专题09 勾股定理全章复习（三大考点8种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题09 勾股定理全章复习 目录 【题型一 利用勾股定理求线段长】 1 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 2 【题型三 勾股定理的证明】 3 【题型四 利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状】 4 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 5 【题型六 格点中勾股定理的应用】 6 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 6 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 7 【题型一 利用勾股定理求线段长】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，求和的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，若，求三角尺各边的长． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 例题：（24-25七年级上·山东东营·期中）如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，，边上的高为，则的面积是 ． 2．（24-25八年级上·贵州·期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【题型三 勾股定理的证明】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【题型四 利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状】 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型六 格点中勾股定理的应用】 例题：（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，圆柱的底面周长为，高为．现要在其侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）小华家因装修准备用电梯搬运一些木条（不可弯折）上楼．已知电梯的内部尺寸为长、宽、高分别是，，的长方体（如图所示），则电梯内能放入木条的最大长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，若，则 ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 8．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，，D是的中点，点E、F分别在、上运动（点E不与点A、C重合），且始终保持，则 ． 9．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合， 若，，则的长度为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 12．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 13．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 14．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 勾股定理全章复习 目录 【题型一 利用勾股定理求线段长】 1 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 4 【题型三 勾股定理的证明】 7 【题型四 利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状】 10 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 11 【题型六 格点中勾股定理的应用】 14 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 17 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 19 【题型一 利用勾股定理求线段长】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，再利用勾股定理即可求出和的长． 【详解】解：在中， ， ． ， ，即， ． ， 与都是直角三角形， ，． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，若，求三角尺各边的长． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知，再由结合勾股定理可求得，再在中，由得到，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置， ， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理； （1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可得的长． 【详解】（1）证明：点是的中点，是边上的高． 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：设，则， ， 是边上的高， ， 在中，， 即， 解得负值舍去， ． 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 例题：（24-25七年级上·山东东营·期中）如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ． 【答案】100 【分析】此题考查了圆的面积公式以及勾股定理．根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A． 【详解】解：∵以为直径的半圆的面积等于400，即， ∴， ∵以为直径的半圆的面积为300， ∴， ∴， 又∵为直角三角形，根据勾股定理得： ， ∴， 则半圆的面积为：． 故答案为：100． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，，边上的高为，则的面积是 ． 【答案】126或66 【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况： ①为锐角， ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积． 【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图，为边上的高，    在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； ②当为钝角时，如图：    在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； 故答案为：126或66． 2．（24-25八年级上·贵州·期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出，根据四边形的面积直角三角形的面积+直角三角形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 【题型三 勾股定理的证明】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了学生对定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 【答案】(1)，， (2)能，见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，勾股定理的证明： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）根据两个大正方形的面积相等，得到图1中的小正方形的面积，等于图2中两个小正方形面积之和，即可得证． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴，即：； 故答案为：，，； （2）解：能； 由图（2）可知：大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个小正方形的面积，则：， 由（1）可知：， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 【题型四 利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状】 例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股逆定理等知识，如果最大的边长的平方等于较小的两边长的平方和，那么这个三角形就是直角三角形，据此性质逐项依次判断即可解题． 【详解】解：A．，不是直角三角形，不符合题意； B．，是直角三角形，不符合题意； C．，不是直角三角形，不符合题意； D．，不是直角三角形，不符合题意， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用．根据，，，证明是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ， ， 为直角三角形， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 【题型六 格点中勾股定理的应用】 例题：（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得，，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，圆柱的底面周长为，高为．现要在其侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开﹣最短路线问题，以及学生的立体思维能力，解题时注意：圆柱的侧面展开图是长方形．将圆柱体侧面展开如解答图所示，根据勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，当，且点C为的中点时，装饰带的长度最短， ∵，， ∴装饰带的长度． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键．如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：B． 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个数构成一组勾股数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、不是正整数，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答． 【详解】如图，过点作于，连接 当点在上时： 和关于对称 ，即 得： 当点在的延长线上时，同理可得 故选：A． 5．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）小华家因装修准备用电梯搬运一些木条（不可弯折）上楼．已知电梯的内部尺寸为长、宽、高分别是，，的长方体（如图所示），则电梯内能放入木条的最大长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，则即为所求，先利用勾股定理求出的值，再利用勾股定理求出的值，然后利用无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解：如图，连接，则即为所求． 由勾股定理得：， 由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∴电梯内能放入木条的最大长度为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，若，则 ． 【答案】13 【分析】根据角的平分线性质定理，得，根据勾股定理得，解答即可． 本题考查了角的平分线性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 根据勾股定理得． 故答案为：13． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，过点A作，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：过点A作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时， ∵，， ∴由勾股定理得：，，即， ∵火车在铁路上沿方向以的速度行驶， ∴影响时间应是：． 故A处受噪音影响的时间是． 故答案为：16． 8．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，，D是的中点，点E、F分别在、上运动（点E不与点A、C重合），且始终保持，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识， 连接，证明，得出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵D是中点，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合， 若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键；先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案， 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， 由折叠知，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 12．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）方法一：利用正方形的面积公式计算大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，根据两种方法计算的面积相等即可得证； （2）先利用勾股定理求出，从而可得的值，再利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以． （2）解：由（1）已证：， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴小正方形的面积为． 13．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 14．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解答 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：在中，．，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是直角三角形； （2）解：设，则， ， ， 在中，， ， ， 即． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了因式分解的应用，偶次方的非负性，勾股定理的应用． （1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果； （2）由得，然后由非负数性质求得结果； （3）把原方程化为，然后由非负数性质求得、，进而根据勾股定理求得，便可求得三角形的周长． 【详解】（1）解：由，得， ∵≥0，， ∴，， ∴，． 故答案为：3；0． （2）解：由得：， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长为，，， ∴或 ∴的周长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$