专题05 角平分线性质与判定【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题05 角平分线的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP （三）尺规作图——角平分线 作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 ②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 模块三 考点一遍过 考点1：角平分线的性质——求线段 典例1：如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若，，则 D．当时， 【变式2】如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ． 【变式3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 考点2：角平分线的性质——求角 典例2：如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 考点3：角平分线的性质——求面积 典例3：如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式1】如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 【变式2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【变式3】如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 考点4：角平分线的性质——实际应用 典例4：如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 【变式1】如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 【变式2】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【变式3】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 考点5：角平分线与等边三角形 典例5：如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 【变式1】如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点 交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长； (3)求证：点在的角平分线上． 【变式2】如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)已知，求点 C到之间的距离． 【变式3】如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且． (1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K； (2)在（1）的条件下， ①求证：是等边三角形； ②求证：． 考点6：角平分线判定 典例6：阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【变式1】如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在 中，，是 的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 考点8：角平分线的性质与判定综合 典例8：王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 【变式1】在中，是边上一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，当点是边的中点时，_________； (2)如图2，当平分时，若，，求的值；（用含，的式子表示） (3)如图3，平分，延长到点，使得，连接．若，，，求的值． 【变式2】已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 【变式3】如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 角平分线的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP （三）尺规作图——角平分线 作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 ②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 模块三 考点一遍过 考点1：角平分线的性质——求线段 典例1：如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过作于点，如图， ∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：. 【变式1】如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若，，则 D．当时， 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定A；设中边上的高为h，利用三角形的面积公式即可判断B；根据作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断C；得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定D． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ，故A正确，不符合题意； 设中边上的高为h， ∵，即；故B正确，不符合题意； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线的性质，得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 考点2：角平分线的性质——求角 典例2：如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，由题意可知点为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．正确得出点为的三条角平分线的交点是解题的关键． 【详解】解：点到三边距离相等， 点为的三条角平分线的交点， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可． 【详解】解：如图，作于，于， ∵是的平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类讨论． 分类讨论：过点作于于，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点在点的右侧时，证明，则有；点在点左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 【详解】解：如图，过点作于于， ∵平分， ， 当点在点的右侧时， 在和中， ， ， ， 当点在点左侧时，同理可求， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 考点3：角平分线的性质——求面积 典例3：如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 【变式1】如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的定义 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等； （2）解：如图1， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 【变式2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 【变式3】如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)22 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． （1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解； （2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】（1）证明：如图，过D作于M，于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于G， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 考点4：角平分线的性质——实际应用 典例4：如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可． 【详解】如图所示：点即为所求． 【变式1】如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求． 【变式2】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 【变式3】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】（1），，中任选两条线段，分别作垂直平分线，得到的交点即为所求点； （2）作、夹角（锐角）的角平分线，作线段的垂直平分线，两者的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，的垂直平分线，与的交点为K，K即为学校的位置．    （2）解：如图所示，点C即为所求．    【点睛】本题考查复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及作法，垂直平分线的性质及作法． 考点5：角平分线与等边三角形 典例5：如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， ． ． （2）证明：过点作于，于，设交于． ， ， ，， ，， ，， ， 平分； （3）解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证， ， 设，，， ， 同法可证， ， ， ， ， 【变式1】如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点 交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长； (3)求证：点在的角平分线上． 【答案】(1)是等边三角形；理由见解析 (2)10 (3)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、根据等角对等边求边长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质和判定． （1）根据平行线的性质和等边三角形的性质得出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质得出，则，进而得出，同理可证，即可得出的周长； （3）过点作于于于，根据角平分线的性质得出，，进而推出则点在平分线上． 【详解】（1）解：是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ∵，， ， 为等边三角形． （2）解：平分，， ， ， 同理可证； 的周长． （3）证明：过点作于于于，如图， 平分， 同理可得， 点在平分线上． 【变式2】如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)已知，求点 C到之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得； （2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离． 【详解】（1）证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，   在和中． ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴ 由（1）可知， ∴， 设 C到的距离为h， 则， ∴， ∵是的平分线， ∴，即点C到的距离为4． 【变式3】如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且． (1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K； (2)在（1）的条件下， ①求证：是等边三角形； ②求证：． 【答案】(1)画图见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据尺规作图，作一个角等于已知角的做法做出，再延长与交于； （2）①由等边可得，从而判定为等边三角形；②连接可证出，推出，得到，再利用，推出，再利用等量代换可得出，从而得到． 【详解】（1）解：以点为圆心任意长为半径画弧交于两点，以点为圆心同样长为半径画圆弧，再用圆规量取之间距离，并使其等于的长，连接即可得到，如下图所示： ； （2）①解：∵等边， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴是等边三角形； ②解：连接， ， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ （SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形性质及判定，角平分线性质，全等三角形判定及性质，尺规作图，熟练掌握基本性质能够正确画出辅助线是解题关键． 考点6：角平分线判定 典例6：阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 【变式1】如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理可得平分，最后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于点，作于点， 由（1）已证：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】如图，在 中，，是 的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，直角三角形的两锐角互余以及正方形的性质，掌握角平分线的判定及性质是本题的解题关键． （1）过点作于点，根据角平分线定理的性质及正方形的性质得，利用角平分线的判定即可得证； （2）利用全等得到线段，，利用正方形，得到四边都相等，从而利用与、及的关系求出的长． 【详解】（1）证明：过点作于点 ∵正方形， ∴，于，于 ∵平分，于，于 ∴ ∵于， ∴点在的平分线上即平分； （2）解：∵中，，， ∴ ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理得 由（）得 ∵，， ∴， ∵ ∴即 解得 【变式3】如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 考点8：角平分线的性质与判定综合 典例8：王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2） 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】解：（1）是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． （2） ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【变式1】在中，是边上一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，当点是边的中点时，_________； (2)如图2，当平分时，若，，求的值；（用含，的式子表示） (3)如图3，平分，延长到点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解此题的关键． （1）过作于，根据三角形面积公式求出即可； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案； 【详解】（1）解：过作于， 点是边上的中点， ， ， 故答案为： （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 为的平分线， ． ，， ，， ； （3）解：，，平分， 由（2）知，． ， ． ， 由（1）知，， ． ． 【变式2】已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 【答案】方法：（）；（）见解析；方法：见解析 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案； （）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得； [方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明； 此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：方法：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）如图， （）证明：∵平分，，． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 方法： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$