9.3.2向量坐标表示与运算（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.3.2向量坐标表示 与运算（第三课时） 复习导入 则，． 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． 已知，，则． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 已知，． 平面向量的坐标表示 平面向量的加、减运算的坐标表示 复习导入 已知，． 则 数乘的坐标表示 已知，那么， 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 当时， 定比分点公式： 新知探究 思考：向量的加减、数乘都能用坐标来表示，向量的数量积是不是也可以呢？ 问题1：回顾一下，平面向量数量积的定义是什么？数量积的重要性质有哪些？ 性质与运算律 定义 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） ； 新知探究 问题2：已知怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以 . 又 所以 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. y A(x1,y1) B(x2,y2) O x 新知探究 问题3：已知那么怎样表示呢？ 因为 所以 所以 问题4：已知那么怎样表示呢？ 因为， 所以, 又 所以 新知探究 问题5：两向量夹角的余弦值该怎么用坐标表示呢？ 设， 所以 问题6：已知,那么如何表示？ 因为 所以 所以 新知探究 向量的数量积核心知识 ①数量积定义： ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） 练习巩固 例1：已知向量，求 解：法一：因为; , 所以， 法二：因为， 所以， 练习巩固 练习1：已知向量，求 ① ② 解：①; ② ; 变式1-1：如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则 【答案】： 练习巩固 变式1-2：已知与同向，，. ①求的坐标；②若，求及. 解：①设，则有 ∴∴ ②∵ ∴ 练习巩固 练习2：已知向量，则( ). B、2 C D、50 【答案】： 变式2-1：已知向量，向量则的最大值为________. 【答案】： 变式2-2：已知向量，，，则等于( ). B C、5 D、25 【答案】： 练习巩固 练习3：已知向量，求： ①求，； ②求，， ③求 ④求，的夹角的正弦值. 解：①； ； ； ②； ③； ； 练习巩固 练习3：已知向量，求： ①求，； ②求，， ③求 ④求，的夹角的正弦值. 解：④ ， ； ， 练习巩固 变式3-1：若则是什么形状？证明你的猜想. 解：（法一）如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为 ， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 练习巩固 变式3-1：若则是什么形状？证明你的猜想. 解：（法二）因为 ， . 所以，，， 所以， 则，是直角三角形 练习巩固 例3：设为实数，已知直角三角形中，，，求的值 解：若，则，于是 解得； 若，则，又=于是 解得； 若，则，于是 解得； 综上，所求的值为或或 练习巩固 练习4：设平面上向量()，.求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 练习巩固 练习4：设平面上向量()，.求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 练习巩固 变式4-1：在矩形中，，，，分别在，上，且,则当时，. 【答案】： 变式4-2：已知，则与垂直的单位向量的坐标为. 【答案】：或 练习巩固 练习5：已知，则在方向上的投影向量为__________. 【答案】： 投影： 向量在向量上的投影向量的模： 向量在向量上的投影向量： 小结 向量的数量积 ①数量积定义： ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） $$