重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 -2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】已知的重心为O，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在的边上作匀速运动的三个点P，S，R，当时，分别从A，B，C出发，当时，恰好同时到达．那么这个运动过程中的定点是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-3】已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 题型二：内心定理 【例2】已知点O是的内心，，，则 . 【变式2-1】（多选题）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 题型三：外心定理 【例3】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【变式3-1】已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式3-3】已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 题型四：垂心定理 【例4】设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【变式4-1】是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【变式4-2】已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 【变式4-3】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题： (1)是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交于点． （ⅰ）记，请用表示； （ⅱ），求的最小值． (2)已知点是的垂心（三条高的交点），且，求． 【变式4-4】设，（为坐标原点），点为的垂心，求. 【强化训练】 1．在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 5．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 6．（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（     ） A．若向量，则的外心为中点 B．若点G为的重心，则 C．若点O为所在平面内一点，且，则 D．若点I为的内心，则 7．（多选题）设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B．若，（且），则直线AD经过的垂心 C．若，且x，，，则是面积的一半 D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 8．（多选题）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线一定经过三角形的重心 B．当时，直线一定经过三角形的外心 C．当时，直线一定经过三角形的垂心 D．当时，直线一定经过三角形的内心 9．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 10．数学家欧拉发现任意三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条线为欧拉线，已知外心，垂心，则重心的坐标为 11．如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 12．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 13．在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 又， 所以，则. 故选：C. 【变式1-1】已知的重心为O，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心， 所以． 则. 故选:D． 【变式1-2】如图，在的边上作匀速运动的三个点P，S，R，当时，分别从A，B，C出发，当时，恰好同时到达．那么这个运动过程中的定点是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【解析】D选项，依题意知， 设G为的重心，则， 即，故， 其中 ， 故，所以G为的重心，故重心为定点，D正确； ABC选项，假设为等腰直角三角形，秒后运动到，恰好为三边的中点， 作出的角平分线，则的内心一定在上，作出的角平分线， 由于四边形为平行四边形，不为菱形，故与不重合，所以内心不会重合，不是定点，A错误； 则的外心为，的外心为，故外心不是定点，B错误； 的垂心为，的垂心为，故垂心不是定点，C错误； 故选：D 【变式1-3】已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【答案】 内心 【解析】由已知，，而表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 题型二：内心定理 【例2】已知点O是的内心，，，则 . 【答案】 【解析】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 【变式2-1】（多选题）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 题型三：外心定理 【例3】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【解析】如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 【变式3-1】已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【变式3-2】为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 【变式3-3】已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【解析】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 题型四：垂心定理 【例4】设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】由题意可得，则，故点是的垂心. 故选：A. 【变式4-1】是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【答案】垂心 【解析】， 与垂直， ， 点在的高线上，即的轨迹过的垂心. 故答案为：垂心． 【变式4-2】已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 【答案】垂 【解析】由，知，，故，，从而为的垂心. 故答案为：垂. 【变式4-3】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题： (1)是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交于点． （ⅰ）记，请用表示； （ⅱ），求的最小值． (2)已知点是的垂心（三条高的交点），且，求． 【解析】（1）（ⅰ）记的中点为，连接，则， 由重心性质可知，，所以①. （ⅱ）因为，所以， 代入①得， 因为三点共线，所以， 由题意可知，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. （2） 因为，所以， 由垂心定义可知，， 所以②， ③， 联立②③可得， 所以. 【变式4-4】设，（为坐标原点），点为的垂心，求. 【解析】因为，所以， 又，所以， 因为点为的垂心， 所以，即， 所以， 解得. 【强化训练】 1．在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，在等腰中，找底边的中点， 作，，交点即为垂心， 以为原点建立平面直角坐标系， 设，，故，，， 故，，， 故， 设，故，则， 故， 又，故，而，则，解得， 故，故，解得，可得， 易得，，可得，可得，解得， 由三线合一性质得平分，故，而， 由二倍角公式得，故，故C正确. 故选：C 2．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 3．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 4．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【解析】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 5．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【解析】对于A中，因为为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 6．（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（     ） A．若向量，则的外心为中点 B．若点G为的重心，则 C．若点O为所在平面内一点，且，则 D．若点I为的内心，则 【答案】ABD 【解析】对于A，，，，判断出是等腰直角三角形，所以A正确； 对于B，点G为的重心，如图，延长交BC于E，则E是BC中点，则，因此，，B正确； 对于C，由得：，即， 点O在边BC的高所在直线上，显然，C不正确； 对于D，I为的内心，如图，延长交BC于D，显然分别平分，则有，，，， ， 同理，， 所以，D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B．若，（且），则直线AD经过的垂心 C．若，且x，，，则是面积的一半 D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 【答案】ABC 【解析】对于A，由可得，， 即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确； 对于B，因，则 ，即，故直线AD经过的垂心，即B正确； 对于C，因， ，则， 设，则，因，故三点共线， 如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半， 故是面积的一半，即C正确； 对于D，由可得，， 如图2，取，则有，以为两邻边作， 易知是菱形，故平分，且故得，， 故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选题）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线一定经过三角形的重心 B．当时，直线一定经过三角形的外心 C．当时，直线一定经过三角形的垂心 D．当时，直线一定经过三角形的内心 【答案】AC 【解析】对于A，因为，，设点为的中点， 所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确； 对于B，当时，， 因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量， 所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确； 对于D，当时，， 而由正弦定理有，即有， 结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误. 故选：AC. 9．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 【答案】外心 【解析】如图所示：为中点，连接， ， ，故， 即，故的轨迹一定经过的外心. 故答案为：外心 10．数学家欧拉发现任意三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条线为欧拉线，已知外心，垂心，则重心的坐标为 【答案】 【解析】设，由题. 故答案为：. 11．如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 【解析】（1）由于点为的重心，所以， 故. （2），， ，， 同理， ， 当时，的面积的最小值． （3）的重心保持不变，证明如下： 设，的重心， 由题意，在同一时刻，分所成的比相同，设为， 则可得， ， ， ， 由三角形重心坐标公式有， 把的坐标代入中， 求得的重心坐标为， 它与无关，即在运动过程中，的重心保持不变. 12．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 13．在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 【解析】（1）由可得,故， 由于,故，所以, 由于,故 （2）由余弦定理可得， 解得（负值舍去）， 因为即为向量与的夹角， 设，， 则， 因为，， 所以，， 故，， 所以， 故． （3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心； 证明：由题意可知 则 因为为外心，所以 则，即 同理可得： 所以，点为的垂心得证， 因此由于为的垂心，为的外心， 故，其中， 设外接圆半径为，则, , 由于， 故由于，故 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$