第3单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破-2024-2025学年数学六年级下册人教版

第3单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破 知识梳理 圆柱的认识 1.圆柱是由3个面围成的立体图形。圆柱的上下两个面是完全相同的两个圆，也就是圆柱的底面。除过底面也就是圆柱周围的面是一个曲面，这个曲面叫做圆柱的侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条。 2. 沿着圆柱侧面的一条高展开可以得到一个长方形或者正方形。 3. 圆柱侧面展开后的长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 圆柱的表面积 1、圆柱的表面积指的是围成圆柱三个面的总面积。即圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面积 2、圆柱的表面积计算公式的推导 圆柱的表面积=侧面积+底面积X2 =长方形的面积+圆的面积X2 =长X宽+圆的面积X2 =底面周长X高+圆的面积X2 =圆的周长X高+圆的面积X2 =(πd)Xh+πX2 =πdh+2 =2πrh+2π 圆柱的体积 1. 把圆柱切拼成一个近似长方体，这时长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。 2. 因为：长方体的体积=底面积X高，所以，圆柱的体积=底面积X高，用字母表示为V=sh或者V=πh 圆锥的认识 1.圆锥是由2个面围成的立体图形。一个圆面也就是圆锥的底面，一个曲面也就是圆柱的侧面。从圆锥底面圆心到顶点之间的距离是圆锥的高，圆锥的高只有一条。 2.沿着圆锥顶点到底面周长上一点的线段剪开侧面可以得到一个扇形。 圆锥的体积 1.通过实验：用一个圆锥形容器装满细沙倒进和它等底等高的一个圆柱形容器里，正好倒三次装满圆柱形容器。 2.实验结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍（或者说等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的） 所以，圆锥的体积=圆柱的体积X，用字母表示为：V=sh或者V=πh 圆柱和圆锥的相关结论 1.体积相等，高也相等的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 2.体积相等，底面积也相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。 求不规则物体体积的方法 1. 排水法 2. 转换法 例题剖析 例题一：圆柱和圆锥的认识 1．在下面图形中，以木棒为轴旋转，可以得到圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的上下两个底面是平行且垂直于高，则旋转的图形上下两边也要是平行的，且要垂直于木棒轴，据此可得出答案。 【详解】A．通过旋转，不会得到一个圆柱； B．通过旋转，不会得到一个圆柱； C．通过旋转，不会得到一个圆柱； D．根据圆柱特征，旋转的图形上下两条线相互平行且垂直于木棒，则第四个选项符合题意，旋转后能得到圆柱。 故答案为：D 2．下面图（    ）是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱展开图的特征可知，圆柱的两个底面是完全相同的两个圆，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。先根据圆的周长公式：周长＝π×直径，求出圆柱的底面周长，再与侧面展开图的长进行比较即可得解。 【详解】 A．，只有一个底面，不是圆柱的展开图，不符合题意； B．，3.14×4＝12.56（cm） 12.56≠4，不是圆柱的展开图，不符合题意； C．，3.14×3＝9.42（cm） 9.42＝9.42，是圆柱的展开图，符合题意； D．，3.14×3×2＝18.84（cm） 18.84≠9.42，不是圆柱的展开图，不符合题意。 是圆柱的展开图。 故答案为：C 3．如图是从不同方向看某个立体图形得到的图形，则这个立体图形是（    ）。 A．正方体 B．圆柱体 C．球体 D．圆锥体 【答案】B 【分析】分别确定正方体、圆柱、球和圆锥从正面、左面、上面看到的形状，选出符合的即可。 【详解】A．正方形的各个面都是正方形，不符合； B．圆柱从正面、侧面看是长方形，从上面看是圆，符合； C．球从任何面看都是圆，不符合； D．圆锥从正面、侧面看是等腰三角形，从上面看是圆，不符合。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉立体图形的特征，具有一定的空间想象能力。 例题二：无盖型圆柱表面积 1．一个没有盖的圆柱形铁皮水桶，高是12分米，底面直径是高的。做这个水桶大约用铁皮多少平方分米？（得数保留整数） 【答案】403平方分米 【分析】做这个水桶大约用铁皮多少平方分米就是去求它的表面积，注意水桶没有盖，也就是只要求它的侧面面积与底面面积的和即可。先求底面半径，再求底面面积和侧面面积。据此解答。题目要求得数保留整数，在求制作物体所用材料时，为保证材料够用，要用“进一法”取近似值。 【详解】底面直径：12×＝9（分米） 侧面积： 9×3.14×12 ＝28.26×12 ＝339.12（平方分米） 表面积：3.14×（9÷2）2＋339.12 ＝3.14×20.25＋339.12 ＝63.585＋339.12 ＝402.705 ≈403（平方分米） 答：做这个水桶大约用铁皮403平方分米。 2．圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是40厘米。做这样的一个水桶要用铁皮多少平方分米？（得数保留整平方分米） 【答案】44平方分米 【分析】求做水桶需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形无盖铁皮水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】40厘米＝4分米 3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2.5 ＝3.14×22＋12.56×2.5 ＝3.14×4＋31.4 ＝12.56＋31.4 ＝43.96（平方分米） ≈44（平方分米） 答：做这样的一个水桶要用铁皮44平方分米。 3．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径是20厘米，高是30厘米，制作做这个水桶需要多少铁皮？ 【答案】5024平方厘米 【分析】根据题意，制作做这个水桶需要的铁皮面积＝圆柱体的侧面积＋底部面积，圆柱的侧面积＝2πrh，底面积＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：制作做这个水桶需要5024平方厘米铁皮。 例题三：粉刷型圆柱表面积 1．一个圆柱形蓄水池的底面直径是4米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？ 【答案】千克 【分析】将这个蓄水池四周及底部抹上水泥，则抹水泥的面积＝侧面积＋1个底面的面积＝得出需要水泥的面积。每平方米要用水泥20千克，则需要水泥的千克数＝需要水泥的面积×20。 【详解】4÷2＝2（米） （平方米） 62.8×20＝1256（千克） 答：一共要用1256千克水泥。 2．孔庙大成殿前檐有10根石雕龙柱，高6米，直径0.8米。如果要粉刷这些石雕龙柱，需要粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】150.72平方米 【分析】由题意可知，求涂油漆的面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此进行计算即可。 【详解】3.14×6×0.8×10 ＝18.84×0.8×10 ＝15.072×10 ＝150.72（平方米） 答：需要粉刷的面积是150.72平方米。 3．乡村振兴工作队要在和平村修建一个圆柱体沼气池。底面直径是4米，深2米，要在沼气池的侧面与下底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】37.68平方米 【分析】由题意可知，计算抹水泥部分的面积就是求圆柱的侧面积与一个底面积的和，利用“”求出需要抹水泥部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×4×2＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4×2＋3.14×4 ＝12.56×2＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（平方米） 答：抹水泥部分的面积是37.68平方米。 【点睛】本题主要考查圆柱表面积公式的应用，明确需要计算圆柱哪些面的面积是解答题目的关键。 例题四：不规则圆柱表面积 1．一个蔬菜大棚，它的长为30米，横截面是半径为2米的半圆（如图）。大棚用塑料薄膜覆盖（两端封闭），制作这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【答案】200.96平方米 【分析】观察图形可知，大棚需要的塑料薄膜的面积等于半径为2米，高为30米的圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积的一半，据此进行计算即可。 【详解】3.14×22＋3.14×（2×2）×30÷2 ＝3.14×4＋3.14×（2×2）×30÷2 ＝12.56＋3.14×4×30÷2 ＝12.56＋188.4 ＝200.96（平方米） 答：制作这个大棚至少需要塑料薄膜200.96平方米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积，明确塑料薄膜的构成是解题的关键。 2．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长20米，横截面是一个半径为2米的半圆形。 （1）这个大棚的占地面积是多少平方米？ （2）覆盖这个大棚的薄膜约有多少平方米？ 【答案】（1）80平方米 （2）138.16平方米 【分析】（1）求这个大棚的占地面积，就是求长是20米，宽等于圆的直径的长方形面积，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 （2）求覆盖这个大棚需要薄膜的面积，就是求底面半径2米，高是20米的圆柱的表面积的一半；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】（1）20×（2×2） ＝20×4 ＝80（平方米） 答：这个大棚的占地面积是80平方米。 （2）（3.14×22×2＋3.14×2×2×20）÷2 ＝（3.14×4×2＋6.28×2×20）÷2 ＝（12.56×2＋12.56×20）÷2 ＝（25.12＋251.2）÷2 ＝276.32÷2 ＝138.16（平方米） 答：覆盖这个大棚的薄膜约有138.16平方米。 3．做一顶布帽子，上面是圆柱形，帽檐部分是一个圆环。做这顶帽子，最少要用多少布？ 【答案】1884平方厘米 【分析】根据题意，做一顶布帽子，实际是需要求表面积，表面积＝圆形面积＋圆环面积＋圆柱侧面积，圆形面积＝πr2，圆环面积＝大圆面积－小圆面积（大圆面积＝π大圆半径2），圆柱侧面积＝圆柱高×底面圆周长，将数值代入计算即可。 【详解】圆形的面积： 圆的半径：20÷2＝10（厘米） 圆形面积＝πr2＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆环面积： 大圆半径： 20÷2＋10 ＝10＋10 ＝20（厘米） 大圆面积＝πr2＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 圆环面积＝大圆面积－小圆面积 ＝1256－314 ＝942（平方厘米） 圆柱侧面积：S＝底面周长×高＝πd×10 ＝3.14×20×10 ＝62.8×10 ＝628（平方厘米） 布料面积＝圆形面积＋圆环面积＋圆柱侧面积 ＝314＋942＋628 ＝1256＋628 ＝1884（平方厘米） 答：最少要用1884平方厘米布。 例题五：管道与压路机问题 1．某小区准备在楼房外安装一种圆柱体的铁皮漏水管以便于雨季排水。这种漏水管的长是36米，底面是直径为1分米的圆形。制作这样的漏水管20个至少需要多少平方米的铁皮？（得数保留整数） 【答案】226平方米 【分析】制作一个漏水管需要的铁皮面积是圆柱的侧面积。圆柱侧面积＝底面周长×高，由此求出做一个需要多少的铁皮，再将其乘20，求出做20个至少需要多少平方米的铁皮。 【详解】1分米＝0.1米 3.14×0.1×36×20 ＝11.304×20 ≈226（平方米） 答：制作这样的漏水管20个至少需要226平方米的铁皮。 2．一节用铁皮卷成的圆柱形烟囱长3米，管口直径是40厘米，做这个烟囱至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】3.768平方米 【分析】 根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”进行计算，烟囱的长就是圆柱的高，管口直径是圆柱的底面直径，根据“圆周长C＝πd”可求出底面周长，注意单位要换算。 【详解】 40厘米＝0.4米 3.14×0.4×3 ＝1.256×3 ＝3.768（平方米） 答：做这个烟囱至少需要铁皮3.768平方米。 【点睛】 此题主要考查圆柱侧面积的计算方法，注意烟囱是无底的圆柱形。 3．压路机的滚筒是一个圆柱体，横截面的半径是0.5米，长是1.6米。如果这个压路机以每分钟转动12周的速度前进，每分钟能压路面多少平方米？（得数保留一位小数） 【答案】60.3平方米 【分析】压路机的滚筒转动一周压路的面积等于圆柱的侧面积，利用“”表示出滚筒转动一周压路的面积，最后乘每分钟滚筒转动的周数，据此解答。 【详解】2×3.14×0.5×1.6×12 ＝6.28×0.5×1.6×12 ＝3.14×1.6×12 ＝5.024×12 ≈60.3（平方米） 答：每分钟能压路面60.3平方米。 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 例题六：圆柱的体积应用 1．某山区严重缺水，为保障村小学的生活用水，扶贫队修建了一个圆柱形蓄水池，水池的底面半径为10米，池深2.5米，修建这个蓄水池能装多少立方米水？ 【答案】785立方米 【分析】已知圆柱形蓄水池的底面半径为10米，池深2.5米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求出这个蓄水池能装水的体积。 【详解】3.14×102×2.5 ＝3.14×100×2.5 ＝785（立方米） 答：修建这个蓄水池能装785立方米水。 2．万老师有一个茶杯（如图），茶杯的中部有一条装饰带，这条装饰带宽6厘米。 （1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）113.04平方厘米 （2）423.9立方厘米 【分析】（1）求茶杯中部装饰带的面积，就是求底面直径为6厘米、高为6厘米的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，这个茶杯是一个底面直径为6厘米、高为15厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个茶杯的体积。 【详解】（1）3.14×6×6＝113.04（平方厘米） 答：这条装饰带的面积是113.04平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 答：这个茶杯的体积是423.9立方厘米。 3．一个圆柱形蓄水池底面内直径是2米，深2米，在池的内壁与底面抹上水泥。 （1）抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）池内可蓄水多少立方米？ 【答案】（1）15.7平方米； （2）6.28立方米 【分析】（1）要在圆柱形蓄水池的内壁与底面抹上水泥，即抹水泥的是圆柱的侧面和一个底面，那么抹水泥部分的面积＝圆柱的侧面积＋底面积，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）求池内可蓄水的体积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2 ＝12.56＋3.14×12 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方米） 答：抹水泥部分的面积是15.7平方米。 （2）3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方米） 答：池内可蓄水6.28立方米。 例题七：求水瓶体积 1．爸爸买了一瓶葡萄酒，喝了一些后，芸芸量了量剩下葡萄酒的高度是7厘米，她把瓶盖拧紧倒置放平，又量得无酒部分的高度是18厘米，已知葡萄酒瓶的内直径是8厘米。芸芸算出这个葡萄酒瓶的容积是多少毫升？ 【答案】1256毫升 【分析】无论是正放还是倒放，瓶子里酒的体积不变，因此瓶子的容积相当于底面直径是8厘米，高是（7＋18）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】 （立方厘米） 1256立方厘米＝1256毫升 答：这个葡萄酒瓶的容积是1256毫升。 2．有一种饮料瓶容积是300毫升，现在瓶中装有一些饮料，正放和倒放时情况如图，瓶内现有饮料多少毫升？ 【答案】84毫升 【分析】如题中图所示，左图中7厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面18厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的，再用饮料瓶容积乘饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的分率即可解答。 【详解】 （毫升） 答：瓶内现有饮料84毫升。 3．如图是一个饮料瓶的示意图，饮料瓶的容积是1250毫升，里面装有一些饮料。将这个饮料瓶正放时，饮料的高度是20厘米，倒放时，空余部分的高度是5厘米，瓶内的饮料是多少毫升？ 【答案】1000毫升 【分析】 无论是正放还是倒放，瓶子的容积、饮料的体积、无饮料部分的体积都是不会改变的。因此，瓶子正放时饮料的体积加上瓶子倒放时无饮料部分的体积，就等于瓶子的容积； 用饮料瓶的容积除以有饮料的高度加上无饮料的高度和，就等于该饮料瓶的底面积，再用该底面积乘正放时饮料的高度，即为饮料的体积；由体积单位立方厘米可以直接转化成毫升单位，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 1250÷（20＋5）×20 ＝1250÷25×20 ＝50×20 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升 答：瓶内的饮料是1000毫升。 例题八：水中浸物 1．一个装水的圆柱形容器的底面内直径是10厘米，一个铁块完全浸没在这个容器的水中，将铁块取出后，水面下降2厘米。这个铁块的体积是多少？ 【答案】157立方厘米 【分析】只要求出下降水的体积就是这个铁块的体积，由题可知道圆柱的底面直径是10厘米，下降的水深是2厘米，运用圆柱的体积公式：V＝πr2h解答出来即可。 【详解】3.14×（10÷2）2×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 答：这个铁块的体积是157立方厘米。 2．孙楠利用两种方法测量石块的体积（如下图）： （1）这两种方法有什么相同和不同的地方？想一想，写一写。 （2）选择你喜欢的一种方法计算这块石块的体积。 【答案】（1）见详解 （2）96立方厘米 【分析】（1）根据图示可知，两种方法都用到了转化思想。第一种将石块的体积转化成上升的水的体积，第二种方法是将石块的体积转化成减少的长方体的体积； （2）方法不唯一，如选择第二种，用带有石块的长方体的体积减去取出石块后的体积，它们的差即为石块的体积。 【详解】（1）相同点：通过转化，将不规则物体体积转化成规则物体体积来计算体积 不同点：一个利用圆柱体积公式，另一个利用长方体体积公式 （2）8×4×6－8×2×6 ＝192－96 ＝96（立方厘米） 答：石块的体积是96立方厘米。 3．一个圆柱形水杯的底面半径是4厘米，先向杯里注入高度为6厘米的水，然后向里面放进4个小铁球，小铁球沉没水中后水面上升到8厘米。一个小铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】由题意可知：4个小铁球的体积就等于上升部分的水的体积，于是可以利用圆柱的体积＝底面积×高，求出升高部分的水的体积，从而除以4求出一个小铁球的体积。 【详解】3.14×42×（8－6）÷4 ＝3.14×16×2÷4 ＝100.48÷4 ＝25.12（立方厘米） 答：一个小铁球的体积是25.12立方厘米。 【点睛】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 例题九：圆锥的体积 1．2024年各地加强小区改建，某小区准备修建一个底面直径是20米，高0.3米的圆柱形花坛。（花坛壁的厚度忽略不计） （1）如果想在花坛内种上花，需要多少立方米的土才能填满这个花坛？ （2）现在有一个圆锥形的土堆，土堆的底面周长是31.4米，高3米。这堆土能否填满这个花坛？ 【答案】（1）94.2立方米 （2）不能 【分析】据题意可知，花坛是个圆柱体。 （1）求填满花坛的土的立方米数，就是求圆柱的体积，根据，又知，代入数据计算即可。 （2）根据，求出半径，再根据，代入数据求出圆锥的体积，最后与圆柱的体积进行比较，即可得解。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2×0.3 ＝3.14×102×0.3 ＝3.14×100×0.3 ＝94.2（立方米） 答：需要94.2立方米的土才能填满这个花坛。 （2）×3.14×（31.4÷3.14÷2）2×3 ＝×3.14×52×3 ＝×3.14×25×3 ＝78.5（立方米） 78.5＜94.2 答：这堆土不能填满这个花坛。 2．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 【答案】122.46立方厘米 【分析】由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 3．华华一家到柴火鸡吃饭，鸡在铁锅里炖上，服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说：“给您计时，沙漏漏完鸡才可以吃。”华华发现这是一个上下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均为10厘米，高均为6厘米。沙漏上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么从计时开始多少分钟后华华一家才可以开始吃鸡？ 【答案】15.7分钟 【分析】根据圆锥体积＝×底面积×高，求出沙子体积，沙子体积÷每分钟漏掉的体积＝需要的时间，据此列式解答。 【详解】底面半径：10÷2＝5（厘米） ×3.14××6   ＝×3.14×25×6   ＝157（立方厘米）   157÷10＝15.7（分钟） 答：从计时开始15.7分钟后才可以开始吃鸡。 例题十：圆柱与圆锥综合 1．下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的（    ）倍。并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少（    ）立方厘米。 【答案】（1）3；理由见详解 （2）150.72 【分析】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积与圆锥体积的关系，进行解答。 （2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，就是求底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱的体积；根据圆柱体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。 【详解】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 （2）3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝50.24×3 ＝150.72（立方厘米） 图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。 2．明明在假期里计划动手制作一个污水过滤器进行污水过滤实验。过滤器如下图所示，实验时将污水倒入上方近似圆锥形的容器中，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器。 （1）这个近似圆锥形的容器一次最多大约能装多少毫升的污水？ （2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米（不考虑过滤掉的杂质体积）？ 【答案】（1）565.2毫升；（2）1.8厘米 【分析】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是12厘米，高15厘米的圆锥的体积，利用圆锥的体积＝πr2h求解即可。 （2）圆柱的体积＝底面积×高，污水的体积÷原住地面积即可求出水的高度。据此解答即可。 【详解】（1）3.14×（12÷2）2×15× ＝3.14×62×15× ＝3.14×36×15× ＝113.04×15× ＝1695.6× ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝565.2毫升 答：这个近似圆锥形的容器一次最多大约能装565.2毫升的污水。 （2）565.2÷[3.14×（20÷2）2] ＝565.2÷[3.14×100] ＝565.2÷314 ＝1.8（厘米） 答：圆柱形容器中水的高度大约是1.8厘米。 3．一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：dm，玻璃厚度忽略不计）。 （1）容器的占地面积是多少平方分米？ （2）容器中水的体积是多少立方分米？ （3）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少分米？ 【答案】（1）63.585平方分米 （2）381.51立方分米 （3）10分米 【分析】（1）求容器占地面积，就是求这个容器的底面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）容器中的水的体积，就是底面直径是9分米，高是6分米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 （3）根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥部分水的体积，由于水的体积不变，再用原来水的体积－圆锥部分的体积，求出圆柱部分水的体积，再根据高＝圆柱的体积÷圆柱的底面积，代入数据，求出圆柱部分水的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【详解】（1）3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方分米） 答：容器的占地面积是63.585平方分米。 （2）63.585×6＝381.51（立方分米） 答：容器中水的体积是381.51立方分米。 （3）（381.51－63.585×6×）÷63.585 ＝（381.51－381.51×）÷63.585 ＝（381.51－127.17）÷63.585 ＝254.34÷63.585 ＝4（分米） 4＋6＝10（分米） 答：水面到圆锥顶点的高度是10分米。 考点突破 一、选择题 1．下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 2．下面4个图形的面积都是36平方分米，用这些图形分别卷成圆柱，实验后发现：“侧面积相同时，底面半径越大，体积越大。”所以，图形（    ）可以卷成体积最大的圆柱。 A． B． C． D． 3．一个圆锥的体积是30立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．90 B．60 C．30 D．10 4．下图这些数学问题中运用“转化”策略的有（    ）。 三角形面积公式推导            小数乘法           圆柱的体积公式推导 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 5．一个圆锥和一个圆柱，底面周长的比是3∶2，体积的比是6∶5，则圆锥和圆柱的高的最简整数比是（    ）。 A．8∶5 B．12∶5 C．5∶12 D．5∶8 6．《九章算术》中记载圆柱的体积计算方法是“周自乘，以高乘之，十二而一”，也就是“底面周长的平方乘高，再除以12”。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过圆周率的近似值为3。一个圆柱体水桶底面周长为4分米，高为6分米。请用这种方法算出这个水桶最多可盛水 （    ）升。（水桶的厚度忽略不计） A．4 B．6 C．8 D．12 二、填空题 7．一个半径3cm，高10cm圆柱的展开图如图所示，这个圆柱的侧面展开图的长是( )cm，宽是( )cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 8．田里有一个麦堆，其形状近似于直径2m，高1.5m的圆锥。麦堆的体积大约是( )m3。如果每立方米麦子大约重0.8t，这堆麦子大约重( )t。 9．将一块棱长为6cm的正方体铁块放入一个底面直径8cm、高10cm、水深7cm的圆柱形容器中，水溢出( )cm3。 10．如图，一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 11．一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去( )mL水。 12．如下图所示，饮料罐口的面积和锥形酒杯口的面积相等它们的高度也相等，将满罐的饮料倒入锥形杯中，大约能倒满( )杯。 三、判断题 13．把一个圆柱沿底面直径切成两部分后，体积和表面积都不变。( ) 14．正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，它们三者的体积也相等。( ) 15．要计算一个圆柱形玻璃鱼缸所用的材料多少，是求这个圆柱的底面积。( ) 16．圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱与圆锥可能等底等高。( ) 17．一个圆锥的体积是90立方厘米，底面积是15平方厘米，它的高是6厘米。( ) 四、计算题 18．求体积。（单位：厘米） 19．计算下面立体图形的体积和表面积。（单位：dm） 20．求如图所示图形的体积。（单位：cm） 五、解答题 21．一堆沙子堆成了圆锥形，高2米，底面周长25.12米，已知每立方米沙子2.4吨，这堆沙子大约重多少吨？ 22．今年的5月12日是母亲节，小芳为妈妈亲手制作了一个蛋糕作为母亲节礼物，她用丝带捆扎圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结共用去的丝带长15厘米。 （1）捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带多少厘米？ （2）小芳在蛋糕盒的整个侧面绘制了祝福图案，她绘制图案的面积是多少平方厘米？ 23．用一张长方形铁皮（如下图），剪出一个底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （2）这个水桶最多能装水多少升（铁皮的厚度忽略不计）？ 24．一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 （1）这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米？ （2）这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？（π＝3.14） 25．王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化大致如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸（    ）分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破》参考答案 1．B 【分析】A．长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱。 B．一个直角三角形，以它的一条直角边为轴，旋转一周，它的一面就是一个以另一条直角边为半径的一个圆面，直角三角形的斜边形成一个曲斜面，由于直角三角形的另一点在轴上，旋转后还是一点，这个直角三角形就形成一个圆锥。 C．一个梯形绕着它的一条轴旋转一周，会形成一个由两个圆锥底面相对组合，中间为一个圆台的组合体，不能形成圆锥。 D． 等腰三角形以它的底为轴，旋转一周，形成的是两个圆锥的组合体。 【详解】由分析得： 旋转就会形成圆锥。 故答案为：B 2．A 【分析】要比较哪个图形卷成的圆柱体积最大，需要先根据图形的边长求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积计算公式：V＝s×h＝πr2h计算体积，然后再比较体积大小。 【详解】A．A图形的长是18分米，宽是2分米。 卷成圆柱时，底面周长是18分米，底面半径为：18÷2÷π＝9÷π（分米），高是2分米。 体积为：π×（9÷π）2×2＝162÷π（立方分米） B．B图形的长是12分米，宽是3分米。 卷成圆柱时，底面周长是12分米，底面半径为：12÷2÷π＝6÷π（分米），高是 3分米。 体积为：π×（6÷π）2×3＝108÷π（立方分米） C．C 图形的长是9分米，宽是4分米。 卷成圆柱时，底面周长是9分米，底面半径为：9÷2÷π＝4.5÷π （分米），高是4分米。 体积为：π×（4.5÷π）2×4＝81÷π（立方分米） D．D图形假设 D 图形的长是6分米，宽是6分米。 卷成圆柱时，底面周长是 6 分米，底面半径为：6÷2÷π＝3÷π（分米），高是 6 分米。 体积为：π×（3÷π）2×6＝54÷π（立方分米） 对比4个图形体积：162÷π＞108÷π＞81÷π＞54÷π，A图形卷成的圆柱体积最大。 故答案为：A 3．A 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍。将圆锥体积乘3，求出与它等底等高的圆柱的体积。 【详解】30×3＝90（立方厘米） 所以，与它等底等高的圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：A 4．A 【分析】①根据三角形面积公式的推导过程，把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，所以每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半； ②小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积（把小数转化为整数）﹔（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ③将圆柱平分为无数份时，就能拼成一个近似的长方体（把圆柱转化为长方体），圆柱的体积等于长方体的体积，长方体的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高；据此解答。 【详解】①把三角形转化为平行四边形； ②把小数转化为整数； ③把圆柱转化为长方体； 所以①②③都运用了转化策略。 故答案为：A 5．A 【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，再根据圆柱的体积公式V＝Sh＝πh与圆锥的体积公式V＝Sh＝πh，得出圆柱的高与圆锥的高；根据题意用圆锥的高比圆柱的高即可。 【详解】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。 5÷（×） ＝5÷（4） ＝ 6×3÷（×） ＝18÷（9） ＝ ＝（）∶（） ＝8∶5 故答案为：A 【点睛】此题主要是考查圆柱与圆锥的关系，根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式的推导出圆柱与圆锥的高的关系是解答本题的关键。 6．C 【分析】由题意可知：圆柱的体积＝底面周长2×高÷12，将底面周长4分米，高6分米代入计算即可。 【详解】 （立方分米） ＝8（升） 所以用这种方法算出这个水桶最多可盛水8升。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握题中圆柱体积的计算方法。 7． 18.84 10 188.4 244.92 282.6 【分析】圆柱的侧面展开图的长就是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，根据，，圆柱体积公式，代入数据计算即可得解。 【详解】底面周长：2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） 侧面积：18.84×10＝188.4（cm2） 表面积：3.14×3×3×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（cm2） 体积：3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 这个圆柱的侧面展开图的长是18.84cm，宽是10cm，这个圆柱的侧面积是188.4cm2，表面积是244.92cm2，体积是282.6cm3。 8． 1.57 1.256 【分析】麦堆的形状近似一个圆锥，圆锥的体积V＝πr2h，代入数据，计算出圆锥的体积，麦子的重量＝每立方米麦子的重量×麦堆的体积，据此解答。 【详解】×3.14×（2÷2）2×1.5 ＝×3.14×1×1.5 ＝3.14×1×（×1.5） ＝3.14×0.5 ＝1.57（m3） 1.57×0.8＝1.256（t） 麦堆的体积大约是1.57m3，这堆麦子大约重1.256t。 9．65.28 【分析】根据题意可知，把这个正方体铁块放入装有水的圆柱形容器中，溢出水的体积等于这个正方体铁块的体积减去圆柱形容器中无水部分的体积，根据正方体的体积公式，圆柱体积公式，底面半径＝底面直径÷2，代入数据计算即可。 【详解】63－3.14×（8÷2）2×（10－7） ＝216－3.14×42×3 ＝216－3.14×16×3 ＝216－150.72 ＝65.28（cm3） 因此，水溢出65.28cm3。 10． 6.28 2 20 【分析】把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；根据圆的底面周长公式：C＝πd，代入数据再除以2，即可求出长方体的长；用底面直径除以2，即可求出长方体的宽；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个左右面的面积，用宽×高×2即可。 【详解】长：3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（分米） 宽：4÷2＝2（分米） 这个长方体的长是6.28分米，宽是2分米； 2×5×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 表面积比原来增加了20平方分米。 11．282.6 【分析】如右图所示，喝去的水也形成一个圆柱体，底面直径为6cm，高为30－20＝10cm。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出体积，再根据“1cm3＝1mL”换算单位即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×（30－20） ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 282.6cm3＝282.6mL 喝去282.6mL水。 12．6 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此可知，半罐可以倒3杯，一罐可以倒6杯。 【详解】3×2＝6（杯） 大约能倒满6杯。 13．× 【分析】物体所占空间的大小就是体积；把一个圆柱沿底面直径切成两部分后，所占空间的大小没变，所以体积没有发生改变；切成两部分后，表面积比原来增加两个长方形的面积（该长方形的长相当于圆柱的高，长方形的宽相当于圆柱的底面直径），据此判断即可。 【详解】由分析可知： 把一个圆柱沿底面直径切成两部分后，体积不变，但表面积发生了改变。原题干说法错误。 故答案为：× 14．× 【分析】根据正方体体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；等底等高的长方体和圆柱的体积相等，圆锥的体积要小；所以正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，它们三者的体积不相等；据此解答。 【详解】根据分析可知，正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，它们三者的体积不相等。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握正方体体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。 15．× 【分析】圆柱的表面积是指圆柱的侧面积和两个底面面积之和，求制作一个圆柱所用材料的面积即为求表面积，据此可得出答案。 【详解】要计算一个圆柱形玻璃鱼缸所用的材料多少，是求这个圆柱形玻璃鱼缸的表面积。 故答案为：× 【点睛】本题解题的关键是熟练掌握圆柱的表面积、底面积的辨析认识，进而得出答案。 16．√ 【分析】根据等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系，虽然圆锥的体积是它等底等高的圆柱体积的，但是圆锥的体积是圆柱体积的时，圆柱和圆锥的体积不一定是等底等高；如：一个圆锥的底面积是4平方厘米，高是6厘米，体积是：4×6×＝8（立方厘米）；一个圆柱的底面积是8平方厘米，高是3厘米，体积是：8×3＝24（立方厘米），所以圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱与圆锥可能等底等高，也可能不是等底等高，据此解答。 【详解】根据分析可知，圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱与圆锥可能等底等高。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系是解答本题的关键。 17．× 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此用90乘3再除以15即可求出圆锥的高。 【详解】90×3÷15 ＝270÷15 ＝18（厘米） 则它的高是18厘米。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查圆锥的体积，灵活运用圆锥的体积公式是解题的关键。 18．150.72立方厘米 【分析】根据圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 圆锥的体积是150.72立方厘米。 19．282.6dm3；244.92dm2 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（dm3） 3.14×32×2＋2×3.14×3×10 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（dm2） 圆柱的体积是282.6dm3，表面积是244.92dm2。 20．536.94 cm³ 【分析】根据图示，图形的体积等于两个圆锥的体积加圆柱的体积，圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥和圆柱的底面半径为（6÷2），圆锥的高为6，圆柱的高为15，代入数据计算即可。 【详解】×3.14×（6÷2）2×6×2＋3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×36＋3.14×135 ＝113.04＋423.9 ＝536.94（cm³） 21．吨 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，知道r＝C÷π÷2，求出圆锥的底面半径；而要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，再用沙堆的体积乘2.4得到这堆沙子的重量。 【详解】 （米） （吨） 答：这堆沙子大约重80.384吨。 22．（1）255厘米 （2）2512平方厘米 【分析】（1）看图，丝带长包括4条底面直径、4条高和打结处的长度，将这三部分的长度相加求出捆扎这个蛋糕盒至少用去多少厘米丝带。 （2）求绘制图案的面积是多少平方厘米，就是求圆柱形蛋糕盒的侧面积，根据“圆柱的侧面积＝πdh”解答即可。 【详解】（1）40×4＋20×4＋15 ＝160＋80＋15 ＝240＋15 ＝255（厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带255厘米。 （2）3.14×40×20 ＝125.6×20 ＝2512（平方厘米） 答：她绘制图案的面积是2512平方厘米。 23．（1）4；4；（2）50.24升。 【分析】（1）在一张长方形铁皮剪出一个底面和侧面，所以底面圆的直径最大只能等于长方形的宽，即4分米。此时圆的周长：4×3.14＝12.56分米，长方形剩余的长：17－4＝13分米，13＞12.56，将剩余的长方形卷起来后足够作为侧面，所以水桶的高为4分米。 （2）根据公式：半径＝直径÷2，底面积＝圆周率×半径的平方，圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，再进行单位换算，即可求出这个水桶最多能装水多少升，据此解答。 【详解】（1）由分析得：这个水桶的底面直径是4分米，高是4分米。 （2） （立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 答：这个水桶最多能装水50.24升。 24．（1）15.7平方厘米； （2）314立方厘米 【分析】（1）根据题意可知，把长方体铁块从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个长方体铁块在水中的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出在水中长方体铁块的体积，再根据长方体的体积V＝Sh，那么S＝V÷h，此时h＝10厘米，把数据代入公式解答。 （2）根据（1）求出长方体铁块与容器底部接触面的面积后，再根据长方体的体积V＝Sh，此时h＝20厘米，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×52×（10－8）÷10 ＝3.14×25×2÷10 ＝78.5×2÷10 ＝157÷10 ＝15.7（平方厘米） 答：这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是15.7平方厘米。 （2）15.7×20＝314（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是314立方厘米。 25．①10 ②15厘米 ③300立方厘米 【分析】①从液面高度与时间的关系图中可知，9：00往长方体油漆缸里放入铁质圆锥零件，9：00～9：05油漆液面上升，9：05～9：10油漆液面高度不变，9：10以后，油漆液面高度降低，由此可知，油漆缸在9：10开始渗漏，据此求解。 ②把铁质圆锥零件放入油漆缸中，油漆上升部分的体积等于圆锥零件的体积。 从图中可知，放入圆锥零件后，液面上升了（18－15）厘米，根据V＝abh求出液面上升部分的体积，也就是圆锥零件的体积； 由圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥零件的高。 ③从两幅图中可知，油漆缸长20厘米、宽20厘米、高15厘米，根据V＝abh求出油漆的体积； 从液面高度与时间的关系图中可知，油漆缸是从9：10开始渗漏，直至9：30油漆全部漏完，用时20分钟；用油漆的体积除以20，即是平均每分钟漏掉油漆的体积。 【详解】①9时10分－9时＝10分钟 圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 ②20×20×（18－15） ＝20×20×3 ＝1200（立方厘米） 1200×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 ③20×20×15 ＝400×15 ＝6000（立方厘米） 9时30分－9时10分＝20分 6000÷20＝300（立方厘米） 答：油漆平均每分钟漏掉300立方厘米。 【点睛】读懂液面高度与时间的关系图，灵活运用长方体的体积公式、圆锥的体积公式是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$