平面向量专项训练-2025届高三数学二轮专题复习

平面向量专项训练 平面向量专项训练 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 3．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 6．（24-25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 7．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 考点二 平面向量的数量积 1．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山东·开学考试）已知实数，向量的模都等于，且，则（   ） A．1 B．5 C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 5．（24-25高三下·江西·开学考试）已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．2 8．（24-25高三上·山东聊城·期末）已知向量满足，则 ． 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则 ． 11．（24-25高三上·青海·期末）已知向量满足，且，则的夹角的余弦值为 ． 12．（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 13．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 14．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知向量，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知向量，，若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．（24-25高三上·河北·期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 7．（2025·福建厦门·一模·多选）已知平面向量，，则（   ） A．，不可能垂直 B．，不可能共线 C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为 8．（24-25高三上·广东·期末·多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知为坐标原点，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 10．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，若，则 . 11．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则 ． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 13．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 考点四 向量新定义 1．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. (1)求，； (2)（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 2．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的. (1)判断向量组，，是否线性相关. (2)已知函数，，且恒成立. ①求的值； ②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，. 3．（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）对于任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量，求； (2)若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值. 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． (1)已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； (2)若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； (3)将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$平面向量专项训练 平面向量专项训练 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由向量，共线，得，而向量，不共线， 因此，解得. 故选：D 3．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 故选：C. 5．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 6．（24-25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 7．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】是线段上一点，三点共线， ，且， ， 当且仅当即时取等号． 的最小值为9． 故答案为：9． 考点二 平面向量的数量积 1．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 由，得，则， 而为单位向量，所以. 故选：C 2．（24-25高三下·山东·开学考试）已知实数，向量的模都等于，且，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又， 所以设且， 所以，，即， 故，且，因此. 故选：D. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 5．（24-25高三下·江西·开学考试）已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ． 故选：D． 6．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因为，所以，即，故B正确. 故选：B 7．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】． 故选：A； 8．（24-25高三上·山东聊城·期末）已知向量满足，则 ． 【答案】2 【详解】由，得，整理得， 所以. 故答案为：2 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 【答案】 【详解】因为，平方可得：， 所以，则． 故答案为： 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 11．（24-25高三上·青海·期末）已知向量满足，且，则的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以，解得． 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【详解】设，如图： 因为，则的终点构成的三角形为正三角形， 分别过点作的垂线，垂足为，E为的中点，显然， 则O点在的边上或其外部时才可能取最大值，即当重合时，等号成立； 此时结合，可知， 设， ，则，则， ，， 故当，即时，取最大值2， 故答案为：2. 13．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 14．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知向量，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 所以，又，所以， 故选：A. 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，所以． 故选：A 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：A. 4．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， ， 则， 解得． 故选：D． 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知向量，，若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由得，得， 故选：C 6．（24-25高三上·河北·期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由投影向量的几何意义，，所以. 故选：D. 7．（2025·福建厦门·一模·多选）已知平面向量，，则（   ） A．，不可能垂直 B．，不可能共线 C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】，A选项正确； 若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误； ，所以，C选项正确； 若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确； 故选：ACD． 8．（24-25高三上·广东·期末·多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，， 对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以， ，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知为坐标原点，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 【答案】BC 【详解】对A，,所以， 所以方向的单位向量为,A错误； 对B，设，因为， 所以， 所以，解得，所以点的坐标为，B正确； 对C，, 所以， 因为，所以，即，C正确； 对D，在上的投影的数量，D错误； 故选:BC. 10．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，若，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得， 所以. 速解 ，所以存在实数，使得， 所以，所以，则，解得， 所以. 故答案为： 11．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影坐标为. 故答案为： 13．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 考点四 向量新定义 1．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. (1)求，； (2)（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【详解】（1）， 当时，；当时，；当时，；当时，， ； ， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， . （2）（i）设中元素的个数为， ，， 为偶数时，，且， ， 中的元素个数为. （ii）①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； ； 要使得成立，其必要条件是当时，， 令，则， 数列为递增数列，又，， 的解为； 当时，， 即充分性成立； 使得成立的最大正整数. 2．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的. (1)判断向量组，，是否线性相关. (2)已知函数，，且恒成立. ①求的值； ②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，. 【答案】(1)，，是线性无关的 (2)①；②证明见详解 【详解】（1）若，，线性相关，则存在不全为零的3个实数，使得， 因为，，，则， 可得，解得， 故假设不成立，所以，，是线性无关的. （2）①令，则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，可得，解得； 若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，符合题意； 综上所述：； ②由①可知：，则，， 则， 可得， 又因为， 则， 即，，则， 可得， 因为，且为递增数列，则， 可得为递增数列，则， 综上所述：. 3．（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 即. （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 【答案】(1)4，3 (2)， (3)证明见解析 【详解】（1），故， ，故； （2），于是 ， 由一次函数单调性可知，当时，. （3）， 因为， 所以，， 所以，，， 所以. 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）对于任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量，求； (2)若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . （2）由， ， . ， 故与夹角的余弦值为. 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． (1)已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； (2)若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； (3)将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：， 点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转即等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转， 可得， 则，即点P的坐标. （2）设为曲线上任一点，则，， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到， 即在曲线上， 则， 整理可得 又因为，则，可得， 且，则，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 所以曲线的方程为. （3）对于曲线，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 设为切线上任一点， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 即，可得， 则， 整理可得， 可知为曲线的切线， 假设曲线和有公切线， 即存在，使得， 可得，整理可得， 构建， 则， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：对任意恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内有且仅有一个零点，所以和有且仅有一条公切线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$