长DC，交直线n于点G， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴每个内角为：（6-2）×180°÷6=120°， ∴∠E+∠EDC+∠EFA=360°， ∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°， ∴∠FDC+∠DFA=180°， ∴AF∥DC， ∴∠2=∠3， 又∵m∥n， ∴∠3+∠4=180°， ∵∠4=∠1， ∴∠1+∠2=180°， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角以及平行线的判定与性质，得出AF∥DC是本题的关键． 三、解答题 43．如图，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据，，再由，得出，由，得的度数，根据平分，得，因为，，则，，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵°， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义求角度是解题的关键． 44．课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）根据，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角平分线的定义求出，的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知， ，， ； 故答案为：． （2）①过点E作，如图：   ，， ， ，， 又，， ， ， ． ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）可知：． 45．综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．    探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当时，．请说明理由． (2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． (4)点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算： （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 47．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)；证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如图分别过点、点作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键． 48．（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；（2）83°；（3）25 【分析】（1）利用猪脚模型，进行计算即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，然后进行计算即可解答； （3）设与相交于点，先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得：，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）设与相交于点， ，， ， ， 由（1）得：， ， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 49．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29° 【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果； （2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论； （3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数． 【详解】（1）∵AM//BN，∠A＝64°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°； 故答案为：116°；58°； （2）不变，∠APB=2∠ADB， ∵AM//BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB=2∠ADB； （3）∵AM//BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时， 则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）∠ABN＝116°， ∴∠CBD＝58°， ∴∠ABC+∠DBN＝58°， ∴∠ABC＝29°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等． 50．如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设．    (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析过程 (3) 或 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质可求，可求，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图，过点F作交于点P，    ∴， ∵， ∴， 即． 又∵， ∴； （3）解：如图，当、在直线的上方时，    由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当、在直线的下方时，    由折叠得：， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 51．已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，2 【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出； （2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的值不变；理由如下： 设，则， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，平行公理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 52．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． (1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数； (2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线； (3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由求出的度数，取出的值，根据计算求解即可； （2）对顶角相等可知，由求的值，进而结论得证； （3）由题意知，，则，整理可得的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵OM平分∠BOC， ∴， 又∵， ∴， ∴∠BON的值为60°． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴射线OP是∠AOC的平分线． （3）解：． 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系． 53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD＝AB+DC，证明见解析；（3）3 【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． （2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题． （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论． 【详解】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）结论：AD＝AB+DC． 理由：如图②中，延长AE，DC交于点F， ∵AB//CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF， ∴DC+AB＝AD． （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB//CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC（AAS）， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝DF+CF， ∵AB＝5，CF＝2， ∴DF＝AB﹣CF＝3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 54．已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据，得出最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，求出，根据，即可得出； （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，设，则，，根据角平分线定义得出，根据即可得出结果． 【详解】解：（1）如图1所示，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）结论：；理由如下： 如图2，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合． 55．，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． (1)如图1，求证：： (2)如图1，连接EG，若EG平分，，，，求的度数； (3)如图2，若EF平分，的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)40° (3)∠EPG+2∠EHG=180°，理由见解析 【分析】（1）过点P作PHAB，则PHABCD，由平行线的性质即可得出结论； （2）连接EG，由已知条件可得∠PGE=110°-∠BEP，结合（1）的结论可得∠EPG=∠BEP+30°，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠PEG=60°-∠BEP，再利用三角形的内角和定理可求解∠BEP的度数； （3）过点P作PMAB，过点H作HQAB，则PMABCDHQ，根据EF平分∠PEA，可设∠AEF=∠PEF=α，根据GN平分∠PGD，可设∠PGN=∠DGN=β，利用平行线的性质，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作PHAB， ∵PHAB， ∴∠BEP=∠HPE， ∵ABCD， ∴PHCD， ∴∠DGP=∠HPG， ∵∠HPG+∠HPE=∠EPG， ∴∠EPG=∠DGP+∠BEP， （2）解：∵∠PGD=∠EFD，∠PGD=30°， ∴∠EFD=60°， 由（1）可得∠EPG=∠BEP+30°， ∵ABCD， ∴∠EFD+∠BEF=180°， ∴∠BEF=120°， ∵EG平分∠PEF， ∴∠FEG=∠GEP， ∴∠PEG=60°-∠BEP， ∵∠EPG+∠PEG+∠PEG=180° ∴∠BEP+30°+∠PEG+60°-∠BEP=180°， ∵∠BEP+∠PGE=110°， ∴∠PGE=110°-∠BEP， ∴∠BEP+30°+110°-∠BEP +60°-∠BEP=180°， ∴∠BEP=40°； （3）解：如图，过点P作PMAB，过点H作HQAB， ∵EF平分∠PEA， ∴可设∠AEF=∠PEF=α， ∵GN平分∠PGD， ∴可设∠PGN=∠DGN=β， ∵PMAB， ∴∠EPM=180°-2α， ∵ABCD，HQAB， ∴HQCD， ∴∠MHQ=∠DGN=β， ∵ABCD，PMAB， ∴PMCD， ∴∠MPG=∠PGD=2β， ∴∠EPG=∠MPG+∠MPG=180°-2α+2β， ∵HQAB， ∴∠AEH=∠EHQ， ∴α=∠EHG+∠NHQ=∠EHG+β， ∴∠EHG=α-β， ∴2∠EHG=2α-2β， ∴∠EPG+2∠EHG=180°-2α+2β+2α-2β=180°． 【点睛】本题考查的是平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，作平行线，利用平行线的性质求解是解题的关键． 56．如图，AD平分交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连接EF与AC相交于点G，． （Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由； （Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且，试探究与的数量关系，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）AD与EF平行；理由见解析；（Ⅱ），理由见解析． 【分析】（Ⅰ）AD与EF平行， 根据补角的性质可得，再由同位角相等，两直线平行即可得； （Ⅱ），由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，．由此可得．根据内错角相等，两直线平行可得．由两直线平行，同位角相等可得，由此即可证得． 【详解】（Ⅰ）AD与EF平行，理由如下： ∵，， ∴（同角的补角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． （Ⅱ），理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，补角的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 57．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 58．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ∴， ∴，， ， ∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 59．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，交轴于点，如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在． 理由如下：连接，如图所示：    设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ，解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则，解得或， 此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键． 60．综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）过点P作，由平行线的性质可得，，则可得，进而可求解． （2）过点P作，由平行线的性质得，，然后根据即可求解； （3）由角平分线的定义得，，过点G作，由平行线的性质得，，据此解得求得的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作，    ， ， ，， ， 即：， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，过点P作， 所以 因为，所以． 所以． 所以． （3）因为是的平分线，是的平分线， 所以，． 如图3，过点G作， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相交线与平行线压轴训练60题 一、单选题 1．如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 2．如图， 平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(   )       A． B． C． D． 6．如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（    ） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 8．如图，在直角三角形ABC中，，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 10．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 13．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 14．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（    ） A．20° B．25° C．35° D．50° 16．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 17．如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，分别平分和，且相交于于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 20．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 21．如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 22．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 23．将直角梯形平移得梯形，若，则图中阴影部分的面积为 平方单位． 24．如图，直线分别与直线，相交于点G，H，且．点M在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 25．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 26．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）    27．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 28．如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是 °． 29．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    30．如图：，，，，则 ． 31．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积 ． 32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论有 ．（填序号） 33．如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 34．如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 ． 35．如图，， ，，则 ． 36．如图，和是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿方向平移得到的位置若，，，则图中阴影部分的面积为 ．    37．如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，= ． 38．在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为S，当S=4（cm2）时，平移的时间为 ． 39．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ ． 40．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 41．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 42．如图，六边形的各角都相等，若，则 ． 三、解答题 43．如图，，，平分，求的度数． 44．课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 45．综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．    探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当时，．请说明理由． (2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． (4)点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 46．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 47．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 48．（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 49．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 50．如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设．    (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 51．已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 52．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． (1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数； (2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线； (3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． 53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长． 54．已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．    55．，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． (1)如图1，求证：： (2)如图1，连接EG，若EG平分，，，，求的度数； (3)如图2，若EF平分，的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则与之间的数量关系，并说明理由． 56．如图，AD平分交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连接EF与AC相交于点G，． （Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由； （Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且，试探究与的数量关系，请说明理由． 57．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 58．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 59．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 60．综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$