第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得. 【解答过程】. 故选：B. 2．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【解答过程】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B. 3．（5分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【解答过程】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 4．（5分）（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【解答过程】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 5．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据函数奇偶性可得是奇函数，且8是的一个周期，赋值法计算可得的值，同理可计算求得8也是的一个周期，求出的值即可. 【解答过程】由，得， 因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，. 又，所以， 即，所以，所以8是的一个周期， 所以， 由，得. 由，得， 又，所以， 所以，即，所以， 所以8也是的一个周期， 所以，得， 所以，所以. 故选：A. 6．（5分）（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【解答过程】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 7．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确； ②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确； ③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误. 【解答过程】，， 对于①，因为，所以， 当时，，则在区间上单调递减，所以①正确. 对于②，令，得，令，， 当，则，当，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，， 又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0， 所以可作出函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以②正确. 对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增， 所以函数无最大值，所以③错误. 则说法正确的个数为， 故选：C. 8．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 【解题思路】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【解答过程】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【解题思路】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【解答过程】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 10．（6分）（2024·湖南·三模）已知定义域为的函数是的导函数，且满足：是奇函数，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 【解题思路】首先利用求导证明为奇函数，再证明是周期为3的函数，再通过合理赋值可核对各选项的对错. 【解答过程】由，得，则， 又是奇函数，即，从而，， 即，则是奇函数，A正确； 对于B，在中，令，可得， 在中，令，可得，从而，B正确； 对于C，在中，以代，可得， 与求和，可得，令，可得，C错误； 对于D，由以及，可得， 从而，则是周期为3的周期函数，，， ，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（2024·甘肃张掖·一模）函数，其中是常数，则（   ） A．当时，是增函数 B．若是的极大值点，则 C．若，且有2个零点，则 D．当时，有3个零点 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值即可判断AB；结合导数的应用和零点的概念计算即可判断CD. 【解答过程】因为， 所以 . 当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确． 因为是的极大值点，所以，解得． 当时，， 则当时，，当时，， 所以是的极大值点，符合题意，故B正确． 令得或，因为，所以， 所以当或时，单调递增， 当时单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且. 又当时，，所以若有2个零点， 则，解得，故C正确． 当时，， 同理当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且 ，又当 时，， 所以有1个零点，故D错误． 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·江苏南京·开学考试）函数在上的最小值为 . 【解题思路】利用导数确定单调性即可求解最值. 【解答过程】由，得， ∵，∴， ∴在上单调递增， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为：. 14．（5分）（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【解题思路】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以. 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以. ，时，， 若存在，， 使得成立，只需即可， 所以的取值范围为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【解题思路】（1）根据平均变化率的公式即可得到答案； （2）物体在时的瞬时速度即为物体在时的瞬时变化率，先求出在附近的平均变化率，进而再求出在时瞬时变化率即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 16．（15分）（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)若是的极大值点，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； 【解题思路】（1）根据是的极大值点求出，再利用导数求切线斜率，即可求在处的切线方程； （2）求出，分三种情况讨论，分别判断导函数的符号，即可求出的单调区间； 【解答过程】（1）根据题意，函数，其定义域为R， 令得， 经检验，符合题意， 则在点的切线方程为，即； （2）根据题意，函数，其导数，分3种情况讨论： ①当时，，则在上为增函数； ②当时，若，解可得或， 则的递增区间为和， 递减区间为； ③，当时，若，解可得或， 则的递增区间为和， 递减区间为； 综上可得：当时，在上为增函数； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为. 17．（15分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 则在处取得极小值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递增，在上递减， 则在处取得极大值，合题意. 综上，. （2）由（1），，， 函数的增区间为，，减区间为. 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有3个零点，则， 解得，且满足，，满足题意. 因此，实数的取值范围是. 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）求导后，分和讨论即可； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可； 【解答过程】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 19．（17分）（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数 ，并设 ，求得，由于 ，因此根据，以及分类讨论是否恒成 立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证． 【解答过程】（1）， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； （2），， ，令（），则， 当，即时，，即是上的增函数， 因此， 是增函数，所以，不合题意，舍去； 当即时，，即是上的减函数， 所以， 所以是上的减函数，从而恒成立， 当即时，， 时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去， 综上． （3）由（2）知时，，即，从而， 所以，又， 所以， 此不等式中分别令得 ，，，， 将这个不等式相加得. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 2．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 6．（5分）（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 10．（6分）（2024·湖南·三模）已知定义域为的函数是的导函数，且满足：是奇函数，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 11．（6分）（2024·甘肃张掖·一模）函数，其中是常数，则（   ） A．当时，是增函数 B．若是的极大值点，则 C．若，且有2个零点，则 D．当时，有3个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·江苏南京·开学考试）函数在上的最小值为 . 13．（5分）（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 14．（5分）（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 16．（15分）（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)若是的极大值点，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； 17．（15分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 19．（17分）（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$