第二单元 圆柱和圆锥-2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第二单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 1. 圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7. 求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10. 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•汉川市）一个长方形的长是6cm，宽是4cm。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是（　　） A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高，圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积，圆柱的体积＝底面积×高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积＝3.14×4×4＝50.24（cm2）， 圆柱甲的侧面积＝3.14×4×2×6＝150.72（cm2）， 圆柱甲的表面积＝50.24×2+150.72＝251.2（cm2）， 圆柱甲的体积＝3.14×4×4×6＝301.44（cm3）； 圆柱乙的底面积＝3.14×6×6＝113.04（cm2）， 圆柱乙的侧面积＝3.14×6×2×4＝150.72（cm2）， 圆柱乙的表面积＝113.04×2+150.72＝376.8（cm2）， 圆柱乙的体积＝3.14×6×6×4＝452.16（cm3）， 故选：D。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 2．（2分）（2024•兴隆台区）一个圆锥的底面积是1cm2，体积是30cm3，这个圆锥的高是（　　） A．9dm B．6dm C．3dm D．1dm 【思路点拨】依据题意可知，利用圆锥的体积＝底面积×高÷3，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：30×3÷1＝90（厘米） 90厘米＝9分米 答：圆锥的高是9分米。 故选：A。 【考点评析】本题考查的是圆锥的体积公式的应用。 3．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（　　） A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．35dm3 【思路点拨】通过观察图形可知，每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，每个圆锥的高是圆柱高的一半，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以每个圆锥的体积是圆柱体积一半的。据此解答。 【规范解答】解：72÷2 ＝36 ＝12（立方分米） 答：每个圆锥的体积是12立方分米。 故选：A。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 4．（2分）（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，（　　）正好倒满。（单位：cm） A． B． C． 【思路点拨】根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出水的体积和各选项圆锥形容器的容积即可。 【规范解答】解：3.14×（10÷2）2×6 ＝3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝471（cm3） A．3.14×（10÷2）2×15÷3 ＝3.14×52×15÷3 ＝3.14×25×15÷3 ＝392.5（cm3） B．3.14×（10÷2）2×18÷3 ＝3.14×52×18÷3 ＝3.14×25×18÷3 ＝471（cm3） C．3.14×（12÷2）2×15÷3 ＝3.14×62×15÷3 ＝3.14×36×15÷3 ＝565.2（cm3） 将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，B选项的圆锥形容器正好倒满。 故选：B。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 5．（2分）（2024•武安市）一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，且它们的体积的比是3：1，则它们高的比是（　　） A．3：1 B．9：1 C．1：1 D．无法比较 【思路点拨】依据题意可知，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，圆锥的体积＝π×底面半径×底面半径×高÷3，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：底面积为s，圆柱的高为a，圆锥的高为b，则（s×a）：（s×b）＝3：1，所以a：b＝1：1。 故选：C。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分17分） 6．（2分）（2024•沧州）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，该圆柱的高和底面半径的比是 　2π：1　。 【思路点拨】根据圆柱侧面积展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：2πr；r＝2π：1 答：该圆柱的高与底面半径的比是2π：1。 故答案为：2π：1。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，比的意义及应用。 7．（2分）（2024•栾川县）把两个底面直径2dm，高6dm的圆柱熔铸成一个圆锥，这个圆锥的体积是 　37.68立方分米　。 【思路点拨】依据题意可知，圆锥的体积等于2个圆柱的体积，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：2÷2＝1（分米） 3.14×1×1×6×2 ＝3.14×12 ＝37.68（立方分米） 答：圆锥的体积是37.68立方分米。 故答案为：37.68立方分米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 8．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　120　平方厘米，该圆柱的体积是 　942　立方厘米。 【思路点拨】依据题意可知，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：10÷2＝5（厘米） 5×12×2＝120（平方厘米） 3.14×5×5×12 ＝3.14×25×12 ＝942（立方厘米） 答：这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了120平方厘米，该圆柱的体积是942立方厘米。 故答案为：120，942。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 9．（2分）（2024•淮安）一个圆柱形茶叶罐侧面贴满商标纸，剪开后得到一个平行四边形（如图），茶叶罐的底面半径是 　5　厘米，体积是 　1177.5　立方厘米。（商标纸的厚度忽略不计） 【思路点拨】依据题意可知，圆柱的高是15厘米，底面周长是31.4厘米，由此计算底面半径，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×5×5×15＝1177.5（立方厘米） 答：底面半径是5厘米，体积是1177.5立方厘米。 故答案为：5，1177.5。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积公式的应用。 10．（2分）（2024•临汾）李叔叔用一块长方形铁皮的阴影部分（如图），刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。做成的油桶的底面半径是 　20　厘米，高是 　40　厘米，体积是 　50.24　立方分米。 【思路点拨】根据题意可知，阴影部分中的长方形的长应该为阴影部分圆的周长，长方形的宽为圆的直径也是做成的油桶的高，那么长方形铁皮的长等于两条直径加一个圆的周长，可设圆的直径为x厘米，然后列式解答即可得到圆的半径，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：设阴影部分中圆的直径为x厘米，由题意得： x+x+3.14x＝205.6 5.14x＝205.6 x＝40 阴影部分圆的半径为：40÷2＝20（厘米） 3.14×20×20×40＝50240（立方厘米） 50240立方厘米＝50.24立方分米 答：做成的油桶的底面半径是20厘米，高是40厘米，体积是50.24立方分米。 故答案为：20，40，50.24。 【考点评析】解答此题的关键是找到算式中的等量关系式，然后确定圆的半径即可，利用圆柱的体积公式计算即可。 11．（2分）（2024•双流区）如图，有一个圆柱形的木桶，底面直径2dm，最长的木板长4dm，最短的木板3dm，这个木桶平放时最多能装 　9.42　升水。从这个现象中，你懂得了 　一个人的成就往往受到自身短板的限制　。 【思路点拨】依据题意可知，这个木桶木桶平放时最多能装水的容积等于底面直径2分米，高3分米的圆柱的体积，由此解答本题。（答案不唯一） 【规范解答】解：2÷2＝1（分米） 3.14×1×1×3＝9.42（立方分米） 9.42立方分米＝9.42升 答：这个木桶平放时最多能装9.42升水。从这个现象中，你懂得了一个人的成就往往受到自身短板的限制。（答案不唯一） 故答案为：9.42；一个人的成就往往受到自身短板的限制。（答案不唯一） 【考点评析】本题考查的是圆柱体积公式的应用。 12．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是9cm，它的表面积是 　486　cm2；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　254.34　cm2；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　190.755　cm3。 【思路点拨】根据正方体的表面积公式：S＝a2，求出正方体的表面积即可；如果在这个盒子放入一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，把数据代入公式解答；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，也就是圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方厘米） 3.14×9×9 ＝28.26×9 ＝254.34（平方厘米） 3.14×（9÷2）2×9 3.14×20.25×9 ＝190.755（立方厘米） 答：正方体的表面积是486平方厘米，圆柱的侧面积是254.34平方厘米，圆锥的体积是190.755立方厘米。 故答案为：486；254.34；190.755。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）把圆柱的侧面沿高展开，得到的是一个　长方　形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个　扇　形． 【思路点拨】由圆柱的侧面沿高展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高； 圆锥的侧面展开图是一个扇形，据此即可进行解答． 【规范解答】解：把圆柱的侧面展开，得到的是一个长方形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个扇形； 故答案为：长方，扇． 【考点评析】熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　√　（判断对错） 【思路点拨】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【规范解答】解：由分析可知：同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥、长方体的体积的应用。 15．（2分）（2024•涿州市）圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的2倍，它的体积也扩大到原来的2倍．　×　（判断对错） 【思路点拨】圆柱的体积＝底面积×高，底面积S＝πr2，圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的2倍，那么底面积就要扩大22＝4倍，体积也要扩大4倍，据此即可解答． 【规范解答】解：因为圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的2倍，那么底面积就要扩大22＝4倍，体积也要扩大4倍， 所以，原题说法错误． 故答案为：×． 【考点评析】解答本题的关键是明确：底面直径扩大或缩小倍数，与体积扩大或缩小倍数之间的关系． 16．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　×　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，利用圆的周长＝3.14×直径，圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，由此解答本题。 【规范解答】解：3.14×5＝15.7（厘米） 5÷2＝2.5（厘米） 3.14×2.5×2.5×25.12＝492.98（立方厘米） 半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米），3.14×4×4×15.7＝788.768（立方厘米）， 所以一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为8厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大，本题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 17．（2分）（2024•新城区模拟）两个圆柱等高，如果它们底面积之比是2：5，那么它们的体积之比是4：25。 　×　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，利用圆柱的体积＝底面积×高，结合题中数据去解答。 【规范解答】解：由分析可知：两个圆柱等高，如果它们底面积之比是2：5，那么它们的体积之比是2：5，本题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积公式的应用。 18．（2分）（2024春•凉州区期中）一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，圆柱的侧面积也扩大到原来的2倍。 　×　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，利用圆柱的侧面积＝π×底面半径×2×高，结合题中数据解答本题。 【规范解答】解：由分析可知：一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，圆柱的侧面积扩大到原来的4倍。本题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查的是圆柱侧面积公式的应用。 四．看图列式，细心计算．（共2小题，满分12分） 19．（6分）（2015春•武功县校级期中）计算下面图形的体积，并求出圆柱的表面积． 【思路点拨】（1）圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：V＝π（d÷2）2h．圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积＝πdh+2πr2，圆柱的底面直径和高已知，代入公式即可求解． （2）圆锥的体积底面积×高π（d÷2）2h，圆锥的底面直径径和高已知，代入数据即可解答． 【规范解答】解：（1）3.14×（16÷2）2×18 ＝200.96×18 ＝3617.28（立方厘米） 3.14×16×18+3.14×（16÷2）2×2 ＝904.32+401.92 ＝1306.24（平方厘米） 答：圆柱的体积是3617.28立方厘米，表面积是1306.24平方厘米． （2）3.14×92×21 ＝3.14×81×7 ＝1780.38（立方厘米） 答：圆锥的体积是1780.38立方厘米． 【考点评析】此题考查了圆柱的体积表面积公式和圆锥的体积公式的计算应用，熟记公式即可解答． 20．（6分）（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣（xí）（削）去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？（π取3.14） 【思路点拨】通过观察图形可知，加工成型后的体积等于正方体的体积减去半圆柱的体积，成型后的表面积表面积减去半圆柱的两个底面（一个圆）的面积再减去一个长方形的面积，然后加上圆柱侧面积的一半。据此解答即可。 【规范解答】解：10×10×10﹣3.14×（6÷2）2×10 ＝1000﹣3.14×9×10 ＝1000﹣141.3 ＝858.7（立方厘米） 10×10×6﹣3.14×（6÷2）2﹣10×6+3.14×6×10 ＝600﹣3.14×9﹣60+188.4 ＝600﹣28.26﹣60+94.2 ＝511.74+94.2 ＝605.94（平方厘米） 答：加工成型后它的体积是858.7立方厘米，表面积是605.94平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式、圆柱的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 五．静心审题，解决问题（共10小题，满分51分） 21．（5分）（2024•蠡县）一个圆锥形麦堆，底面直径是8m，高是7.5m，如果每立方米麦子重600kg，那么这堆麦子重多少千克？ 【思路点拨】依据题意可知，利用圆锥的体积＝π×底面半径×底面半径×高÷3，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：8÷2＝4（米） 3.14×4×4×7.5÷3×600 ＝3.14×16×2.5×600 ＝125.6×600 ＝75360（千克） 答：这堆麦子重75360千克。 【考点评析】本题考查的是圆锥的体积公式的应用。 22．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图a），表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图b），表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图c），那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积＝3.14×半径×半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积＝圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）113.04÷4÷3.14＝9（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：3×2＝6（厘米） 96÷4÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3）3.14×3×3×4 ＝3.14×24 ＝75.36（立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 23．（5分）（2024•包河区）“禾下乘凉梦”是已故“杂交水稻之父”袁隆平院士对杂交水稻高产的一个理想追求。某粮食生产集团牢记袁隆平院士嘱托，不断提高粮食产能，端稳“中国饭碗”。 （1）如图是粮食生产集团的粮仓。一个粮仓从里面量得它的底面周长是42米，圆柱部分高5米，圆锥部分高2米。如果每立方米稻谷重600千克，那么这个粮仓最多可装多少千克稻谷？（π取3）约合多少吨稻谷？（结果保留整数） （2）粮食生产集团引进某新型杂交水稻，今年的亩产量是786千克，比去年增加了二成，去年的亩产量是多少千克？ 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，粮仓的容积＝圆柱的体积+圆锥的体积，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，圆锥的体积＝π×底面半径×底面半径×高÷3，结合题中数据计算即可； （2）二成即20%，去年的亩产量＝今年的亩产量÷（1+20%），由此列式计算。 【规范解答】解：（1）42÷3÷2＝7（米） 3×7×7×5+3×7×7×2÷3 ＝735+98 ＝833（立方米） 833×600＝499800（千克） 499800千克＝499.8吨≈500吨 答：这个粮仓最多可装499800千克稻谷？约合500吨稻谷。 （2）二成即20%。 786÷（1+20%） ＝786÷1.2 ＝655（千克） 答：去年的亩产量是655千克。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中数量关系。 24．（5分）（2024•光明区）一个圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.5米，如果把这些沙子铺在长4米，宽2米的长方体沙坑内，可以铺多高？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，利用圆锥的体积＝π×底面半径×底面半径×高÷3，长方体的体积＝长×宽×高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：3.14×2×2×1.5÷3 ＝3.14×2 ＝6.28（立方米） 6.28÷4÷2＝0.785（米） 答：可以铺0.785米。 【考点评析】本题考查的是圆锥、长方体的体积公式的应用。 25．（5分）（2024•襄垣县）2024年为迎接中华人民共和国建国75周年，巢湖公园的园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.5米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【思路点拨】根据圆柱的体积公式，V＝Sh，求出圆柱形沙雕的体积，再根据圆锥的体积公式，VSh，进行变形，即可求出圆锥形沙雕的占地面积。 【规范解答】解：圆柱形沙雕的体积：3.5×1.8＝6.3（立方米） 圆锥形沙雕的占地面积： 6.3×3÷1.5 ＝18.9÷1.5 ＝12.6（平方米） 答：圆锥形沙雕占地面积是12.6平方米。 【考点评析】此题主要考查了圆锥和圆柱的体积公式的实际应用。 26．（5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 【思路点拨】根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：Vπr2h，分别代入数据，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，就是丢掉部分的体积。据此解答。 【规范解答】解：62×3.14×262×3.14×2 ＝36×3.14×236×3.14×2 ＝226.08﹣75.36 ＝150.72（立方厘米） 答：丢掉部分的体积是150.72立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 27．（5分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦!） 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，a+b＝h，利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，圆锥的体积＝π×底面半径×底面半径×高÷3，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为s，高为h，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和＝sa÷3+sb÷3s×（a+b）s×h，图②中圆锥的体积s×h，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 28．（5分）（2024•新密市）（1）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化“思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个 　平　角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是 　高的一半　，面积是 　三角形面积的一半　，这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12cm2，则原来三角形的面积是 　24cm2　。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽去解答； （2）依据题意结合图示可知，把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是高的一半，面积是三角形面积的一半，由此解答本题； （3）①泳池的容积等于长是25米，宽是11米，高是（1.2+1.6）米的长方体的体积的一半； ②依据①结合长方体的体积公式去计算； ③分成5个泳道，需要（5﹣1）个分道线，分道线的长度等于泳池的长度，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是高的一半，面积是三角形面积的一半，原来三角形的面积：12×2＝24（cm2）； （3）①泳池的容积等于长是25米，宽是11米，高是（1.2+1.6）米的长方体的体积的一半； ②25×11×（1.2+1.6）÷2 ＝25×11×2.8÷2 ＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③分道线长度：[25×（5﹣1）]米。 故答案为：平，高的一半，24cm2。 【考点评析】本题考查的是平行四边形的面积公式，三角形与长方形的面积公式，长方体的体积公式的应用。 29．（5分）（2024春•洪泽区期中）加油站师傅向空容器中匀速注油，注油的高度与时间关系如统计图所示．如果空容器下面大圆柱体的底面积是48平方厘米．上面小圆柱体的底面积是多少呢？ 【思路点拨】由图结合题意可知：该容器的下面是一个大圆柱，上面是一个小圆柱，注满下面的大容器用了1分钟，大圆柱的高度是20厘米；注满上面小圆柱用了（2﹣1）分钟，小圆柱的高度是（50﹣20）＝30厘米；因为大圆柱的底面积是48平方厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，可以求出大圆柱中油的体积，进而求出一分钟注入的油的体积，继而求出小圆柱中油的体积，然后除以小圆柱的高即可求出小圆柱的底面积． 【规范解答】解：48×20÷1（1﹣1）÷（50﹣20） ＝96030 ＝480÷30 ＝16（平方厘米） 答：上面小圆柱的底面积是16平方厘米． 【考点评析】此题是一道综合题目，先求出大圆柱中油的体积，然后求出一分钟注入的油的体积，进而求出小圆柱中油的体积，是解答此题的关键；用到的知识点：圆柱的体积计算公式． 30．（5分）（2022春•岷县月考）把一个底面半径为10厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在底面半径是15厘米的圆柱形容器中，水面上升了1.2厘米．这个圆锥形金属铸件的高是多少厘米？ 【思路点拨】根据题干可知，这个圆锥形金属铸件的体积就等于圆柱形容器内水面上升1.2厘米高的水的体积，由此先求出这个金属铸件的体积，再利用圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可解答问题． 【规范解答】解：上升2厘米的水的体积是：V柱＝πr2h＝π×152×1.2＝270π（立方厘米）， 即金属铸件的体积是：V锥＝270π立方厘米， S锥底＝πr2＝π×102＝100π（平方厘米）， 所以金属铸件的高是：270π×3÷100π＝8.1（厘米）， 答：这个圆锥形铸件的高为8.1厘米． 【考点评析】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，抓住上升部分水的体积求出金属铸件的体积是解决本题的关键 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第二单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 1. 圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7. 求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10. 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•汉川市）一个长方形的长是6cm，宽是4cm。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是（　　） A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 2．（2分）（2024•兴隆台区）一个圆锥的底面积是1cm2，体积是30cm3，这个圆锥的高是（　　） A．9dm B．6dm C．3dm D．1dm 3．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（　　） A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．35dm3 4．（2分）（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，（　　）正好倒满。（单位：cm） A． B． C． 5．（2分）（2024•武安市）一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，且它们的体积的比是3：1，则它们高的比是（　　） A．3：1 B．9：1 C．1：1 D．无法比较 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分17分） 6．（2分）（2024•沧州）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，该圆柱的高和底面半径的比是 　 　。 7．（2分）（2024•栾川县）把两个底面直径2dm，高6dm的圆柱熔铸成一个圆锥，这个圆锥的体积是 　 　。 8．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　 　平方厘米，该圆柱的体积是 　 　立方厘米。 9．（2分）（2024•淮安）一个圆柱形茶叶罐侧面贴满商标纸，剪开后得到一个平行四边形（如图），茶叶罐的底面半径是 　 　厘米，体积是 　 　立方厘米。（商标纸的厚度忽略不计） 10．（2分）（2024•临汾）李叔叔用一块长方形铁皮的阴影部分（如图），刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。做成的油桶的底面半径是 　 　厘米，高是 　 　厘米，体积是 　 　立方分米。 11．（2分）（2024•双流区）如图，有一个圆柱形的木桶，底面直径2dm，最长的木板长4dm，最短的木板3dm，这个木桶平放时最多能装 　 　升水。从这个现象中，你懂得了 　 　。 12．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是9cm，它的表面积是 　 　cm2；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　 　cm2；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　 　cm3。 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）把圆柱的侧面沿高展开，得到的是一个　 　形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个　 　形． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　 　（判断对错） 15．（2分）（2024•涿州市）圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的2倍，它的体积也扩大到原来的2倍．　 　（判断对错） 16．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　 　（判断对错） 17．（2分）（2024•新城区模拟）两个圆柱等高，如果它们底面积之比是2：5，那么它们的体积之比是4：25。 　 　（判断对错） 18．（2分）（2024春•凉州区期中）一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，圆柱的侧面积也扩大到原来的2倍。 　 　（判断对错） 四．看图列式，细心计算．（共2小题，满分12分） 19．（6分）（2015春•武功县校级期中）计算下面图形的体积，并求出圆柱的表面积． 20．（6分）（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣（xí）（削）去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？（π取3.14） 五．静心审题，解决问题（共10小题，满分51分） 21．（5分）（2024•蠡县）一个圆锥形麦堆，底面直径是8m，高是7.5m，如果每立方米麦子重600kg，那么这堆麦子重多少千克？ 22．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图a），表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图b），表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图c），那么削去部分的体积是多少？ 23．（5分）（2024•包河区）“禾下乘凉梦”是已故“杂交水稻之父”袁隆平院士对杂交水稻高产的一个理想追求。某粮食生产集团牢记袁隆平院士嘱托，不断提高粮食产能，端稳“中国饭碗”。 （1）如图是粮食生产集团的粮仓。一个粮仓从里面量得它的底面周长是42米，圆柱部分高5米，圆锥部分高2米。如果每立方米稻谷重600千克，那么这个粮仓最多可装多少千克稻谷？（π取3）约合多少吨稻谷？（结果保留整数） （2）粮食生产集团引进某新型杂交水稻，今年的亩产量是786千克，比去年增加了二成，去年的亩产量是多少千克？ 24． （5分）（2024•光明区）一个圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.5米，如果把这些沙子铺在长4米，宽2米的长方体沙坑内，可以铺多高？ 25． （5分）（2024•襄垣县）2024年为迎接中华人民共和国建国75周年，巢湖公园的园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.5米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 26． （5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 27．（5分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦!） 28．（5分）（2024•新密市）（1）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化“思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个 　 　角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是 　 　，面积是 　 　，这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12cm2，则原来三角形的面积是 　 　。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 29．（5分）（2024春•洪泽区期中）加油站师傅向空容器中匀速注油，注油的高度与时间关系如统计图所示．如果空容器下面大圆柱体的底面积是48平方厘米．上面小圆柱体的底面积是多少呢？ 30．（5分）（2022春•岷县月考）把一个底面半径为10厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在底面半径是15厘米的圆柱形容器中，水面上升了1.2厘米．这个圆锥形金属铸件的高是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$