重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 题型六：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【变式1-1】已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 题型二：问题（系数不为1） 【例2】如图所示，在中，D是线段BC上一点，，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-1】在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D．3 【变式2-2】（多选题）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（    ） A． B． C． D．1 题型三：问题 【例3】如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域（不含边界）运动，且． （）当时，的取值范围是 ． （）当时，的取值范围是 ． 【变式3-1】如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【变式3-2】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 题型四：问题 【例4】如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式4-1】在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 题型五：问题 【例5】已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 . 【变式5-1】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 . 题型六：问题 【例6】在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为 . 【变式6-1】如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .    【变式6-2】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 【强化训练】 1．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）    A． B． C． D． 2．已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 5．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 6．在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 . 7．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ． 8．在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 . 9．如图，已知扇形中，,，若是弧上的动点，以为边作正方形（、、、按顺时针排序）.若，则点所经过的路径长是 ，的最大值为 . 10．如图，在半径为的圆中，点为圆上的定点，且，点为圆上的一个动点，若，则的取值范围是 ． 11．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 12．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为 13．在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为 . 14．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ． 15．扇形中，，为上的一个动点，且，其中. （1）的取值范围为 ； （2）的取值范围为 . 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 题型六：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．设，， 所以 ， 又， 所以． 故选：． 【变式1-1】已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过点作轴垂线为轴建立直角坐标系， 其中，其中， 由， 即， 整理得， 解得， 则， ， 所以. 故选：C. 【变式1-2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 题型二：问题（系数不为1） 【例2】如图所示，在中，D是线段BC上一点，，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由条件可得， ∴，，，， ∴，∵M，D，N三点共线，∴，， 当且仅当即时等号成立，即的最小值是． 故选：D. 【变式2-1】在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因为点是的三等分点，，所以, 又因为过点的直线分别交直线，于点，，即三点共线，所以，又因为，，所以 ，因此，所以，即， 故选：D. 【变式2-2】（多选题）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】CD 【解析】根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为1； 以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系， 可得到点的坐标为：，，，，， ，，， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ， ， 故选项CD满足. 故选：CD. 题型三：问题 【例3】如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域（不含边界）运动，且． （）当时，的取值范围是 ． （）当时，的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指点区域内，则点应落在上，，，故的取值范围是． （） 当时，要使点落在指定区域内，则点应落在上，（其中在的延长线上，且），由于，，故的取值范围是， 故答案为：；. 【变式3-1】如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【答案】①④ 【解析】设，由图可知： 且， ∴①④正确， 故答案为：①④ 【变式3-2】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得， 设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a； 过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H， 连接FH，则点K､H为临界点； GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE， ， 所以FH∥BC； 所以FHBC， 所以， 所以KGHK， KGHGDE. 所以实数x的取值范围是(). 故答案为：(). 题型四：问题 【例4】如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为， 所以，即， 又因为G为线段AO的中点， 所以， 因为，， 所以， 因为D、G、E三点共线， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 【变式4-1】在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】， ∵E、O、F三点共线，∴， ∵m>0，n>0，t>0， ∴， 当且仅当时取等号， ∴． 故选：B． 题型五：问题 【例5】已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 . 【答案】3 【解析】如图，由题意得存在实数，使得. 又， 所以， 又∵，且不共线， 故由平面向量的分解的唯一性得 所以. 故答案为：3. 【变式5-1】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， △ABC中，， ∴（）， 又点E在线段AD（不含端点）上移动， 设k，0＜k＜1， ∴， 又， ∴， ∴． ∵在（0，1）上单调递减， ∴λ的取值范围为（，+∞）， 故选C． 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【解析】因为在中，， 所以, 即. 因为点在线段上移动（不含端点），所以设. 所以，对比可得. 代入，得； 代入可得，根据二次函数性质知当时，. 故答案为： 题型六：问题 【例6】在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由为边上任意一点，则， ， 可得，则，即，由，可得，则， 故， 当时，取得最小值为. 故答案为：. 【变式6-1】如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .    【答案】/0.4 【解析】根据题意，得. 因为，，三点共线，设，则， 所以， 所以， 所以有，即， 所以， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式6-2】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图所示， 中，， ∴， 又点点在线段上移动，设，， ∴， 又，∴， ∴， ∴当时，取到最小值，最小值为. 故答案为：． 【强化训练】 1．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据向量加法的几何意义可知， 当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意； 当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意； 当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意； 当时，由可知，点应落在区域4，符合题意. 又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以. 故选：D. 2．已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，过点O作， ，，和是等腰三角形， 为中点，为中点， 设，，则 ， ，即 ，即 联立解得：， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为 故选：B 3．（多选题）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即， 结合选项可知ABC符合，D不符合 故选：ABC 4．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【解析】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 【答案】 【解析】 由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故答案为： 6．在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点. 不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则，，,， 又， 则，则， 则， 又， 则， 则， 即， 故答案为：. 7．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系. 则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，， 设，则， 由得 从而 则，易知， 故在上单调递增， ∴，. 故. 故答案为： 9．如图，已知扇形中，,，若是弧上的动点，以为边作正方形（、、、按顺时针排序）.若，则点所经过的路径长是 ，的最大值为 . 【答案】 【解析】以点为坐标原点，为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点，扇形的圆弧所在圆的方程为， 设点，设，则，设， 所以，，， 所以，，， 即点， 因为四边形为正方形，则， 设点，可得，解得， 因为点在圆上，所以，， 将代入方程可得， 整理可得， 所以，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为， 由于，则点的运动轨迹是圆的三分之一圆弧， 因此，点所经过的路径长为. 设（为参数，且），则， 即点. ，同理可得. 易得点、、， 则，， 所以，， 所以，， 则 ， ，， 因此，当时，取得最大值. 故答案为：；. 10．如图，在半径为的圆中，点为圆上的定点，且，点为圆上的一个动点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图所示，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系， 因为圆的半径为，且，可得， 设点，其中， 因为，可得， 所以，可得， 因为，可得， 即的取值范围是. 故答案为：. 11．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 【答案】 【解析】依题意，作出图形如下， 因为，，，则， 所以 ， 因为三点共线，所以， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为 【答案】 【解析】 因为点是的三等分点，则 ， 又由点三点共线，所以， 所以 ，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，则有， 即，所以，因为， 所以， 故答案为：. 13．在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为 . 【答案】 【解析】在中，点是的三等分点，， ， ，，， ，，三点共线，， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为， 即，，． 故答案为：． 14．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则， 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．扇形中，，为上的一个动点，且，其中. （1）的取值范围为 ； （2）的取值范围为 . 【答案】 【解析】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，， . 解法二：（坐标法），， ，，，， . 解法三：设， ，即 ∴. （2）解法一：（等和线） 解法二：，其中先增后减. 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$