第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：三角+三角函数全部内容）-2024-2025学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【详解】原式. 故答案为：． 2．（23-24高一下·上海·期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第 象限. 【答案】三 【分析】根据终边相同角的概念求解判断. 【详解】， 与终边相同，是第三象限角. 故答案为：三. 3．（23-24高一下·上海·期中）设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的对称性与最值的关系，可得，即可化简求解. 【详解】的图象的一条对称轴为 ， 故是函数的最大值或者最小值，即， 故， 化简可得，故，即， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理可得，进而可求. 【详解】因为、、， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·课前预习） ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. 【答案】 x x x x x x 【分析】略 【详解】略 6．（23-24高一下·上海长宁·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 【答案】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 7．（23-24高一下·松江·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解. 【详解】， 则由，有，即， 的周期，故，又，故， 则有，解得， 又，故. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 【答案】14 【分析】延长交于点，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理得，， ， 由题意得， 在中，由余弦定理得， ， 故两点之间的距离为. 故答案为：14. 9．（23-24高一下·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    【答案】 【分析】作出辅助线，表达出各边长，求出菱形的面积，，，两种方法表示矩形的面积，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意可知，四边形为矩形，四边形为菱形， 过点作⊥于点，故， 因为，所以， 故菱形的面积为， 在Rt中，，，， 故，，， 在Rt中，，，， 故，，， 又，， 故矩形的面积为 ， 又矩形的面积为 ， 故 ， 故.    故答案为： 10．（23-24高一下·江苏无锡·开学考试）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 . 【答案】 【分析】根据题意在△中求出，在△中利用正弦定理求出，然后在△中可求得结果. 【详解】在△中，， 在△中，，， 则， 由正弦定理得，即，解得， 在△中，. 故答案为： 11．（23-24高一下·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等量关系找与的关系，由的范围求出的范围，从而得出的值. 【详解】∵， ∴，即， ∵，即， ∴， 又∵， ∴ 故选：B 15．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 16．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案. 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 17．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义运算求解即可； （2）先求得，再利用诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，解得 又，所以. （2）由（1）可知：，则， 所以. 18．（23-24高一下·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析 (2)偶函数 ，理由见解析 (3)既为奇函数又为偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据特殊值，判断函数是非奇非偶函数； （2）首先化简函数的解析式，再根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）首先根据函数的定义域，化简函数的解析式，再判断函数的奇偶性. 【详解】（1）非奇非偶函数  因为，， 故且. （2）偶函数  函数定义域为，，. （3）既为奇函数又为偶函数  因为为且，所以，，且. 19．（23-24高一下·上海·期末）如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【详解】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 【答案】(1)图象见解析，相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离 (2) (3)2秒 (4)次 【分析】利用正弦型函数的物理意义逐一解答各小题即可得解. 【详解】（1）的图象如图， 因为， 所以当时，， 则小球开始振动（即）时的位置相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离. （2）对于，振幅为， 所以小球最高点和最低点与平衡位置的距离都是； （3）对于，， 所以，即经过2秒小球往复振动一次； （4）因为，所以每秒钟小球往复振动次. 21．（23-24高一下·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 【答案】(1)平方米 (2)当时，取得最大值. 【分析】（1）根据题意利用扇形的面积公式求解即可； （2）利用直角三角形的性质结合半径与分别表示出，从而可求出，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形，结合角的范围可求出的最大值. 【详解】（1）由题意知，扇形的半径米， 所以扇形的面积为平方米； （2）在中，， 在中，， 则由，得， 所以， 所以 ，， 由，得，则， 所以当，即时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海·期末）化简： . 2．（23-24高一下·上海·期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第 象限. 3．（23-24高一下·上海·期中）设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 5．（23-24高一下·上海·课前预习） ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. ，. 6．（23-24高一下·上海长宁·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 7．（23-24高一下·松江·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 8．（23-24高一下·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 9．（23-24高一下·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    10．（23-24高一下·江苏无锡·开学考试）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 . 11．（23-24高一下·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 12．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的值可能是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 16．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 17．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 18．（23-24高一下·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 19．（23-24高一下·上海·期末）如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 21．（23-24高一下·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$