8.1.1平方根（第1课时平方根）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第八章 实数 8.1 平方根 第1课时 平方根 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯. 3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆. 重点：平方根的概念及平方根的求法. 难点：求非负数的平方根. 情景导入 “西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少? 问题 1：你算出的边长是多少? 问题 2：你是怎样算出这个边长的? 面积＝边长×边长 边长为 2 m 通过正方形的面积公式反推出来 问题 3：因为正方形边长的平方等于这个正方形的面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为 2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢? 这个数是唯一的吗? 请大家带着问题进行探究. 新知探究 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题 2：填写下表： x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 3或－3 思考 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 概念归纳 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 互为逆运算 平方运算 开平方运算 探究 – 1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 平方 –1 + 1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 开平方 32 = 9 (-3)2 = 9 02 = 0 (±3)2 = 9 02 = 0 思考1：观察以上内容你有什么发现? 例题讲解 分别求下列各数的平方根： 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64， 所以 64 的平方根是 ±8； (1) 64； (2) 因为 = ， (2) (3) 0.01. 所以 的平方根是 (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1. 例1 思考3：0 的平方根是多少? 思考2：1，4，9， 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少? 没有平方根 0 ±1，±2，±3，± 有两个平方根，且互为相反数 思考 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0。 负数没有平方根。 概念归纳 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 被开方数 读作“正、负根号 a ”. 即正数 a 的平方根表示为： 0的平方根记为 。 例如： 表 示9的平方根， 想一想：如何表示一个正数的平方根呢？ 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由 (1) 0.36; (2) -5; (3) (-4)2. 解： (1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根。 (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根。 (3) 因为(-4)2 =16是正数，所以(-4)2有两个平方根。 例题讲解 例2 例题讲解 例3 求下列各式的值： (1)±； (2) ；(3) － . 解题秘方：先明确式子的意义，然后求解 . 解：(1)±表示1的平方根. ∵ ±()2==1，∴ ±=±. 例题讲解 (2) 表示412－402 的算术平方根. ∵ 412－402=81，92=81， ∴ = =9. 被开方数412－402 是一个整体，首先要将412－402 化简，再去计算它的算术平方根. (3) － 表示16的负的平方根. ∵(-4) 2=16，∴ - =-4. 课堂练习 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 2.求下列各数的平方根： (2) 62 (3) 0.49 解： (2) 因为62=36 ，(±6)2=36，所以62的平方根是±6。 (1) 因为 ，所以 的平方根是 。 (3) 因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7。 3.求下列各式中x的值： (1) x2 = 25； (2) 9x2 = 4； (3) (x-1) 2 = 1； 解： (1) 因为(±5) 2 = 25 ，所以x =±5。 (2) 9x2 = 4 可化简为 ，又因为 ，所以 。 (3) 因为(x-1) 2 = 1，则 x-1=±1，所以x = 0 或 x = 2。 分层练习 基础题 1.[2024·内江] 16的平方根是( ) D A.2 B. C.4 D. 2.“的平方根是 ”用式子表示为( ) B A. B. C. D. 3.下列数中没有平方根的是( ) D A.0 B.2 C. D. 4.若的平方等于5，则 等于( ) C A. B.25 C. D. 21 5. 的平方根的数学表达式是( ) D A. B. C. D. 6. [2024泉州期末] 平方根等于它本身的数是( ) A A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 22 7. 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】 ， . . 或 . 23 （2） ； , . . 或 . 24 （3） ; , . . 或 . 25 （4） . , . . 或 . 26 8.已知的平方根为，的平方根为 ， 求 的平方根. 【解】的平方根为 ， . . 的平方根为 ， . 易得 . . 的平方根为 . 27 综合应用题 9.下列各数中,一定没有平方根的是( ) D A. B. C. D. 10.已知和7是正数的两个平方根，则 的值是( ) D A.3 B.49 C.4 D. 11.一个自然数的一个平方根是 ，则与它相邻的下一个自然数的平方根 是( ) D A. B. C. D. 12.[2024南充月考] 如果， 分别是2 025的两个平方根，那 么 ___. 1 【点拨】由题意，得 ， . 29 13.观察下列几个等式： ； ； ， 则 _______________. 30 14.求下列各式的值： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . 31 （3） ; 【解】原式 . （4） . 原式 . 32 15.【观察】 ，；， . 【推理】 （1）若，则 __________； （2）若，则 ____. 33 【应用】 （3）已知， . ①， 的值； ， ， ， ， 或， . 34 ②若，同号，求 的值. 【解】由， 同号可知， 当，时， ； 当，时， . 的值为 或2. 35 创新拓展题 16.小明制作了一张边长为 的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长 方形信封如图所示，长、宽之比为 ，面积为 . （1）求此长方形信封的长和宽. 【解】 长方形信封的长、宽之比为 ， 设长方形信封的长为，宽为 . 由题意，得，解得或 . 又， . 长方形信封的长为，宽为 . 37 （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此 信封吗？请通过计算说明理由. 【解】能.理由如下：， . ，即信封的宽大于正方形 贺卡的边长. 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 38 平方根 概念：如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。 表示方法：正数a的平方根记为： 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 开平方：求一个数的平方根的运算。 平方与开平方互为逆运算 课堂小结 $$