第05讲 导数在研究函数中的应用（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第05讲 导数在研究函数中的应用 【人教A版2019】 模块一 导数中函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 【例1.1】（2024高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】对函数求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的零点个数. 【解答过程】 ． 令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的， 使得，即，即，所以， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以， 所以函数的零点个数为1． 故选：B. 【例1.2】（24-25高三上·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】利用导数研究函数的单调性且，再利用指数函数、一次函数的性质确定参数的范围，结合零点存在性定理判断零点个数. 【解答过程】由题设，则或时，时，， 所以在上递增，在上递减，且， 由，即，而在R上递增，在R上递减， 显然，故， 所以，又趋向时趋向趋向时趋向， 综上，共有3个零点． 故选：D. 【变式1.1】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】利用导数研究单调性，画出图象，先求零点，再借助数形结合判断函数的零点个数即可. 【解答过程】当时，，令，得或． 当时，，故在单调递增， 又时，；时，，， 所以使得． 函数图象如图所示： 要使，即或或， 即或或． 由函数图象知，，与都有两个交点， 故或或各有两个零点， 故函数有6个零点． 故选：D. 【变式1.2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据零点的定义计算即可. 【解答过程】当，即时，， 在上恒成立， 所以在单调递减， 因为， 所以存在使得. 当，即时，， 因为，所以是的零点. 当，即时，，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 此时在没有零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C. 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 【例2.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】令，可得，于是问题转化为函数与直线和的图象分别有两个不同的交点，然后作出函数的图象，观察图象即可得解． 【解答过程】令，可得，所以或， 易知不是方程的根，所以或， 令函数，则， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，时，，时，， 作函数图象如下， 由图可知方程有两个不同的根， 由题意可得方程有4个不同的根， 所以方程即有两个不同的实数根，且与方程的根不重合， 即函数与直线的图象有两个不同的交点， 由图象可知，要使函数与直线的图象有两个不同的交点， 则需且，即且， 又，所以， 结合别的选项可知，实数a的取值可以为. 故选：A. 【例2.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【解答过程】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数单调性进而确定极值； （2）（i）求导，根据导数判断函数单调性与极值情况，结合零点存在定理可得参数范围；（ii）设，根据，，可得，即可将不等式转化为，设，即，则需证，构造函数，，求导可得函数的单调性与最值，即可得证. 【解答过程】（1）由已知，则，， ，， 令，即， 令，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值为，无极小值； （2）（i）由，， 则，， 当时，恒成立，即函数在上单调递减，与有两个零点矛盾，不成立； 当时，令，则，令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 若函数有两个不同的零点，， 则， 设，， 则， 即在上单调递减，且， 则当时，， 又，， 当时，， 由零点存在性定理可知，此时函数有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则； （ii）设，则， 又，， 两式做差可得， 即，则，所以若证， 即证，即证， 设，即，则只需证， 设，， 则， 所以在上单调递增， 则，即， 所以. 【变式2.2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【解题思路】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性； （2）（ⅰ）由题设可得零点个数为2且零点异于1，求出后就分类讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取值范围；（ⅱ）先证明先证明不等式恒成立，从而可利用放缩法证明题设中的不等式. 【解答过程】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ，令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则，， 所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，. 综上，实数的取值范围为 （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以，即， 两边同除以， 得， 所以. 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的恒（能）成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【解题思路】（1）利用导数研究函数单调性即可； （2）要证，即证，将指数函数与对数函数分离，即证；构造函数，借助导数及中间函数得证. 【解答过程】（1）函数， ，令，解得， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，， 要证， 即证，即证. 令函数， 则， 令，解得或， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以， 故， 即当时，得证. 【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)当时，证明：． (2)当时，证明：． 【解题思路】（1）当时，代入函数并对函数 进行求导，利用二阶导数得出导函数在上单调递增函数，再讨论的正负即可求得函数的最小值为，从而得证； （2）对函数 进行求导，得在上单调递增，根据零点的存在性定理可得存在，使得，从而可得的最小值为，再结合基本不等式即可证明. 【解答过程】（1）当时，，定义域为． ，构造函数， 则，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以，故． （2），当时，易知在上单调递增， ， 所以存在，使得，即． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 当且仅当时取等，此时，满足．故原不等式得证． 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解题思路】（1）求导，利用导数分析单调性即可； （2）构造函数，求导后令导数的分子为，再求导分析单调性得到的最小值，从而得到的单调性，最后结合分析即可； 【解答过程】（1）当时，，其定义域为， 则， 因为，所以对任意，都有， 所以当时，，，即； 当时，，，即． 故在单调递减，在单调递增． （2）定义域为， 设， 则， 令，则， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 因为，所以， 所以，即， 故在单调递增， 又，所以当时，； 当时，， 因此当时，； 当时，； 当且仅当时，． 综上所述，． 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【解题思路】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【解答过程】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4.1】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得极值点满足的等量关系，回代入式子化简减元，将恒成立问题转化为一元函数值域问题求解可得. 【解答过程】，则， 令，得，由题意知是方程的两正根， 则，解得，且. 由 ， 令，则， 由，故在单调递减，故， 要使恒成立，即恒成立， 则，则实数的取值范围是. 故选：B. 【例4.2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，讨论判断的符号及最小值，即可得答案. 【解答过程】令， 当时，， 当时，，, 在单调递增， 综上，，即的最小值为0， 根据题设不等式恒成立，有. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同构可得，故可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【解答过程】可变形为，，注意， 令，则，所以在上单调递增， 不等式可化为，所以， 所以， 因为，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 故选：A . 【变式4.2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用导数研究的单调性，进而将目标式转化为在R上恒成立，求参数范围. 【解答过程】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在R上为增函数， 因为， 所以在R上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得， 综上，. 故选：D. 【题型5 利用导数研究能成立问题】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【解答过程】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A. 【例5.2】（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用分离变量将问题转化为，使得恒成立，令，利用导数求出其最大值可得结果. 【解答过程】，使得不等式成立，可得． 令，则，令，解得， 令，解得， 所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以，则依题意有， ∴ 实数a的取值范围是． 故选：C． 【变式5.1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】题中条件“，使得”可转化为和值域交集非空，分别求出和值域分析求解即可. 【解答过程】由得：， 因为本题中，所以， 所以单调递减，所以， 由得：， 当时，，所以单调递增， 所以， 因为，使得， 所以， 所以， 故选：D. 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围. 【解答过程】因为对于存在，存在，使， 所以，，， 又，， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增， 则， 由解得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 模块三 导数中的其他问题 1．导数中的双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 2．极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性． 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且. (1)若，则称函数在区间上极值点偏移； (2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； (3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 【题型6 双变量问题】 【例6.1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 【例6.2】（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可. 【解答过程】解：由题意，令，则，， 所以，，， 令，所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 即的最小值为. 故选：D． 【变式6.1】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设是函数的两个零点，求证：． 【解题思路】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可； （2）由导函数的两个零点得和，得到，转化为证明，换元，证明即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，则切线方程为， 因此曲线在点处的切线方程为． （2）证明：函数是的两个零点， 所以，则有， 且，由，得． 要证，只要证明，即证． 记，则， 因此只要证明，即． 记，则， 令，则， 当时，， 所以函数在上递增，则， 即， 则在上单调递增，， 即成立. 【变式6.2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）首先求函数的导数，化简后求的解集； （2）（ⅰ）首先求函数的导数，令，换元后转化为方程有两个正根，利用判别式以及韦达定理，求参数的取值范围； （ⅱ）首先求，根据（1）的换元结果，以及韦达定理，转化为关于的函数，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，转化为函数的最大值，即证明不等式. 【解答过程】（1）当时，， ， 当，即时，， 故单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， （ii） ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【题型7 导数中的极值点偏移问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【解题思路】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【解答过程】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【例7.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【解题思路】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【解答过程】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得 ②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【变式7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【解题思路】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程得到，设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间； （2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论. 【解答过程】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 【变式7.2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【解题思路】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【解答过程】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【题型8 导数的实际应用】 【例8.1】（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】设圆柱的底面半径为，高为，表示出体积关于高的函数，求导分析即可； 【解答过程】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 【例8.2】（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【解答过程】依题意，得， 令，得， 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B. 【变式8.1】（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里每小时时，燃料费是元每小时，而其他与速度无关的费用是元每小时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【解题思路】本题可设速度为海里每小时的燃料费是元每小时，然后根据题意得出，再然后设航行海里所需的总费用为元，则，最后通过导函数的性质即可得出结果. 【解答过程】设速度为海里每小时的燃料费是元每小时， 因为每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，所以可设，其中为比例系数， 因为当速度为海里每小时时燃料费是元每小时，所以，， 设船的速度为海里每小时，航行海里所需的总费用为元， 则每小时所需的总费用是元，航行海里所需的时间为， 航行海里所需的总费用， ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故当时，取得最小值， 故选：B. 【变式8.2】（2024高二下·全国·专题练习）某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 【解题思路】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案. 【解答过程】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m， 因此新墙总长度，则， 令，得或(舍去)， 当时，，当时，， 则L在上单调递减，在上单调递增， ∴是L的最小值点，此时， 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 故选：B. 【题型9 导数中的新定义问题】 【例9.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【解答过程】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B. 【例9.2】（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【解答过程】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式9.1】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界． (1)求函数的下界的取值范围； (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； (3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，） 【解题思路】（1）由题意可得，利用导数求出函数的最小值，即可得出的取值范围； （2）令，利用导数证明出，即可得出结论； （3）利用导数分析函数的单调性与最小值，求出最小值的范围，即可得出整数的最大值. 【解答过程】（1）因为函数的定义域为，对任意的，，则， 因为，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为，则， 所以，，因此，函数的下界的取值范围为. （2）令，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，，故， 因此，函数是下界为的函数. （3）当时，，则， 令，则， 当时，，，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，所以，， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， ， 令，其中， ， 所以，函数在上单调递减，所以，， 所以，，且， 因此，整数的最大值为. 【变式9.2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【解题思路】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【解答过程】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案. 【解答过程】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】设截去的小正方形边长为米，再根据题意得出无盖容器的体积，进而求导分析体积最大值时的值即可. 【解答过程】设截去的小正方形边长为米，由题意容器底边长为米，高为米， 故体积，则. 故当时，单调递增；当时，单调递减. 故为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围. 【解答过程】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【解题思路】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【解答过程】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B. 5．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 【解题思路】分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得. 【解答过程】函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数的值域为； 函数在上单调递增，函数的值域为， 由，使得，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若方程在区间上有实数根，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】先确定函数的单调性，再分类讨论将条件化为确定在区间上有实数根，分离参数利用导数研究三次函数的单调性与极值、最值计算即可. 【解答过程】因为，所以是上的增函数， 若，则，则方程无解， 若，则，则方程无解， 所以若方程在区间上有实数根，则在区间上有实数根， 即方程在区间上有实数根，整理得. 设函数，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则的最大值是. 故选:D. 7．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 8．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 【解题思路】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【解答过程】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课后作业）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 【解题思路】根据题意，分与分别得到年利润的函数关系，结合导数的计算，分别求得最大值，即可得到结果. 【解答过程】设年利润为W. 当时，， 所以，令，得（舍负）， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38.6； 当时，，. 令，得（舍负）， 时，，函数递增； 时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38. 因为， 所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元. 故选：AD. 10．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 【解题思路】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围. 【解答过程】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：ABC. 11．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【解题思路】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【解答过程】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数只有一个零点，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据条件，将问题转化成与有且只有一个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解. 【解答过程】因为，易知，所以不是零点， 令，即，得到，令，， 则， 易知恒成立，由，得到， 当时，，时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 又易知，当，且时，，时，， 当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有且只有一个交点，所以， 故答案为：. 13．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ． 【解题思路】构造，证明其为奇函数，再利用导函数得到的单调性，变形不等式得，则，分离参数得，然后分两方面讨论即可得到的最大值. 【解答过程】设，则其定义域为，且 ，故为奇函数. 而，且仅在时，所以为增函数. 同时，不等式可化为，即. 而是奇函数，故原不等式又等价于， 因为是增函数，所以等价于. 当时，这可化为，故条件即为对任意成立. ①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有； ②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有. 首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于. 设，则，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以对均有. 这就意味着，所以 . 从而由即可得到. 即当时，不等式对恒成立， 综合①②两方面，可知的最大值为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 【解题思路】求并利用导数分析函数的单调性和极值，画出函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于的方程有两个不相等的实根，且满足，或；再由一元二次方程根的分布即可求得实数的取值范围. 【解答过程】当时，，， 所以在上单调递增， 当时，，， 则当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则. 所以的大致图象如图所示. 令，则方程可转化为； 结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点， 当或时，函数与函数有两个交点， 当或时，函数与函数有一个交点； 若关于的方程有5个不同的实数根， 则方程有两个不相等的实根，且满足，或； 若可得，解得； 经检验当时，方程即为，解得，符合题意； 若方程有两个不相等的实根需满足 ，, 故，即，解得 综上可知，实数的取值范围为或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【解题思路】（1）由题意得到，化简得到，并由实际情境得到； （2）表达出，求导得到其单调性，进而得到最大值. 【解答过程】（1）因为材料利用率为， 所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值， 最大值为. 16．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）对求导，根据求出的值，利用导数判断的单调性即可求出极值； （2）根据可得，从而得到对恒成立，令，利用导数判断的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）因为，恒成立， 当时，，，所以， 所以对恒成立， 令，则当时，恒成立， 因为， 设， 当，即时，，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意； 当，即时，，， 所以，由零点存在性定理可知存在，使得， 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去； 综上可得， 所以实数的取值范围为. 17．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 【解题思路】（1）求导判断函数的单调性； （2）构造函数借助导数求最值即可. 【解答过程】（1）函数定义域为 ，令得：令得：. 函数的增区间为，减区间为. （2）要证，即证： 令 设，则 在上单调递减，且 当时，；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减 函数在处取得极大值也是最大值. 则，即证. 18．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【解题思路】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【解答过程】（1）解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. （2）①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 19．（24-25高三上·上海·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使 成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【解题思路】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【解答过程】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 导数在研究函数中的应用 【人教A版2019】 模块一 导数中函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 【例1.1】（2024高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2】（24-25高三上·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.1】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1.2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 【例2.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【变式2.2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的恒（能）成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)当时，证明：． (2)当时，证明：． 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4.1】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用导数研究能成立问题】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块三 导数中的其他问题 1．导数中的双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 2．极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性． 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且. (1)若，则称函数在区间上极值点偏移； (2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； (3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 【题型6 双变量问题】 【例6.1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6.1】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设是函数的两个零点，求证：． 【变式6.2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【题型7 导数中的极值点偏移问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【例7.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【变式7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【变式7.2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【题型8 导数的实际应用】 【例8.1】（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例8.2】（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【变式8.1】（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里每小时时，燃料费是元每小时，而其他与速度无关的费用是元每小时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【变式8.2】（2024高二下·全国·专题练习）某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 【题型9 导数中的新定义问题】 【例9.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界． (1)求函数的下界的取值范围； (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； (3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，） 【变式9.2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若方程在区间上有实数根，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 8．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课后作业）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 10．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 11．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数只有一个零点，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ． 14．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 16．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 17．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 18．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 19．（24-25高三上·上海·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使 成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$