重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点， 所以，， ，， 所以， ， 可得，， 又因为， 所以， 故选：C． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A. 【变式1-2】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 题型二：范围与最值问题 【例2】已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 又由 ， 因为，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式2-1】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 【变式2-2】正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆的圆心， 因为，所以， 当弦的长度最短时，， 在中，由正弦定理知，外接圆半径，即， 所以， 因为，即， 所以， 因为点为线段上的动点， 所以当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 综上，， 所以． 故选：D． 【变式2-3】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，由余弦定理得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点D， 由极化恒等式可得：， 同理，，由于， 则，所以， 因为，D是的中点，于是. 故选：D. 【变式3-1】在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【答案】 【解析】取的中点，取，， ， 因为的最小值， 所以． 作，垂足为，如图， 则，又，所以， 因为， 所以由正弦定理得：，， 所以 ． 故答案为：. 【变式3-2】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 【变式3-3】设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是 ． 【答案】 【解析】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是 故答案为： 【强化训练】 1．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】如图，连接，显然， ， 点在正六边形的边上运动，是其中心，因此的最大值等于其边长4， 所以的最大值为． 故选：D． 3．在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 【答案】 【解析】（1）根据题意，可得且所以可得 结合、可得； （2）因为所以 观察图形可得：当时等号成立， 所以可得即的最小值为 故答案为：； 4．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 5．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 6．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 3 【解析】因为，所以点在以为直径的圆上， 记的中点分别为， 则， 因为是边长为2的正三角形，，所以， 易知，当三点共线时取得最大值，此时， 所以的最大值为， 当重合时取得最小值，此时的最小值为. 故答案为：3;. 7．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】0 【解析】连接，可得， 显然当最大，即取得最大值2时，取得最小值0． 故答案为：0. 8．如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    【答案】 【解析】在边长为2的在中，取的中点，连接并取其中点，连接，则， 于是 ， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 9．如图，半圆的半径，点为圆心，点为半圆上不同于的任意一点，若点为半径上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】依题意，，， 所以 ， 当且仅当，即点是线段的中点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 10．如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .    【答案】 99 148 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示： 则,，，，即， ， 当时，取得最小值，此时，所以. 当与重合时，，，则， 当与重合时，，，则， 所以， 故答案为：99；148. 11．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 【答案】 【解析】正八边形内角和为， 则，取AC中点， 则， 所以， 又， 所以 由对称性可得，所以， 过点分别作，垂足为， 则都为等腰直角三角形，且， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为 . 【答案】24 【解析】如图： 分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF． 又，所以由极化恒等式得 ，， 所以 . 连接OE，OF，OA，OB，OC，OD， 由，，得， 所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上，所以EF的最大值为， 所以的最大值为24. 故答案为：24. 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型二：范围与最值问题 【例2】已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【变式3-2】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ． 【变式3-3】设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是 ． 【强化训练】 1．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 3．在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 4．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 5．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    6．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 7．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为 ． 8．如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    9．如图，半圆的半径，点为圆心，点为半圆上不同于的任意一点，若点为半径上的动点，则的最小值为 ．    10．如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .    11．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 12．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为 . 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$