强化课 三角恒等变换与三角函数的性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

强化课　三角恒等变换与 三角函数的性质 √ 0 √ (2)已知函数f(x)＝cos42ax－sin42ax(a>0)的最小正周期为π，则常数a的值为________． 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，当a为何值时，f(x)为奇函数？ 判断三角函数的奇偶性，往往先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，然后根据诱导公式寻求适当的φ值，把函数转化为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx(A≠0，ω＞0)．　　 探求三角函数的对称性，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，若探求函数的对称轴，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x的对称轴，求得x即可；若探求函数的对称中心，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x的对称中心的横坐标，进而得到y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心．　 √ 探求三角函数的单调性、最值，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，若求函数的单调区间，则把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的相应单调区间内，求得x的范围即可；若求函数的最值或值域，可由定义域求得ωx＋φ的范围，进而得到Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的范围．　 题型一　恒等变换与三角函数的周期性 　(1)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin2x＋sin xcos x－eq \f(\r(3),2)，则f(x)的最小正周期为(　　) A．1 B．π C．2 D．2π 【解析】　f(x)＝eq \r(3)sin2x＋sin xcos x－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3)（1－cos 2x）,2)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cos 2x＝sin (2x－eq \f(π,3))，因此，函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B. 【解析】　因为f(x)＝2cos2(ωx＋eq \f(π,6)) ＝cos (2ωx＋eq \f(π,3))＋1， 且f(x)的最小正周期为π， (2)若函数f(x)＝2cos2(ωx＋eq \f(π,6))(ω>0)的最小正周期为π，则f(eq \f(π,3))＝________． 所以T＝eq \f(2π,2ω)＝π，解得ω＝1， 所以f(x)＝cos (2x＋eq \f(π,3))＋1， 则f(eq \f(π,3))＝cos (eq \f(2π,3)＋eq \f(π,3))＋1 ＝cos π＋1＝0. 探求三角函数的周期，常采用公式法，即先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式T＝eq \f(2π,ω)求解．　 解析：依题意，f(x)＝－2cos 2x＋1，所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.故选A. [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝4sin2x－1的最小正周期是(　　) A．π B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,2) D．2π 解析：f(x)＝cos42ax－sin42ax＝(cos22ax＋sin22ax)(cos22ax－sin22ax)＝cos22ax－sin22ax＝cos 4ax，由最小正周期为π得eq \f(2π,4a)＝π，解得a＝eq \f(1,2). eq \f(1,2) 【解】　由函数f(x)＝asin (x＋eq \f(π,4))－eq \r(6)cos (x＋eq \f(π,3))，可得f(eq \f(π,2))＝eq \f(\r(2),2)a＋eq \f(3\r(2),2)， f(－eq \f(π,2))＝－eq \f(\r(2),2)a－eq \f(3\r(2),2)， 题型二　恒等变换与三角函数的奇偶性 　已知函数f(x)＝asin(x＋eq \f(π,4))－eq \r(6)cos(x＋eq \f(π,3))，其中a∈R.当a为何值时，f(x)为偶函数？ 若f(x)是偶函数，则f(eq \f(π,2))＝f(－eq \f(π,2))，即eq \f(\r(2),2)a＋eq \f(3\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),2)a－eq \f(3\r(2),2)，可得a＝－3， 当a＝－3时，函数f(x)＝－3sin(x＋eq \f(π,4))－eq \r(6)cos (x＋eq \f(π,3))＝(－eq \f(3\r(2),2)－eq \f(\r(6),2))cos x， 此时函数满足f(－x)＝f(x)，函数f(x)为偶函数． 解：由f(x)＝asin (x＋eq \f(π,4))－eq \r(6)cos (x＋eq \f(π,3))，可得f(0)＝eq \f(\r(2),2)a－eq \f(\r(6),2)， 若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，可得a＝eq \r(3)， 当a＝eq \r(3)时，f(x)＝eq \r(3)sin (x＋eq \f(π,4))－eq \r(6)cos (x＋eq \f(π,3))＝(eq \f(\r(6),2)＋eq \f(3\r(2),2))sin x， 此时函数满足f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数． 解：由题意得，f(x)＝sin 2x＋eq \r(3)cos 2x＝2sin (2x＋eq \f(π,3))， 所以f(x＋m)＝2sin [2(x＋m)＋eq \f(π,3)] ＝2sin (2x＋2m＋eq \f(π,3))， [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝sin 2x＋eq \r(3)cos 2x.若函数y＝f(x＋m)是偶函数，求|m|的最小值． 又因为y＝f(x＋m)是偶函数， 所以2m＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)， 即m＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)， 当k＝0时，|m|最小，最小值为eq \f(π,12). 【解】　由函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))＋sin(2x－eq \f(π,6))＝sin(2x＋eq \f(π,3))＋sin (2x＋eq \f(π,3)－eq \f(π,2)) ＝sin(2x＋eq \f(π,3))－cos(2x＋eq \f(π,3)) ＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,12))， 题型三　恒等变换与三角函数的对称性 　已知函数f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))＋sin (2x－eq \f(π,6))，求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标． 令2x＋eq \f(π,12)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,24)，k∈Z，即函数f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,24)，k∈Z； 令2x＋eq \f(π,12)＝kπ，k∈Z， 解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,24)，k∈Z， 即函数f(x)的对称中心的坐标为(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,24)，0)，k∈Z. [跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin xcos x－cos2x，则函数f(x)的图象(　　) A．关于点(eq \f(π,12)，－eq \f(1,2))对称 B．关于点(eq \f(π,6)，－eq \f(1,2))对称 C．关于直线x＝eq \f(π,12)对称 D．关于直线x＝eq \f(π,6)对称 因为f(eq \f(π,6))＝sin (2×eq \f(π,6)－eq \f(π,6))－eq \f(1,2)＝0，所以函数f(x)的图象不关于点(eq \f(π,6)，－eq \f(1,2))对称，也不关于直线x＝eq \f(π,6)对称，因此B，D都不正确．故选A. 解析：f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1＋cos 2x,2)＝sin (2x－eq \f(π,6))－eq \f(1,2). 因为f(eq \f(π,12))＝sin (2×eq \f(π,12)－eq \f(π,6))－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)，所以函数f(x)的图象关于点(eq \f(π,12)，－eq \f(1,2))对称，不关于直线x＝eq \f(π,12)对称，因此A正确，C不正确； 解析：由f(x)＝asin x＋cos x＝eq \r(a2＋1)sin (x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(1,a)，可得f(x)max＝eq \r(a2＋1)，由函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，可得f(eq \f(π,3))＝±eq \r(a2＋1)，即eq \f(\r(3)a,2)＋eq \f(1,2)＝±eq \r(a2＋1)，整理得a2－2eq \r(3)a＋3＝0，解得a＝eq \r(3). (2)已知函数f(x)＝asin x＋cos x的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，则a＝________． eq \r(3) 【解】　f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋eq \r(2)＝sin 2x－(1－cos 2x)＋eq \r(2)＝sin 2x＋cos 2x＋eq \r(2)－1 ＝eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))＋eq \r(2)－1. 令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得，kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ－eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)](k∈Z)． 题型四　恒等变换与三角函数的单调性、最值 　已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋eq \r(2)，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； 【解】　因为x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,6)]， 所以－eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(7π,12)， 所以－eq \f(\r(2),2)≤sin (2x＋eq \f(π,4))≤1. 所以－1≤eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))≤eq \r(2). 已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋eq \r(2)，x∈R. (2)求函数f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,6)]上的最小值和最大值． 所以eq \r(2)－2≤eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))＋eq \r(2)－1≤2eq \r(2)－1. 所以函数f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,6)]上的最小值是eq \r(2)－2，最大值是2eq \r(2)－1. [跟踪训练4] 已知函数f(x)＝asin ωxcos ωx(a>0，ω>0)，f(x)的最大值为1，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2). (1)求f(x)的解析式； 解：因为f(x)＝asin ωxcos ωx(a>0，ω>0)，所以f(x)＝eq \f(1,2)asin 2ωx， 因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)，所以T＝eq \f(2π,2ω)＝π，解得ω＝1， 所以f(x)＝eq \f(1,2)asin 2x，又f(x)的最大值为1，所以eq \f(1,2)a＝1，解得a＝2， 所以f(x)＝sin 2x. 已知函数f(x)＝asin ωxcos ωx(a>0，ω>0)，f(x)的最大值为1，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2). (2)设g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间． 解：由(1)可得g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋1＝sin 2x－ cos 2x， ＝eq \r(2)(eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cos 2x) ＝eq \r(2)sin (2x－eq \f(π,4))， 令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(3π,8)]，k∈Z， 又x∈(0，π)，所以g(x)在(0，π)上的单调递增区间有(0，eq \f(3π,8)]和[eq \f(7π,8)，π)． $$