条件概率与全概率公式专项训练-2025届高三数学二轮专题复习

条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高二上·河南焦作·期末）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件表示“恰有4名研究员在A舱”，事件表示“甲和乙在A舱”， 则，， 则. 故选：A. 3．（24-25高三下·江西·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 5．（24-25高三上·辽宁大连·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有， 故概率为， 故选：B 6．（24-25高三下·福建·阶段练习·多选）已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，，，，，则，互为对立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 7．（2025·云南昆明·一模·多选）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，，， 所以，故A正确； ，故B正确； 因为， 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 8．（24-25高三上·江苏·期末·多选）设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（    ） A．，互斥 B．与B相互独立 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意，是互斥的事件，故A正确； ，，，故C正确； ，，故D错误， ，，所以， 所以与B不相互独立，故B错误. 故选：AC 9．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 【答案】 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 10．（24-25高三上·天津·期末）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ． 【答案】 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且, ，，， 设任取一件产品，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为 , 故答案为：； 11．（24-25高三上·天津南开·期末）已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 【答案】 ； ． 【详解】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，由题意， 则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 , 记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件， 则， ， ， 故答案为：；． 12．（2024·四川成都·模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则，， ， 即此人至少得到一张红色卡片的概率为. （2）由题可得 ， 即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为. 13．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）比赛进行了三局，即前两局比赛中甲乙各赢一局，设事件“比赛进行三局”， ； （2）设事件“甲获胜”， ． 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 2．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”， 则， 又． 故选：C. 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 【答案】C 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，，且，， 则 . 故选：C 6．（24-25高三上·辽宁·期中·多选）为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（   ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C．第二次投篮的人是甲的概率为 D．设第次投篮的人是甲的概率为，则 【答案】BCD 【详解】掷两枚硬币向上的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有种情况， 记事件：向上的结果一正一反，记事件：向上的结果同正或同反，则，故选项A错误， 对于B选项，设事件：第一次投篮的人是甲，事件：第二次投篮的人是乙， 则,， 则，所以B选项正确， 对于C选项，第二次投篮的人是甲的概率为，所以C选项正确， 对于D选项，由已知，当时，，即，所以D选项正确； 故选：BCD. 7．（24-25高三上·江苏南京·开学考试·多选）对于随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：， 所以：. 所以.故D正确. 故选：BCD 8．（24-25高二上·吉林长春·期中·多选）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 9．（24-25高二上·云南昆明·期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是 ；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是 . 【答案】 【详解】周先生到达会议室心到的概率为：； 若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是： ； 故答案为：①；②. 10．（24-25高三上·江西萍乡·阶段练习）这次月考五有8道单选题，你朋友童同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅随机猜，你恰好看到了她一道题的答案，这个答案是正确的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件A表示“恰好看到这道题小张的答案是正确的”， 设事件表示“恰好看到的这道题小张有思路”，则恰好看到了小张一道题的答案， 这个答案是正确的概率为， 故答案为： 11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. (1)求白球和黑球各有多少个； (2)求第二次取出白球的概率； (3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 【答案】(1)袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4 (2) (3) 【详解】（1）设黑球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此，， 所以，袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4. （2）记事件A：第二次取出白球，则 （3）事件：第一次取出黑球，则. 12．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为， 所以从乙箱中摸出白球的概率为. （2）由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是 . 【答案】 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，则， 则， 于是，， 由，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以第次投篮的人是甲的概率为. 故答案为： 2．（23-24高二下·河南郑州·阶段练习）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同均为，设蚂蚁移动次还在底面内记为，求蚂蚁移动5次后还在底面的概率为 ； 【答案】 【详解】设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，则， 当时，表示第次在平面的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率. 因为由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为， 则，整理可得， 且，可知是以首项为，公比为的等比数列， 可得，即， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（）， 则当时， ， 所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 4．（23-24高二下·辽宁·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球；则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以， 又，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 即. 故答案为：. 5．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打． 因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丁对打． 第2轮比赛甲、丁对打的概率为． 若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁，丙胜乙，或丁胜甲，乙胜丙． 故所求概率为． （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， ①． 在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第n轮比赛中，甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打， 所以②．同理可得③，④ 由①②可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ③-④得，设，则， 因为，所以，即， . （3）设在第n轮比赛中，甲获胜的概率为，． 6．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况． 星期t 1 2 3 4 5 销售量y（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：，，． (1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为． ①求、及； ②求及的最值． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)① ，，；②答案见解析 【详解】（1）由题意，， 则， . 所以关于的经验回归方程为. （2）①由题意，可知， ， ， （求解另一种方法：） ②当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为. 7．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 8．（24-25高三上·广东·开学考试）某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为． (1)求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率； (2)求王同学第天选择餐厅用餐的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“王同学第天选择餐厅”． ． 由全概率公式，得，解得． 设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，则， 因此． （2）设“王同学第天选择餐厅”，则， 由题与（1）可得． 由全概率公式，得． 则，又因为， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 因此，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高二上·河南焦作·期末）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江西·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁大连·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·福建·阶段练习·多选）已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 7．（2025·云南昆明·一模·多选）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏·期末·多选）设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（    ） A．，互斥 B．与B相互独立 C． D． 9．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 10．（24-25高三上·天津·期末）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ． 11．（24-25高三上·天津南开·期末）已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 12．（2024·四川成都·模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 13．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 2．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 6．（24-25高三上·辽宁·期中·多选）为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（   ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C．第二次投篮的人是甲的概率为 D．设第次投篮的人是甲的概率为，则 7．（24-25高三上·江苏南京·开学考试·多选）对于随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林长春·期中·多选）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南昆明·期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是 ；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是 . 10．（24-25高三上·江西萍乡·阶段练习）这次月考五有8道单选题，你朋友童同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅随机猜，你恰好看到了她一道题的答案，这个答案是正确的概率为 ． 11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. (1)求白球和黑球各有多少个； (2)求第二次取出白球的概率； (3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 12．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是 . 2．（23-24高二下·河南郑州·阶段练习）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同均为，设蚂蚁移动次还在底面内记为，求蚂蚁移动5次后还在底面的概率为 ； 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 ． 4．（23-24高二下·辽宁·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球；则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 ． 5．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 6．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况． 星期t 1 2 3 4 5 销售量y（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：，，． (1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为． ①求、及； ②求及的最值． 参考公式：，． 7．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 8．（24-25高三上·广东·开学考试）某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为． (1)求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率； (2)求王同学第天选择餐厅用餐的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$