（趣味奥数）第八讲 巧妙求和-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第八讲 巧妙求和 书架整理大作战 在阳光小学的图书馆里，书架上的图书琳琅满目，可最近由于借阅频繁，图书摆放变得杂乱无章。图书管理员李老师正为此发愁，这时，五年级的数学小能手们主动请缨，要来帮忙整理书架，顺便开展一场特别的“书架整理大作战”。 活动当天，小辉、小萱和小宇等同学来到图书馆。李老师指着一排书架说：“同学们，这排书架一共有10层，每层摆放的图书数量依次是5本、7本、9本、11本……按照这样的规律递增，你们能算出这排书架上一共有多少本书吗？” 小辉一听，眼睛放光，他发现这是一个等差数列，首项是5，末项不知道，但公差是2，项数是10。他想到了等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。可末项怎么求呢？他灵机一动，根据等差数列通项公式，末项=首项+（项数-1）×公差，那么末项就是5+（10-1）×2=5+18=23本。接着利用求和公式，这排书架图书总数为（5+23）×10÷2=28×10÷2=140本。小辉兴奋地说出答案，李老师笑着点点头。 整理过程中，小萱负责整理另一个书架。这个书架上的图书摆放规律是：第一层有3本，从第二层开始，每层比上一层多3本，一共有8层。小萱在心里快速计算：同样是等差数列，首项是3，公差是3，项数是8。先求末项，末项=3+（8-1）×3=3+21=24本。再用求和公式，图书总数为（3+24）×8÷2=27×8÷2=108本。小萱迅速整理好这个书架，引来同学们的称赞。 小宇那边的任务也不轻松。他负责的书架，第一层有2本，以后每层依次增加4本，共7层。小宇运用所学知识，先算出末项为2+（7-1）×4=2+24=26本，然后求出书架图书总数是（2+26）×7÷2=28×7÷2=98本。 经过一番努力，同学们借助巧妙求和的方法，不仅快速算出每个书架的图书数量，还高效地完成了书架整理工作。李老师看着焕然一新的书架，欣慰地说：“同学们，你们用数学知识解决了实际问题，这些巧妙求和的方法就像神奇的魔法，能让复杂的事情变得简单。希望你们以后在学习和生活中，多运用数学思维，创造更多的可能！”同学们纷纷表示，这次经历让他们对数学的奇妙有了更深体会，以后会更积极探索数学的奥秘。 （一）数列的基本知识： (1)1、2、3、4、5、6…… (2)2、4、6、8、10、12…… (3)5、10、15、20、25、30…… 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列， 数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数； （2） 等差数列的基本知识 (1)1、2、3、4、5、6……（公差=1） (2)2、4、6、8、10、12……（公差=2） (3)5、10、15、20、25、30……（公差=5） 通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 （3） 等差数列的相关公式 （1）通项公式：某一项=首项+(项数-1)×公差 （2）项数公式：项数=(末项一首项)÷公差+1 （3）求和公式：总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 1：已知等差数列：299，296，293，290，…，则该等差数列的第50项是多少？ 【思路分析】 本题有两种思考方向： ①这是一个首项为299，公差为每次少3，项数为50的等差数列求末项。 ②把数列倒过来看，形成一个首项未知，末项是299，项数是50，公差是3的数列，求其首项，此时应该用末项去减（50－1）个公差。 【标准答案】 299－（50－1）×3 ＝299－49×3 ＝299－147 ＝152 答：该等差数列的第50项是152。 点睛：本题主要考查了等差数列的应用，可以把数列倒过来看，用末项去减50－1个公差求首项是解决此题的关键。 1.1）．已知等差数列：60，58，56，54，…，则该等差数列的第20项是多少？ 2）．已知等差数列：1，6，11，16，…，则该等差数列的第31项是多少？ 3）．在等差数列6，13，20，27，…，1987，1994中，从左向右数第283个数是多少？ 2： 有一列数：3、7、11、15、19、…，求这列数中前40个数的和。 【思路分析】 本题是一个首项为3、项数为40、公差为4的等差数列求和，我们需要先计算出数列的末项＝首项＋（项数－1）×公差，再用求和公式求和＝（首项＋末项）×项数÷2。 【标准答案】 末项：3＋（40－1）×4 ＝3＋39×4 ＝159 和：（3＋159）×40÷2 ＝162×40÷2 ＝6480÷2 ＝3240 答：这列数中前40个数的和是3240。 2． 1）．陈老师在黑板上写了一个等差数列，它的第一项是4，公差是3，等差数列中124是它的第几项，这几项的和是多少？ 2）．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问： （1）数列中有多少个1？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 3）．小军看一本书，第一天看2页，以后每天比前一天多看2页，10天正好看完，这本书共有多少页？ 3：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？ 【思路分析】 由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30 所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页） 答：这本书共有1470页． 3． 1）．文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个．文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 2）．有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次? 3）．用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 数学家的故事 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。 1：已知等差数列：299，296，293，290，…，则该等差数列的第50项是多少？ 【思路分析】 本题有两种思考方向： ①这是一个首项为299，公差为每次少3，项数为50的等差数列求末项。 ②把数列倒过来看，形成一个首项未知，末项是299，项数是50，公差是3的数列，求其首项，此时应该用末项去减（50－1）个公差。 【标准答案】 299－（50－1）×3 ＝299－49×3 ＝299－147 ＝152 答：该等差数列的第50项是152。 点睛：本题主要考查了等差数列的应用，可以把数列倒过来看，用末项去减50－1个公差求首项是解决此题的关键。 1.1）．已知等差数列：60，58，56，54，…，则该等差数列的第20项是多少？ 答案：22 分析：本题有两种思考方向： ①这是一个首项为60，公差为每次少2，项数为20的等差数列求末项。 ②把数列倒过来看，形成一个首项未知，末项是60，项数是20，公差是2的数列，求其首项，此时应该用末项去减20－1个公差。 详解：60－（20－1）×2 ＝60－19×2 ＝60－38 ＝22 答：该等差数列的第20项是22。 2）．已知等差数列：1，6，11，16，…，则该等差数列的第31项是多少？ 答案：151 分析：本题是一个首项为1、项数为31、公差为5的等差数列求和，我们需要计算出数列的末项＝首项＋（项数－1）×公差。 详解：1＋（31－1）×5 ＝1＋30×5 ＝1＋150 ＝151 答：该等差数列的第31项是151。 点睛：本题考查为等差数列的相关知识，充分牢记等差数列相关公式是解题的关键。 3）．在等差数列6，13，20，27，…，1987，1994中，从左向右数第283个数是多少？ 答案：1980 分析：观察得出等差数列的公差是7，即前后数相差7。根据公式：首项＋（项数－1）÷公差即可求解。 详解：6＋（283－1）×7 ＝6＋282×7 ＝6＋1974 ＝1980 答：从左向右数第283个数是1980。 2： 有一列数：3、7、11、15、19、…，求这列数中前40个数的和。 【思路分析】 本题是一个首项为3、项数为40、公差为4的等差数列求和，我们需要先计算出数列的末项＝首项＋（项数－1）×公差，再用求和公式求和＝（首项＋末项）×项数÷2。 【标准答案】 末项：3＋（40－1）×4 ＝3＋39×4 ＝159 和：（3＋159）×40÷2 ＝162×40÷2 ＝6480÷2 ＝3240 答：这列数中前40个数的和是3240。 2． 1）．陈老师在黑板上写了一个等差数列，它的第一项是4，公差是3，等差数列中124是它的第几项，这几项的和是多少？ 答案：41项；2624 分析：用末项124减首项4，所得的差再除以公差3，所得的商再加1即得到一共的项数；再根据（首项＋末项）×项数÷2＝和，列式计算出结果。据此解答。 详解：（124－4）÷3＋1 ＝120÷3＋1 ＝40＋1 ＝41（项） （4＋124）×41÷2 ＝128÷2×41 ＝64×41 ＝2624 答：等差数列中124是它的第41项，这几项的和是2624。 2）．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问： （1）数列中有多少个1？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 答案：（1）10；（2）220 分析：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有（39－3）÷4＋1＝10项，所以奇数项也有10项，有几项就是几个1； （2）分别算出奇数项和偶数项之和，相加即可。 详解：（1）奇数项有：（39－3）÷4＋1 ＝36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10 答：数列中有10个1。 （2）奇数项之和：10×1＝10 偶数项之和：（39＋3）×10÷2 ＝42×10÷2 ＝210 10＋210＝220 答：数列中所有数的总和是220。 点睛：找到数列的规律，即“奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列”是解答此题的关键。 3）．小军看一本书，第一天看2页，以后每天比前一天多看2页，10天正好看完，这本书共有多少页？ 答案：这本书共有110页。 分析：第一天看2页，后面每天比前一天多看2页，即后面每一天与前一天的差为2，那么看书的页数从第一天起依次为：2、4、6、8…..成一个等差数列，首项为2，公差为2，项数为10，求这本书有多少页，即求这个等差数列的和。 详解：2＋（10－1）×2 ＝2＋9×2 ＝2＋18 ＝20（页） （2＋20）×10÷2 ＝22×10÷2 ＝110（页） 答：这本书共有110页。 点睛：本题主要考查了等差数列的应用。根据题意，结合等差数列的公式，对应找出各个量是解决本题的关键。 3：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？ 【思路分析】 由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30 所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页） 答：这本书共有1470页． 3． 1）．文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个．文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 答案：228 详解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21． 首项=3，末项=21，公差＝1，所以项数=（21-3）+1=19． 文丽在这些天中共学会了：（3+21）×19÷2=228(个) 答：文丽在这些天中共学会了228个英语单词． 2）．有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次? 答案：1225 详解：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开． 解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和， 即 49+48+47+…+2+1 =(49+1)×49÷ 2 =1225(次) 答：至多要试1225次． 3）．用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 答案：165 详解：如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形． 不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10． 它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10． 求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和． 即: 3+6+9+…+30 ="(3+30)" × 10÷ 2 =33× 5 =165(根) 答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$