第04讲 函数构造初步与进阶（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第04讲 函数构造初步与进阶 【人教A版2019】 模块一 函数构造初步 1．分离参数法 利用分离参数法解决恒（能）成立问题时，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (1)恒成立问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 对任意x∈(a,b)，f(x)>m恒成立 f(x)min>m 对任意x∈(a,b)，f(x)<m恒成立 f(x)max<m 对任意x∈(a,b)，f(x)>g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]min>0 对任意x∈(a,b)，f(x)<g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]max<0 (2)存在性问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 存在x∈(a,b)，使得f(x)>m成立 f(x)max>m 存在x∈(a,b)，使得f(x)<m成立 f(x)min<m 存在x∈(a,b)，使得f(x)>g(x)成立 [f(x)-g(x)]max>0 存在x∈(a,b)，使得f(x)<g(x)成立 [f(x)-g(x)]min<0 2．带参求导法 如果无法分离参数，可以考虑利用带参求导法来研究导数问题，对参数或自变量进行分类讨论，对函数进行求导，研究函数的单调性、极值与最值之间的关系，利用导数来求解． 3．构造函数法 (1)利用导数来比较几个数的大小时，如果没有给出具体的函数，通常需要我们构造函数，求导，研究函数的单调性，借助函数的单调性来比较大小. (2)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. 【题型1 分离参数法】 【例1.1】（2024·四川达州·二模）当时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C．，e] D． 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【题型2 带参求导法】 【例2.1】（2024·黑龙江大庆·一模）已知函数，若对任意的，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)恒成立，求a的取值范围． 【变式2.2】（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【题型3 构造函数法——比较大小】 【例3.1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【题型4 构造函数法——证明不等式】 【例4.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）设函数 (1)若恒成立，求实数的取值范围 (2)若求证：在时 【例4.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式4.1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，当时，有极大值． (1)求实数a，b的值； (2)当时，证明：． 【变式4.2】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 模块二 函数构造进阶 1．指对函数的构造 (1)含ex型函数的构造 形如f(x)ex+g(x)≥0可以考虑变形成或者，通过构造新函数或者来处理. (2)含lnx型函数的构造 形如f(x)lnx+g(x)≥0可以考虑变形成，通过构造新函数来处 理. 2．双变量函数的构造 一个函数中有两个变量时，常用的转化方法为： (1)可转化为. (2)还可转化为函数单调递增. (3)可转化为. 【题型5 指数型函数的构造】 【例5.1】（24-25高三上·河南·期中）若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 对数型函数的构造】 【例6.1】（2024高三·全国·专题练习）已知对于，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型7 双变量函数的构造】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【例7.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【变式7.1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【变式7.2】（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数仅有两个零点时． ①求实数的取值范围； ②求证：． 一、单选题 1．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南娄底·二模）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足：，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 的取值范围是 . 14．（2024·全国·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 16．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求证：； (2)当，时，求证：． 17．（2024·云南·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的极小值； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 18．（24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 19．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 函数构造初步与进阶 【人教A版2019】 模块一 函数构造初步 1．分离参数法 利用分离参数法解决恒（能）成立问题时，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (1)恒成立问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 对任意x∈(a,b)，f(x)>m恒成立 f(x)min>m 对任意x∈(a,b)，f(x)<m恒成立 f(x)max<m 对任意x∈(a,b)，f(x)>g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]min>0 对任意x∈(a,b)，f(x)<g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]max<0 (2)存在性问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 存在x∈(a,b)，使得f(x)>m成立 f(x)max>m 存在x∈(a,b)，使得f(x)<m成立 f(x)min<m 存在x∈(a,b)，使得f(x)>g(x)成立 [f(x)-g(x)]max>0 存在x∈(a,b)，使得f(x)<g(x)成立 [f(x)-g(x)]min<0 2．带参求导法 如果无法分离参数，可以考虑利用带参求导法来研究导数问题，对参数或自变量进行分类讨论，对函数进行求导，研究函数的单调性、极值与最值之间的关系，利用导数来求解． 3．构造函数法 (1)利用导数来比较几个数的大小时，如果没有给出具体的函数，通常需要我们构造函数，求导，研究函数的单调性，借助函数的单调性来比较大小. (2)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. 【题型1 分离参数法】 【例1.1】（2024·四川达州·二模）当时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C．，e] D． 【解题思路】恒成立问题一般采用分离参数的方法，进而转化成求函数的最值即可. 【解答过程】当 时, 不等式显然成立, 当 时, 由题意可得 则有 . 则 设，， 则，所以在上单调递增， 所以， 所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 所以 , 所以 故选：C. 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【解答过程】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A. 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【解答过程】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【解答过程】由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 故选：D. 【题型2 带参求导法】 【例2.1】（2024·黑龙江大庆·一模）已知函数，若对任意的，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导函数，当时推出矛盾，当时求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最大值，即可得解. 【解答过程】因为，，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意； 当时，则当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 所以， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 则， 即的最大值为. 故选：C. 【例2.2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得，分、、，讨论函数的单调性及最值，即可得答案. 【解答过程】解：因为， 所以， 又因为， 所以当时，，在上单调递减， 所以，不满足题意； 所以， 令， 则， 令，得， 当，即时，在上恒成立， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 则，满足题意； 当，即时， 当时，，则，即单调递减， 当时，，则，即单调递增， 又因为， 假设存在唯一，使成立，则必有， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，必有，不满足题意； 综上，. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)恒成立，求a的取值范围． 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）整理可得，令，可得对任意恒成立，构建，利用导数求最值即可得得解. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为的定义域为，若， 可得，整理可得， 构建，则， 可知在内单调递增，则， 令，则对任意恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以a的取值范围为. 【变式2.2】（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【解题思路】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解. （2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可. 【解答过程】（1）当时， 所以 令在恒成立，所以函数在单调递增，且 ， 所以当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，无极大值； （2）当时， 所以． 令在恒成立 所以函数在单调递增， 且当时，；当时，， 所以函数在存在唯一零点， 即， 且当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增, 所以函数在处取得极小值, 也为最小值， 要证不等式成立， 即证成立， 即 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【题型3 构造函数法——比较大小】 【例3.1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【解答过程】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【解答过程】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 【变式3.1】（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【解答过程】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可. 【解答过程】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B. 【题型4 构造函数法——证明不等式】 【例4.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）设函数 (1)若恒成立，求实数的取值范围 (2)若求证：在时 【解题思路】（1）条件可转化为，利用导数求函数的最大值可得结论； （2）要证明只需证明，再利用导数判断函数的单调性求其取值范围即可证明结论. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 不等式可化为，，即， 由已知在上恒成立，所以， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （2）当时，要证， 只需证，即证， 令 ，， 只需证， ∵ ，而，在上单调递增， ∴在上单调递增， 又 ， ∴在 内存在唯一的零点， 也即在上有唯一零点，设的零点为， 则 ，即 ， 由的单调性知， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时， ， 又 ， ， 即当时，. 【例4.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【解题思路】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【解答过程】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【变式4.1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，当时，有极大值． (1)求实数a，b的值； (2)当时，证明：． 【解题思路】（1）利用极大值的定义可得即可求解； （2）令，要证，即证，即证，令，利用导数分析的单调性及最值，继而即可求解. 【解答过程】（1）， 又当时，有极大值， 所以，解得. （2）令，要证，即证， 由（1）知，即证，即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，即. 故当时，. 【变式4.2】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【解题思路】（1）由导数确定单调性得极值点； （2）由（1）不等式转化为，引入函数令，由导数求得最小值后可证． 【解答过程】（1）由，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极大值点，即． （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以． 模块二 函数构造进阶 1．指对函数的构造 (1)含ex型函数的构造 形如f(x)ex+g(x)≥0可以考虑变形成或者，通过构造新函数或者来处理. (2)含lnx型函数的构造 形如f(x)lnx+g(x)≥0可以考虑变形成，通过构造新函数来处 理. 2．双变量函数的构造 一个函数中有两个变量时，常用的转化方法为： (1)可转化为. (2)还可转化为函数单调递增. (3)可转化为. 【题型5 指数型函数的构造】 【例5.1】（24-25高三上·河南·期中）若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可. 【解答过程】由题设，显然，由， 即，即， 设，，则， 而，则函数在上单调递减，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 又，所以a的取值范围是. 故选：B. 【例5.2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】原不等式恒成立转化为，两边同乘以后可同构函数， 由其单调性可化为恒成立，利用导数求出的最大值即可得解. 【解答过程】由恒成立可得，即恒成立， 由，可得恒成立， 令，则， 由知，函数单调递增， 所以恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以只需，即. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】令，可得，于是问题转化为函数与直线和的图象分别有两个不同的交点，然后作出函数的图象，观察图象即可得解． 【解答过程】令，可得，所以或， 易知不是方程的根，所以或， 令函数，则， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，时，，时，， 作函数图象如下， 由图可知方程有两个不同的根， 由题意可得方程有4个不同的根， 所以方程即有两个不同的实数根，且与方程的根不重合， 即函数与直线的图象有两个不同的交点， 由图象可知，要使函数与直线的图象有两个不同的交点， 则需且，即且， 又，所以， 结合别的选项可知，实数a的取值可以为. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可. 【解答过程】已知，由得，， 构造函数则是R上的增函数，则由得：， 即，令， ， 当则单调递减， 当，则单调递增， ∴，则又则. 故选：C. 【题型6 对数型函数的构造】 【例6.1】（2024高三·全国·专题练习）已知对于，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解. 【解答过程】由已知，， 即，即， 设，函数，即恒成立， 又函数在上单调递增，且， 即， 即，， 设，， 则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取最小值为， 即， 故选：C. 【例6.2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可. 【解答过程】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 又，所以，即，所以. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解. 【解答过程】因为，由，得到，即， 令，则，因为，所以在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又， 所以，可得，即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选D. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同构法将题给不等式转化为，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得的最大值． 【解答过程】当时，． 设，则对恒成立， 则在上单调递增， 则． 设，则． 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为． 故选：C． 【题型7 双变量函数的构造】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【解题思路】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【解答过程】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得 ②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【例7.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【解题思路】（1）对函数求导，分和研究函数的单调性，根据零点个数数形结合求解参数范围即可； （2）令，将证明问题转化为，令，即证，构造函数，利用导数法研究单调性，即可得证. 【解答过程】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【变式7.1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解； （ii）由（i）得，化简计算可得 ，令，利用导数求出即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 【变式7.2】（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数仅有两个零点时． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【解题思路】（1）对函数求导，对参数分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解； （2）①分类讨论，利用函数单调性讨论零点问题； ②构造新函数讨论与大小关系，利用在上单调性，证明结论. 【解答过程】（1）定义域为，且， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或， 当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即时，在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）①时，只有一个零点； 当时，在上单调递增，在上恒小于0，不存在两个零点； 当时，时，，在上单调递减，在上单调递增，不存在两个零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减； ，当且 此时函数有两个零点.∴. ②证明：设，由①知， ∵为零点，∴， ∴， ∴， 令， ， 当时， ∴在上单调递减， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在上单调递减， ∴， ∴. 一、单选题 1．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 【解题思路】由条件转化为求函数，的最小值，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【解答过程】由条件不等式可知，， 设，， 则，令，得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以或，， 所以函数的最小值为，则，即， 所以的最小值为1. 故选：B. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数证明，可得，利用导数证明，可得，又，从而可得结论. 【解答过程】， 令，求导可得， 所以在上单调递减，所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，所以， 所以，即，所以． 故选：A. 3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意为方程的根，令，有，又在上单调递增，得，即可得解. 【解答过程】由题知方程，即，即的根为. 因为，所以，所以，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选：D. 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，由互为反函数函数图象关系可得有两解， 即有两个根，最后由函数图象与直线有两个交点可得答案. 【解答过程】由题意得 ，即方程有两个不等根， 函数与图象有两个不同交点， 与互为反函数，则两函数图象关于对称， 则与图象的交点都分布在直线上，问题等价于与有两个不同交点，即有两根， 即函数图象与直线有两个交点. 设，则，令， 则在上单调递增，在上单调递减，. 又， 可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点， 需满足. 故选：C.    5．（2024·湖南娄底·二模）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可. 【解答过程】由成立，可得， 设， 则存在，使得成立， 即， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足：，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合函数单调性的定义结合题设易得函数在上单调递增，进而构造函数，，利用导数分析单调性可得，构造函数，，利用导数分析单调性可得，进而结合函数的单调性即可判断. 【解答过程】由题意，任取，且，则，， 所以， 即，所以函数在上单调递增， 由， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 所以， 则，即. 由， 设，，则， 因为，所以，则， 而，则， 所以，则函数在上单调递减， 所以， 则，即. 综上所述，， 又函数在上单调递增，则. 故选：B. 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】构造函数，即可根据单调性求解（1），根据，即可求导求解（2），根据求导即可判定（3），结合（1）的结论以及的单调性即可求解（4）. 【解答过程】（1）正确;因为令在上是增函数， 当时，，，即. （2）错误；因为令 时，单调递增，时，单调递减.与无法比较大小. （3）错误；因为， 时，单调递增，时，单调递减.所以无法确定的大小，故（3）错误， （4）正确;因为时，，单调递增， 又（1）正确， ， 故选：B. 8．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【解答过程】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】记，可得的单调性，构造，求导可得的单调性，进而可得的大小关系. 【解答过程】记，易知为上的增函数． 记，则． 令，得，故在上单调递增， 令，得，故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，，即． 由，，则， 可得或或． 故选：ABC. 10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设构造函数，利用导数运算得在上单调递增，从而利用单调性得，，，，即可比较四个选项式子的大小. 【解答过程】令， 对于任意的， 所以在上单调递增， 所以 ，A不对； ，B正确； ，C正确； ，D不对． 故选：BC. 11．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【解题思路】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD. 【解答过程】由，得， 则，，， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增， ∴，即，故A正确， 由，若，则， 此时，，，B错误； 所以，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【解题思路】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【解答过程】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 的取值范围是 . 【解题思路】通过，确定函数图像过第一、三、四象限，进而将问题转化成当时，恒有，再通过参变分离求最值即可求解. 【解答过程】显然， 当时，可知，对任意实数，由指数函数、幂函数的增长速度可判断：， 又的图像为一条连续不断的曲线，可判断的图像必过第一、三、四象限， 故当时，恒有，即， 即，当时恒成立， 令，得, 因为，所以，单调递增， 当时，， 所以. 故答案为：. 14．（2024·全国·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】由题意得，构造函数与，利用导数分别求两函数的值域，再分类讨论将问题转化为值域间的包含关系，进而建立关于的不等式求解可得. 【解答过程】由得. 设，. 则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 设，. 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 若，则，故值域， 且恒有. 由题意对任意，都存在，使得. 但当时，恒有， 即不存在，使得，故， 所以，则函数的值域为， 要使对任意，都存在， 使得，即， 则需的值域，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【解题思路】（1）由得到，令导数大于零、小于零、，即可求出单调区间； （2）先由题意得的最小值大于等于零恒成立.对进行分类讨论，当时，易知当时，，不符合题意；当时，，转化为恒成立；令，用导数的方法研究其单调性与最值，即可求出结果. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 16．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求证：； (2)当，时，求证：． 【解题思路】（1）首先根据不等式构造函数，再利用导数判断函数的单调性，最值，即可证明不等式； （2）讨论，和时，利用不等式放缩，即可证明. 【解答过程】（1）当时，，．令，， 则． 令，则；令，则； 在上单调递增，在上单调递减， ， ． （2）令，则只需证明． ①当时，； ②当时，， 在上单调递增， ； ③当时，． 综上可知，当，时恒成立． 17．（2024·云南·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的极小值； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数研究的单调性，求出极值即可； （2）将条件参变分离后转化为有两个不相等的实数根，即与函数的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性、值域即可求解. 【解答过程】（1）由题可知：函数的定义域为， 当时，， 所以， 令，解得 则，，的变化情况如下表. 0 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为； （2）因为，且关于的方程有两个不相等的实数根， 所以有两个不相等的实数根， 当时，显然不成立； 当时，即有两个不相等的实数根， 令，，则， 令，解得， 当时，；当 时，； 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处可以取到最小值， 又由的零点仅有，且当趋近于0时，趋近于0， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18．（24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 19．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）当时，得出，将问题化为证，构造函数并证明其单调性，得出，即可得出结论； （2）写出表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围. 【解答过程】（1）由题意证明如下，， 在中，， 当时，，要证，只需证， 令，则， 令，得， 所以当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由题意及（1）得，，， 在中， ， 令，由题意，在时恒成立， 设，， 则， 令， 当时，， 所以，在上单调递减， 所以，符合题意， 当时，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，且时，，即， 所以在上单调递增，所以，不符合题意， 综上所述，的取值范围为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$