精品解析：辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

沈阳市浑南区广全实验学校 2023—2024学年度下学期第一次月考高二试题 数学 命题人：张绍良 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列，按照这个规律，这个数列的第211项为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是以为公比的等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6. 若直线与抛物线只有1个公共点，则焦点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满是，，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 18 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ） A. d＜0 B. a10＝0 C. S18＜0 D. S8＜S9 10. 若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A. m＝2 B. 椭圆C的长轴长为 C. 椭圆C的短轴长为2 D. 椭圆C的离心率为 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 13. 对于数列，定义“优值”为．若的“优值”，则________． 14. 过圆C：内一点的条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16. 为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入一个验证码.当连续3次输入错误验证码时，该用户账号将被冻结，需本人持有效证件进行解冻.已知该系统登入设置的每个验证码由有序数字串abcd组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入，直到输入正确的验证码或账号被冻结． （1）求这个人第一次输入的验证码恰有两位正确的概率； （2）设这个人输入验证码的次数为X，求X的分布列和期望． 17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 数列满足，，. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市浑南区广全实验学校 2023—2024学年度下学期第一次月考高二试题 数学 命题人：张绍良 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列，按照这个规律，这个数列的第211项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得数列的通项公式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得该数列的一个通项公式为，则． 故选：B 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 3. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 已知是以为公比的等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为数列是以为公比的等比数列，且，， 则，解得. 故选：A. 5. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系直接求解. 【详解】因为，所以， 故选:C. 6. 若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立与的方程并消去，由题意可知，则可求出的值，从而可求出焦点的坐标，然后利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由，得. 因为与只有1个公共点， 所以，结合，解得， 所以，所以到的距离. 故选：D. 7. 已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案. 【详解】展开式中的第项为， 所以前三项系数依次为， 依题意，有，即， 整理得，解得（舍去）或. 由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大， 即. 故选：C. 8. 已知数列满是，，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差等差数列，可得数列的通项，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】 ， 数列是以10为首项，1为公差的等差数列 ， 当且仅当，即时，取最小值16. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ） A. d＜0 B. a10＝0 C. S18＜0 D. S8＜S9 【答案】BC 【解析】 【分析】由，得 ，判断出A,B选项，再结合，判断C选项，再根据等式性质判断D选项 【详解】 ， ，所以B正确 又 , , ,所以A错误 ，故C正确 ,故D错误 故选：BC 10. 若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A. m＝2 B. 椭圆C的长轴长为 C. 椭圆C的短轴长为2 D. 椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设判断椭圆焦点位置，确定,求出的值，即易得其他选项结果. 【详解】对于A项，由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，由已知可得， 解得m＝2或m＝－1（舍去），故A项正确； 对于B项，C项，把的值代入椭圆方程即得：.则， 即椭圆C的长轴长为，短轴长为，故B项错误；C项正确； 对于D项，即a＝，b＝，则， 则离心率为,故D项正确. 故选:ACD 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，，AD正确； ，，B错误； ，，C正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得. 【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法， 再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法， 所以不同站法的种数为. 故答案为：24 13. 对于数列，定义的“优值”为．若的“优值”，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据优值利用作差法可求通项. 【详解】因为的“优值”，故， 所以，故， 故当时，，则， 而，故，符合，故. 故答案为：. 14. 过圆C：内一点的条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，过点的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，结合等差数列通项公式计算即得. 【详解】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10， 最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下) 如图，过点且与垂直，过点另作弦，过点作于点， 在中，显然，而， 因，则得，即为过点的最短弦长. 要使公差最大，则这条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项. 即，解得：，故公差的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 故， 所以 【小问2详解】 由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 16. 为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入一个验证码.当连续3次输入错误验证码时，该用户账号将被冻结，需本人持有效证件进行解冻.已知该系统登入设置的每个验证码由有序数字串abcd组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入，直到输入正确的验证码或账号被冻结． （1）求这个人第一次输入的验证码恰有两位正确的概率； （2）设这个人输入验证码的次数为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）确定每位验证码输入正确的概率均为，结合独立重复试验的乘法公式，即可求得答案； （2）确定X的可能的取值，求出每个对应的概率 ，即可得分布列，由期望公式即可求得数学期望. 【小问1详解】 由题意可知验证码的每位数字输入正确的概率均为， 则这个人第一次输入的验证码恰有两位正确的概率为； 【小问2详解】 由题意知X的可能取值为， 则，， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 P 故. 17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】（1）公司：（元）；公司：（元） （2）从公司得到的报酬较多 【解析】 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【小问1详解】 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． 【小问2详解】 若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，线线垂直；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】 证法1：因为平面平面，所以. 又为正方形，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，于是. 证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 因此. 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故是平面的一个法向量. ，设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故是平面的一个法向量. 所以 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 数列满足，，. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解； （2）利用等差数列的定义证明即可； （3）先用累加法求出，然后用裂项相消法求出. 【小问1详解】 令，得； 令，得. 【小问2详解】 ， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问3详解】 由（2）得， 所以 ， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$