（趣味奥数）第十讲 定义新运算-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十讲 定义新运算 奇妙的数学之旅 在神秘的魔法大陆上，有一座闻名遐迩的星辰魔法学院。学院里，魔法与数学奇妙融合，掌握数学知识是施展强大魔法的关键。这学期，学院为五年级的魔法学员们准备了一场独特的考验——定义新运算试炼，旨在提升学员们运用数学魔法的能力。 性格活泼的艾丽、沉稳聪慧的卡尔和勇敢坚毅的莉莉满怀期待地迎接这场挑战。试炼开始，第一关的魔法水晶球中浮现出一道题：“魔法世界定义新运算‘★’，若a、b为两个魔法数，a★b=2a+3b。现已知3★x=18，求x的值。”艾丽眼睛一亮，迅速在魔法石板上比划起来：“这里a是3，按照规则，3★x就是2×3+3x，那2×3+3x=18。”她先算出2×3=6，式子变为6+3x=18，接着3x=18-6=12，所以x=12÷3=4。艾丽成功答对，顺利通过第一关。 进入第二关，魔法卷轴上显示：“定义运算‘☉’，对于任意魔法数m、n，m☉n=m×n-(m+n)。若两个质数p、q满足p☉q=11，求p+q的值。”卡尔皱着眉头思考片刻，他想到：“设p为较小的质数，q为较大的质数，那么p☉q=pq-(p+q)=11，变形可得pq-p-q=11，再通过添项变成pq-p-q+1=12，也就是(p-1)(q-1)=12。”因为12=1×12=2×6=3×4，结合质数的条件，当p-1=2，q-1=6时，p=3，q=7，满足要求。所以p+q=3+7=10。卡尔准确的解答赢得了周围学员们的赞叹。 最后一关，难度飙升。魔法阵中出现题目：“定义新运算‘♦’，对于自然数a、b，a♦b=a×(a+1)×(a+2)×…×(a+b-1)÷b。若(y♦4)♦2=210，求y的值。”莉莉深吸一口气，开始分析：“先从后往前推，因为210=14×15，所以y♦4的结果应该是14。”接着她思考，“y♦4=y×(y+1)×(y+2)×(y+3)÷4=14，也就是y×(y+1)×(y+2)×(y+3)=56。”通过尝试，发现y=2时满足。莉莉精彩的推理，让全场响起热烈掌声。 最终，艾丽、卡尔和莉莉所在的小组凭借卓越表现，在定义新运算试炼中脱颖而出。在颁奖仪式上，艾丽激动地说：“这次试炼太神奇了，定义新运算让我们的魔法与数学完美结合，以后我们一定会更努力探索魔法数学的奥秘！”这场试炼，不仅让学员们掌握了定义新运算的魔法技巧，更点燃了他们对数学魔法的热爱之火。 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。 我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。 定义新运算就是指用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊的算式的一种运算。定义新运算中运算符号有：#、*、※、▽等，有时借用一些已有的运算符号“+、一、×、=”,但与四则中的运算符号是有区别的。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 1：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，计算（9△4）△7。 【思路分析】 定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 【标准答案】 （9△4）△7 ＝（2×9－4）△7 ＝（18－4）△7 ＝14△7 ＝2×14－7 ＝28－7 ＝21 1. 1）．如果：2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 2）．规定运算“※”为：A※B＝（A＋3B）×（A＋B），计算：5※7的值。 3）．规定，求的值. 2： 定义新运算。 a△b＝3a－2b，已知x△（4△1）＝7，求x的值。 【思路分析】 根据所给出的等式a△b＝3a－2b，由此可以计算4△1的值，再根据x△（4△1）＝7求出x的值。 【标准答案】 4△1＝3×4－2×1＝10 x△（4△1）＝7 x△10＝7 3x－2×10＝7 3x－20＝7 3x＝27 x＝9 2． 1）．设，已知求。 2）．设，求中的未知数。 3）．规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+...(a+b-1)其中a、b表示自然数．求1△100的值．已知x△10=75,求x. 3：若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）． 求（1△4）☆2的值． 【思路分析】 注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x. 【标准答案】 由（1△3）☆3=1△（3☆3） 得（x+3）÷2=x x+3=2x x=3 所以（1△4）☆2 =（1×3）☆2 =（3+2）÷2 =2.5 3． 1）．对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）． 2）．已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）． 3）．设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5． 4：定义新运算“※”，若2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8．求2※（3※2）的值． 【思路分析】 3※2=3+4=7 2※（3※2）=2※7=2+3+4+5+6+7+8=35 4. 1）．定义一种新运算“◆”，规定a◆b=（3x＋y）＋2＋x，求： ①10◆15        ②15◆10 2）．定义两种新运算“☆”和 “●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求6☆1＋4●2的值． 3）．定义一种新运算“※”，规定A※B=4A＋3B－5，求： （1）6※9 （2）9※6 4）．定义一种新运算“◎”，规定A◎B=2×（A＋B），求0.6◎（5.4◎5）的值． 数学家的故事——华罗庚 　同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家。他仅有初中文凭，因一篇论文在《科学》杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯。 1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥。20世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位。”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者。”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位。”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力。 1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕。当时，不少人认为华罗庚是不会回来了。 新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心。1950年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，而且还给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设。他在信中坦露出了一颗爱中华的赤子之心：“朋友们！梁园虽好，非久居之乡。归去来兮……为了国家民族，我们应当回去……”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国。 华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长。从此，开始了他数学研究真正的黄金时期。他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才。为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血。 据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了152篇重要的数学论文，出版了9部数学著作、11本数学科普著作。他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士。 从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉。 1：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，计算（9△4）△7。 【思路分析】 定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 【标准答案】 （9△4）△7 ＝（2×9－4）△7 ＝（18－4）△7 ＝14△7 ＝2×14－7 ＝28－7 ＝21 1. 1）．如果：2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 答案：25 分析：根据2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋5＋7＋8寻找规律，发现△前的数字是起始数字，△后的数字是连续自然数的个数，由此计算3△5＝3＋4＋5＋5＋7＝25。 详解：根据“2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8”可知， 3△5 ＝3＋4＋5＋6＋7 ＝25 2）．规定运算“※”为：A※B＝（A＋3B）×（A＋B），计算：5※7的值。 答案：312 分析：根据“A※B＝（A＋3B）×（A＋B）”可知，运算符号前面的数与后面数的3倍的和乘前后两个数的和，据此计算即可。 详解：5※7 ＝（5＋7×3）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 3）．规定，求的值. 答案：10 详解：=3×4-2×1 =12-2 =10 点睛：根据所给出的式子，找出新运算的方法，再根据新运算的方法，代入计算即可. 2： 定义新运算。 a△b＝3a－2b，已知x△（4△1）＝7，求x的值。 【思路分析】 根据所给出的等式a△b＝3a－2b，由此可以计算4△1的值，再根据x△（4△1）＝7求出x的值。 【标准答案】 4△1＝3×4－2×1＝10 x△（4△1）＝7 x△10＝7 3x－2×10＝7 3x－20＝7 3x＝27 x＝9 2． 1）．设，已知求。 答案：x＝9 分析：，就是前一个数的3倍减去后一个数的2倍，，即是3x－（4×3－1×2）×2＝7，应用等式的性质解此方程即可。 详解：因为， 所以：即是3x－（4×3－1×2）×2＝7， 3x－（4×3－1×2）×2＝7 解：3x－（12－2）×2＝7 3x－10×2＝7 3x－20＝7 3x＝20＋7 3x＝27 x＝9 2）．设，求中的未知数。 答案：5.5 分析：新的运算方法是：第一个数的4倍，减去第二个数的2倍，再加上这两个数的积的一半，先计算出括号里的结果，再列方程，进行解答。 详解：4⊙1 ＝4×4－2×1＋×4×1 ＝16－2＋2 ＝14＋2 ＝16 x⊙16＝34 4x－2×16＋x×16＝34 4x－32＋8x＝34 12x＝34＋32 12x＝66 x＝66÷12 x＝5.5 3）．规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+...(a+b-1)其中a、b表示自然数．求1△100的值．已知x△10=75,求x. 答案：5050；3 详解：（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050 （2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（x+9）=75, 所以 10x+(1+2+3+…+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3 3：若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）． 求（1△4）☆2的值． 【思路分析】 注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x. 【标准答案】 由（1△3）☆3=1△（3☆3） 得（x+3）÷2=x x+3=2x x=3 所以（1△4）☆2 =（1×3）☆2 =（3+2）÷2 =2.5 3． 1）．对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）． 答案：95；79 详解：（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95 5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79 2）．已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）． 答案：306 详解：原式=6×7×8-5×6 =336-30 =306 3）．设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5． 答案：2；9 详解：5△6=5×4-6×3=20-18=2 6△5=6×4-5×3=24-15=9 4：定义新运算“※”，若2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8．求2※（3※2）的值． 【思路分析】 3※2=3+4=7 2※（3※2）=2※7=2+3+4+5+6+7+8=35 4. 1）．定义一种新运算“◆”，规定a◆b=（3x＋y）＋2＋x，求： ①10◆15        ②15◆10 答案：①57  ②72 详解：①10◆15 =（3×10＋15）＋2＋10 =45+2+10 =57 ②15◆10 =（3×15＋10）＋2＋15 =55+2+15 =72 2）．定义两种新运算“☆”和 “●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求6☆1＋4●2的值． 答案：21.1 详解：6☆1 =6÷2＋4.1×1 =3+4.1 =7.1 4●2 =8＋3×（4－2） =8+6 =14 6☆1＋4●2     =7. 1+14 =21.1 3）．定义一种新运算“※”，规定A※B=4A＋3B－5，求： （1）6※9 （2）9※6 答案：(1)46   (2)49 详解：(1) 6※9 =4×6＋3×9－5 =24+27-5 =46 (2) 9※6 =4×9＋3×6－5 =36+18-5 =49 4）．定义一种新运算“◎”，规定A◎B=2×（A＋B），求0.6◎（5.4◎5）的值． 答案：42.8 详解：5.4◎5=2×（5.4＋5）=20.8 0.6◎（5.4◎5） =0.6◎20.8 =2×（0.6＋20.8） =2×21.4 =42.8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$