二项式定理专项训练-2025届高三数学二轮专题复习

二项式定理专项训练 二项式定理专项训练 考点一 型展开式 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 2．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 3．（2024·河南信阳·二模）展开式中第3项的系数是（   ） A．90 B． C． D．270 4．（24-25高三上·安徽·期末）的展开式中的常数项为（   ） A． B． C．192 D．240 5．（24-25高三上·辽宁·期末）二项式的展开式中，项的系数为 . 6．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 7．（24-25高三下·湖北·开学考试）的展开式中的系数为 ． 8．（24-25高三上·安徽宣城·期末）二项式的展开式中的系数是 ． 考点二 型展开式 1．（24-25高三上·河南南阳·期末）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 3．（24-25高三上·山西·期末）的展开式中的常数项为（   ） A．8 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 5．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 6．（24-25高三下·江西·开学考试）若的展开式中的系数是20，则实数的值为 ． 7．（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 8．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 考点三 型展开式 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 2．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 3．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 4．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 6．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 7．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 . 考点四 型展开式（系数和） 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末·多选）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 2．（24-25高二上·江西·期末·多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃定西·期末·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 5．（24-25高二上·辽宁·期末·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 6．（24-25高三上·广东潮州·期末·多选）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 7．（24-25高三上·甘肃·期末·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·吉林延边·阶段练习·多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 考点五 二项式定理的性质 1．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 3．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 4．（24-25高三上·重庆·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 6．（24-25高三上·浙江·阶段练习）的展开式中的所有项的系数之和是 ． 7．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 ． 8．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 考点六 二项式定理的应用 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 5．（24-25高二上·江西南昌·期末）设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 6．（24-25高三上·广西河池·期末）被15除所得余数为 ． 7．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 . 8．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 9．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 10．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$二项式定理专项训练 二项式定理专项训练 考点一 型展开式 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】C 【详解】的通项为令，故， 所以含项的二项式系数为， 故选：C 2．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】的展开式中的系数为, 故选：B 3．（2024·河南信阳·二模）展开式中第3项的系数是（   ） A．90 B． C． D．270 【答案】A 【详解】展开式的通项为.则，所以第3项的系数是. 故选：A. 4．（24-25高三上·安徽·期末）的展开式中的常数项为（   ） A． B． C．192 D．240 【答案】D 【详解】展开式的通项为，， 故当，即时，得展开式的常数项为，故选：D 5．（24-25高三上·辽宁·期末）二项式的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，故项的系数是. 故答案为：. 6．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 【答案】 【详解】因为的展开式的通项公式， 令，则，所以展开式的第8项是 . 故答案为: . 7．（24-25高三下·湖北·开学考试）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得的系数为 ， 故答案为： 8．（24-25高三上·安徽宣城·期末）二项式的展开式中的系数是 ． 【答案】15 【详解】二项式的展开式的通项为， 令解得，所以展开式中的系数是， 故答案为：15 考点二 型展开式 1．（24-25高三上·河南南阳·期末）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为.而，所以的系数为为. 故选：C. 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【详解】的通项为，所以的展开式中的项为，则系数为10. 故选：B. 3．（24-25高三上·山西·期末）的展开式中的常数项为（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式的常数项为. 故选:C. 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 【答案】A 【详解】因为展开式通项，， 所以展开式为 故选：A. 5．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 【答案】15 【详解】的通项公式为：， 所以的展开式中常数项是：, 故答案为：15 6．（24-25高三下·江西·开学考试）若的展开式中的系数是20，则实数的值为 ． 【答案】6 【详解】的展开式中的系数是． 故答案为：6 7．（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ，故的系数为， 故答案为： 8．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 【答案】14 【详解】解：展开式的通项为， 则的展开式中常数项为 故答案为：14 考点三 型展开式 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【详解】由题设，含的项为.所以的系数为. 故选：D 2．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 4．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 5．（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 【答案】672 【分析】利用二项式定理求的系数即可. 【详解】由题设，含的项为,故其系数为． 故答案为：672. 6．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】易得展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 【答案】5040 【分析】根据计数原理确定展开式中含的项，即可得出答案. 【详解】的展开式中，含有的项是， 所以项的系数是5040， 故答案为： 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】分析找到满足题意的项，化简即可得到结果． 【详解】根据题意，展开式中的项为则的系数为： 故答案为：. 考点四 型展开式（系数和） 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末·多选）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 2．（24-25高二上·江西·期末·多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：令得，A选项错误； 对B：，B选项正确； 对C：令得，又， 所以，C选项错误； 对D：令得， 又，所以，D选项正确； 故选：BD. 4．（24-25高二上·甘肃定西·期末·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 【答案】ABD 【详解】对A：令，可得，故，A正确； 对B：，所以，B正确； 对C：令，可得，则，C错误； 对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高二上·辽宁·期末·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【详解】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 6．（24-25高三上·广东潮州·期末·多选）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 【答案】AC 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，通项公式为，令可得， 令可得，故，故B错误； 对于C，令可得，令，可得， ，故C正确； 对于D，当时， 所以除以8的余数是1，故D错误． 故选：AC 7．（24-25高三上·甘肃·期末·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，得， 令，得， 所以， 所以A正确；B正确； 令，则，所以， 因为二项式的展开式的通项公式为，， 所以，故C不正确； 令，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高三上·吉林延边·阶段练习·多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A:令，则， 令，则，所以，A,D选项正确； 对于B:令，则，B选项正确； 对于C:令，则，C选项错误； 故选：ABD. 考点五 二项式定理的性质 1．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 则，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得， 所以含项的系数为. 故选：A. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 【答案】B 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 3．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 4．（24-25高三上·重庆·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是. 故选：B. 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 6．（24-25高三上·浙江·阶段练习）的展开式中的所有项的系数之和是 ． 【答案】 【详解】在中，令，故展开式中的所有项的系数之和为， 故答案为： 7．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共7项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 8．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【答案】12 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 考点六 二项式定理的应用 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】对于①，因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，65被7除所得余数也为2，所以．①正确． 对于②，若正整数能被13整除，则能被13整除，所以；若正整数不能被13整除，由费马小定理得，，则．②正确． 对于③，若正整数能被7整除，则能被7整除，所以；若正整数不能被7整除，由费马小定理得，即，又，所以．③正确． 对于④，当不能被5整除时，由费马小定理得，即，又，所以．④错误． 故选：C． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法， 则 且能被整除， 所以，除的余数为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 5．（24-25高二上·江西南昌·期末）设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 6．（24-25高三上·广西河池·期末）被15除所得余数为 ． 【答案】1 【详解】， 而是15的倍数， 所以被15除所得余数为1. 故答案为：1 7．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 . 【答案】1 【详解】由题 ， 因为可以被10整除， 所以被10除的余数为1. 故答案为：1. 8．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【详解】由 . 故答案为：. 9．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 10．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$