培优 三角函数中的参数问题课件--2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

培优 三角函数中的参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.本节结合最近几年高考考查模式,对求解参数问题进行分类解析. 培 优 求y=asin x+b(或y=acos x+b)型三角函数中的参数a,b的值时,一般利用正弦(余弦)函数的有界性列方程组求解,注意参数a的正负. 类型一 由三角函数的最值(值域)求参数 培 优 已知函数f(x)=msin x+n(m,n∈R)的值域是[-1,3],则实数m=( ) A.2 B.-2 C. 2 D. 1 √ 培 优 培 优 类型二 由三角函数的奇偶性求参数 培 优 √ 培 优 类型三 利用三角函数对称性求参数 培 优 √ 培 优 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系列方程(不等式组)求解. 类型四 根据单调性求参数 培 优 培 优 由三角函数的图象求参数一般涉及A, , : (1)A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定; (2) 可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定; (3) 可由某关键点、线确定. 类型五 由三角函数的图象求参数 培 优 √ 培 优 培 优 √ 培 优 √ 培 优 培 优 培 优 培 优 4.若函数f(x)=|sin x|-1在[0,5 ]上恰好有3个零点,则正实数 的取值范围是_. 培 优 【解析】 当m>0时,由-1≤sin x≤1,得-m+n≤f(x)≤m+n, 因为f(x)的值域为[-1,3], 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-m+n=-1,,m+n=3,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=2,,n=1,)) 当m=0时,显然不符合题意; 当m<0时,由-1≤sin x≤1, 得m+n≤f(x)≤-m+n, 因为f(x)的值域为[-1,3],所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-m+n=3,,m+n=-1,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=-2,,n=1.))故选C. 对于三角函数的奇偶性,常用以下结论解决问题: (1)要使y=Asin( x+ )(A ≠0)为奇函数,需 =k (k∈Z); (2)要使y=Asin( x+ )(A ≠0)为偶函数,需 =k +eq \f( ,2)(k∈Z); (3)要使y=Acos( x+ )(A ≠0)为奇函数,需 =k +eq \f( ,2)(k∈Z); (4)要使y=Acos( x+ )(A ≠0)为偶函数,需 =k (k∈Z). 【解析】 由于函数f(x)=4sin(x+ )(0< < )是偶函数,故 =k +eq \f( ,2),k∈Z.因为0< < ,所以 =eq \f( ,2),则2cos(2 +eq \f( ,3))=2cos( +eq \f( ,3))=-2coseq \f( ,3)=-1.故选B. 已知函数f(x)=4sin(x+ )(0< < )是偶函数,则2cos(2 +eq \f( ,3))=( ) A.-eq \r(3) B.-1 C.1 D.eq \r(3) 对于函数y=sin( x+ ),y=cos( x+ )及y=tan( x+ )的图象的对称问题,应将 x+ 看作一个整体,借助以下三角函数的结论解决问题: (1)正弦函数y=sin x的对称中心为(k ,0)(k∈Z);对称轴为直线x=eq \f( ,2)+k (k∈Z). (2)余弦函数y=cos x的对称中心为(eq \f( ,2)+k ,0)(k∈Z);对称轴为直线x=k (k∈Z). (3)正切函数只有对称中心,没有对称轴,对称中心为(eq \f(k ,2),0)(k∈Z). 【解析】 当x∈[0, ]时, x-eq \f( ,3)∈[-eq \f( ,3), -eq \f( ,3)]( >0),依题意可得eq \f(3 ,2)≤ -eq \f( ,3)<eq \f(5 ,2),解得 ∈[eq \f(11,6),eq \f(17,6)).故选A. 已知函数f(x)=sin( x-eq \f( ,3))( >0)在区间[0, ]上有且仅有两条对称轴,则 的取值范围是( ) A.[eq \f(11,6),eq \f(17,6)) B.(eq \f(17,6),eq \f(23,6)] C.(eq \f(11,6),eq \f(17,6)] D.[eq \f(17,6),eq \f(23,6)) 【解析】 由x∈[-eq \f( ,6),eq \f( ,4)],得2x+ ∈[-eq \f( ,3)+ ,eq \f( ,2)+ ], 又0≤ <2 ,所以eq \f( ,2)≤eq \f( ,2)+ <eq \f(5 ,2), 又函数f(x)在[-eq \f( ,6),eq \f( ,4)]上单调递增, 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f( ,2)+ ≤2 ,,-\f( ,3)+ ≥ ,))解得eq \f( 4 ,3)≤ ≤eq \f(3 ,2),即 的取值范围为[eq \f(4 ,3),eq \f(3 ,2)]. 已知函数f(x)=cos(2x+ )(0≤ <2 )在[-eq \f( ,6),eq \f( ,4)]上单调递增,则 的取值范围为_. [eq \f(4 ,3),eq \f(3 ,2)] 函数f(x)=2sin( x- )( >0,- < < )的部分图象如图所示,则 , 的值分别为( ) A.2,-eq \f( ,6) B.2,-eq \f( ,3) C.2,eq \f( ,3) D.4,-eq \f(5 ,6) 【解析】 设函数f(x)的周期为T,由图象得eq \f(3,4)T=eq \f(5 ,12)-(-eq \f( ,3))=eq \f(3 ,4), 解得T= ,所以 =eq \f(2 ,T)=2, 即f(x)=2sin(2x- ),又由题中图象知,点(eq \f(5 ,12),2)在函数f(x)的图象上,可得f(eq \f(5 ,12))=2sin(eq \f(5 ,6)- )=2, 即sin(eq \f(5 ,6)- )=1,则eq \f(5 ,6)- =2k +eq \f( ,2),k∈Z,解得 =-2k +eq \f( ,3),k∈Z, 又因为- < < ,所以 =eq \f( ,3).故选C. 【尝试训练】 1.已知函数f(x)=sin( x-eq \f( ,3))( >0,x∈[0, ])的值域为[-eq \f(\r(3),2),1],则 的取值范围是( ) A.[eq \f(1,3),eq \f(5,3)] B.[eq \f(5,6),1] C.[eq \f(5,6),eq \f(5,3)] D.[1,eq \f(5,3)] 解析:因为x∈[0, ],可得 x-eq \f( ,3)∈[-eq \f( ,3), -eq \f( ,3)],因为函数f(x)=sin( x-eq \f( ,3))的值域为[-eq \f(\r(3),2),1],所以 -eq \f( ,3)∈[eq \f( ,2),eq \f(4 ,3)],解得 ∈[eq \f(5,6),eq \f(5,3)].故选C. 2.已知函数f(x)=cos( x+ )( >0,0< < )为奇函数,且在[-eq \f( ,6),eq \f(3 ,4)]上单调递减,则 的取值范围是( ) A.(0,eq \f(1,2)) B.[eq \f(1,2),1) C.(0,eq \f(2,3)] D.[eq \f(2,3),1) 解析:因为f(x)为奇函数,0< < ,所以 =eq \f( ,2),所以f(x)=cos( x+eq \f( ,2))= -sin x. 令t= x,x∈[-eq \f( ,6),eq \f(3 ,4)], >0, 则t∈[-eq \f( ,6),eq \f(3 ,4)], 因为f(x)在[-eq \f( ,6),eq \f(3 ,4)]上单调递减,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f( ,6)≥-\f( ,2),,\f(3 ,4)≤\f( ,2),))解得0< ≤eq \f(2,3).故选C. 解析:由题知eq \f(T,2)=eq \f( ,3),则T=eq \f(2 ,3), =eq \f(2 ,\f(2 ,3))=3,所以f(x)=2sin(3x+ ), 又函数图象关于点(eq \f(5 ,18),0)对称, 3.已知函数f(x)=2sin( x+ )( >0,-eq \f( ,2)< <eq \f( ,2))图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f( ,3),且关于点(eq \f(5 ,18),0)对称,则 的值为_. eq \f( ,6) 所以2sin(eq \f(5 ,6)+ )=0, 则eq \f(5 ,6)+ =k ,k∈Z,即 =k -eq \f(5 ,6),k∈Z, 因为-eq \f( ,2)< <eq \f( ,2),所以 =eq \f( ,6). 解析:令|sin x|-1=0得sin x= 1, 因为函数f(x)=|sin x|-1在[0,5 ]上恰好有3个零点, 所以函数y=sin x在[0,5 ]上恰有3条对称轴, 当0≤x≤5 时,0≤ x≤5 , 设t= x,则函数y=sin t在[0,5 ]上恰有3条对称轴,如图: 则eq \f(5 ,2)≤5 <eq \f(7 ,2),解得eq \f(1,2)≤ <eq \f(7,10). [eq \f(1,2),eq \f(7,10)) $$