（趣味奥数）第九讲 简单乘法原理-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第九讲 简单乘法原理 校园科技节的创意之旅 在阳光小学，一年一度的校园科技节即将拉开帷幕，这可是同学们大展身手的好机会。五年级的同学们得知，这次科技节的主题是“创意无限，科技领航”，大家都兴奋不已，跃跃欲试。 小辉、小萱和小宇也打算组队参加，他们准备制作一个能发光、会移动的立体城市模型。在筹备过程中，他们遇到了各种需要运用数学知识来解决的问题，而乘法原理就像一把神奇的钥匙，帮助他们打开了创意的大门。 首先是材料选择。他们要为模型的建筑部分挑选材料，有3种不同颜色的卡纸（红、黄、蓝）可以用来制作房屋的墙面，2种不同厚度的硬纸板（薄、厚）能作为房屋的底板。小辉很快运用乘法原理开始计算：“选择墙面材料有3种方法，选择底板材料有2种方法，那么搭配起来的方法总数就是3×2=6种。”大家听了，都觉得很有道理，经过一番讨论，他们从这6种组合中挑选出了最适合的材料搭配。 接着是模型的灯光设计。他们计划在模型中安装一些小彩灯，让城市模型在夜晚也能熠熠生辉。市场上有4种不同颜色的小彩灯（白、绿、粉、紫）可供选择，并且有3种不同的闪烁模式（常亮、快闪、慢闪）。小萱运用乘法原理算出：“挑选彩灯颜色有4种选择，挑选闪烁模式有3种选择，那么总共的灯光效果组合就是4×3=12种。”最终，他们选定了粉色灯搭配慢闪模式，觉得这样的灯光效果最能营造出温馨浪漫的城市氛围。 最后是模型的动力装置。他们打算让城市模型里的车辆能够移动，在选择动力装置时，发现有2种不同类型的小电机（直流电机、交流电机），并且每种电机都有3种不同的转速可供调节。小宇思考后说：“根据乘法原理，选择电机类型有2种方法，每种电机又有3种转速调节方式，那么动力装置的组合方式就是2×3=6种。”经过测试，他们选用了直流电机搭配中等转速，这样车辆运行起来速度刚刚好。 在科技节展示当天，他们的立体城市模型一亮相，就凭借精美的外观、独特的灯光效果和可移动的车辆，吸引了众多师生的目光，获得了一等奖。老师和同学们纷纷赞叹他们的创意和动手能力。小辉、小萱和小宇开心地说：“这次制作模型，乘法原理帮了大忙，让我们知道原来不同的选择组合起来能有这么多奇妙的可能性。以后遇到类似的问题，我们肯定还能用数学知识轻松解决！”通过这次校园科技节的创意之旅，同学们深刻体会到了数学在生活中的实用价值，对数学的学习也更有热情了。 乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法． 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条。 乘法原理解题三部曲 1.完成一件事分N个必要步骤； 2.每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3.步步相乘 乘法原理的考题类型 1.路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2.字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字，然后问3个字有多少种染色方法； 3.地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法； 4.排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5.数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法。 1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个： （1）三位数？ （2）没有重复数字的三位数？ 【思路分析】 （1）组成三位数可分三步完成，第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选择。第二步确定十位，所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。 （2）也分三步完成，第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择。 【标准答案】 （1）（个 ） 答：可以组成100个三位数。 （2）（ 个） 答：可以组成48个无重复数字的三位数。 1.（1）由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？ 2：如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？ 【思路分析】 从A地经B地去C地分为两步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地为第二步，完成第一步有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法，步步相乘即可。 【标准答案】 详解：根据乘法原理： 5×3＝15（种） 答：从A地经 B地去C地有15种方法。 2． 1）．邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 2）．如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过。问：他最多有几种不同走法？ 3）．在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 3：某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法？ 【思路分析】 如图，为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图，然后按照A、B、C、D、E、F、G的染色顺序进行染色。 【标准答案】 如图所示： 第1步：先染区域，有5种颜色可供选择； 第2步：再染区域，由于不能与同色，所以区域的染色方式有4种； 第3步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第4步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第5步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第6步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第7步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种。 根据分步计数的乘法原理，共有种不同的染色方法。 答：共有4860种不同的染色方法。 3． 1）．用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ 2）．如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？ 3）．用四种颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：共有多少种不同的染色方法？ 4：商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明想买一些糖送给他的小朋友。 （1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？ （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？ 【思路分析】 （1）如果小明只买一种糖，分成2类，买巧克力糖或水果糖，各自的方法数相加即可； （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，步步相乘。 【标准答案】 （1）（种） 答：他有5种选法。 （2）（种） 答：他有6种选法。 4. 1）．一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？ 2）．有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面。这些旗的模样、大小都相同。现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号？ 3）．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ 4）．国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？ 阿拉伯数字的来源 　阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0是国际上通用的数码。这种数字的创制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功劳。阿拉伯数字初出自印度人之手，也是他们的祖先在生产实践中逐步创造出来的。 公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但各地的写法不一，其中典型的是婆罗门式，它的独到之处就是从1～9每个数都有专用符号，现代数字就是从它们中脱胎而来的。当时，“0”还没有出现。到了笈多时代(300-500年)才有了“0”。这样，一套完整的数字便产生了。这就是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。 印度数字首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等国。7-8世纪，随着地跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国的崛起，阿拉伯人如饥似渴地吸取古希腊、罗马、印度等国的先进文化，大量翻译其科学著作。771年，印度天文学家、旅行家毛卡访问阿拉伯帝国阿拨斯王朝(750-1258年)的首都巴格达，将随身携带的一部印度天文学著作《西德罕塔》献给了当时的哈里发曼苏尔(757-775)，曼苏尔令翻译成阿拉伯文，取名为《信德欣德》。此书中有大量的数字，因此称“印度数字”，原意即为“从印度来的”。 阿拉伯数学家花拉子密(约780-850)和海伯什等首先接受了印度数字，并在天文表中运用。他们放弃了自己的28个字母，在实践中加以修改完善，并毫无保留地把它介绍给西方。9世纪初，花拉子密发表《印度计数算法》，阐述了印度数字及应用方法。 印度数字取代了冗长笨拙的罗马数字，在欧洲传播，遭到一些基督教徒的反对，但实践证明优于罗马数字。1202年意大利雷俄那多所发行的《计算之书》，标志着欧洲使用印度数字的开始。该书共15章，开章说：“印度九个数字是：‘9、8、7、6、5、4、3、2、1’，用这九个数字及阿拉伯人称作sifr(零)的记号‘0’，任何数都可以表示出来。” 14世纪时中国的印刷术传到欧洲，更加速了印度数字在欧洲的推广应用，逐渐为欧洲人所采用。 1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个： （1）三位数？ （2）没有重复数字的三位数？ 【思路分析】 （1）组成三位数可分三步完成，第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选择。第二步确定十位，所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。 （2）也分三步完成，第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择。 【标准答案】 （1）（个 ） 答：可以组成100个三位数。 （2）（ 个） 答：可以组成48个无重复数字的三位数。 1.（1）由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？ 答案：（1）个；（2）个 分析：（1）分三步完成：第一步排百位上的数，有3种方法；第二步排十位上的数，有2种方法；第三步，排个位上的数，有1种方法。 （2）分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法。 详解：（1）由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成个没有重复数字的三位数。 答：可以组成6个三位数。 （2）由乘法原理，由3、6、9这3个数字一共可以组成个三位数。 答：可以组成27个三位数。 点睛：本题考查的是乘法原理的计数问题，当完成一件事有多个步骤时，每一步的方法数相乘，即为总的方法数。 2：如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？ 【思路分析】 从A地经B地去C地分为两步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地为第二步，完成第一步有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法，步步相乘即可。 【标准答案】 详解：根据乘法原理： 5×3＝15（种） 答：从A地经 B地去C地有15种方法。 2． 1）．邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 答案：种 分析：邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法，步步相乘即可。 详解：根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有3×2＝6种方法。 答：共有6种不同的走法。 点睛：本题考查的是计数中的乘法原理，这里情况比较少，也可以画树状图进行枚举。 2）．如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过。问：他最多有几种不同走法？ 答案：6种 分析：分成两步，先从家到中间结点，再从中间结点到学校，第一步有2种走法，第二步3种走法，步步相乘即可。 详解：根据乘法原理，一共有3×2＝6种走法。 答：一共有6种走法。 点睛：本题考查的是计数中的乘法原理，每一步的方法数相乘，即为总的方法数。 3）．在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 答案：9种 分析：甲虫要从A点沿着线段爬到B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有3种走法；第二步是从C点到B点，一共也有3种走法，步步相乘即可。 详解：根据乘法原理： 3×3＝9（种） 答：一共有9种走法。 点睛：本题考查的是计数问题中的乘法原理，这里也可以给各个点表示字母，画树状图求解。 3：某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法？ 【思路分析】 如图，为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图，然后按照A、B、C、D、E、F、G的染色顺序进行染色。 【标准答案】 如图所示： 第1步：先染区域，有5种颜色可供选择； 第2步：再染区域，由于不能与同色，所以区域的染色方式有4种； 第3步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第4步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第5步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第6步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第7步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种。 根据分步计数的乘法原理，共有种不同的染色方法。 答：共有4860种不同的染色方法。 3． 1）．用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ 答案：6种 分析：涂三块毫无疑问是分成三步。第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了。 详解：根据乘法原理： （种） 答：共有6种不同的涂法。 点睛：本题考查的是染色问题，这里A、B、C的接触面是一样多的，所以可以从任意一块开始染色。 2）．如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？ 答案：1536种 分析：如图，对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，然后确定染色的顺序，并确定每一步的方法数，根据乘法原理求解。 详解：如图所示： 从接触面最多的区块开始染色，从多到少进行，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……， 所以一共有：种。 答：应该有1536种不同的染色方法。 点睛：本题考查的是计数问题中的染色问题，解题方法是乘法原理。 3）．用四种颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：共有多少种不同的染色方法？ 答案：72种 分析：总共5块，而与另外的4块相接，接触面最多，从而开始染色，根据接触面的多少进行染色。 详解：第一步给“而”上色，有4种选择； 然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选； 当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有种； 当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选（与“学”相同），不同的涂法有种。 所以，根据加法原理，共有种不同的涂法。 答：共有72种不同的染色方法。 点睛：本题考查的是计数中的染色问题，求解此类问题的方法是乘法原理。 4：商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明想买一些糖送给他的小朋友。 （1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？ （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？ 【思路分析】 （1）如果小明只买一种糖，分成2类，买巧克力糖或水果糖，各自的方法数相加即可； （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，步步相乘。 【标准答案】 （1）（种） 答：他有5种选法。 （2）（种） 答：他有6种选法。 4. 1）．一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？ 答案：91种 分析：每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，三个人一共有63种情况，减去都不去12楼的情况，得到至少有一个要上12楼的情况。 详解：每个人都可以在第7、8、9、10、11、12层下，有6种情况； （种） 其中，都不到12楼的话，每个人可以在第7、8、9、 10、11层下，有5种情况； （种） （种） 答：他们到各层的可能情况共有91种。 点睛：本题考查的是计数问题，当从正面考虑问题不方便时，尝试着从反面考虑问题。 2）．有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面。这些旗的模样、大小都相同。现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号？ 答案：188种 分析：按挂旗的面数来分类考虑，第一类：挂一面旗；第二类：挂两面旗；第三类：挂三面旗；第四类：挂四面旗；第五类：挂五面旗；当旗的数量多于2面时，需要考虑顺序。 详解：第一类：从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示种不同信号； 第二类：按颜色分成：红黄（种）；红蓝（种）；黄蓝（种）；黄黄（种）；蓝蓝（种）；共种； 第三类：按颜色分类：红蓝蓝（种）；红黄黄（种）；红黄蓝（种）；黄黄蓝（种）；黄蓝蓝（种）；蓝蓝蓝（种）；共种； 第四类：按颜色分类：红黄黄蓝（或种）；红黄蓝蓝（或种）；红蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝（种）；黄蓝蓝蓝（种），共种； 第五类：按颜色分类：红黄黄蓝蓝（种）；红黄 蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝蓝（种），共种； 第六类：红黄黄蓝蓝蓝（种）。 根据加法原理，共可以表示种不同的信号。 答：利用这些旗能表示60种不同信号。 点睛：本题将加法原理与组合相结合，加法分类，类类相加。 3）．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ 答案：2520种 分析：因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系，先从8人中选出2人，再从余下的6人中选出2人，再从余下的4人中选出2人，余下的2人随之确定。 详解：排队方法总数为： （种） 答：一共有2520种不同的排队方法。 点睛：本题将组合问题与乘法原理相结合，相当于把整个过程分成4步，求出每一步的方法数，步步相乘。 4）．国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？ 答案：3136种 分析：分成两步，先确定一方的“车”的位置，在确定另一方的“车”的位置，相乘即为两个“车”位置的所有情况。 详解：对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7＝49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49＝3136种方法。 答：这两个“车”位置有3136种情况。 点睛：本题利用的是乘法原理进行计数，当一件事情分多个步骤完成时，每一步的方法数相乘即为总的方法数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$