精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

怀仁一中高一年级2024~2025学年上学期期末考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 4是的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. ______． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 13. 已知，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 14. 已知. （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值. 15. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 17. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）求c的值； （2）函数图象中心对称的事实：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立，其中点称为函数图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中高一年级2024~2025学年上学期期末考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题p：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以是：，. 故选：C 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【详解】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为个. 故选：B. 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义，列出不等式组，解之即得. 【详解】由题意知，解得且， 则函数的定义域为． 故选：D． 4. 已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点在区间内可得关于a的不等式组，从而可求a的取值范围. 【详解】因为，故即. 所以在R单调递增，且在内存在零点， 故，即，解得. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】由，则. 故选：B． 6. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 7. 已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； ，，由②，，，故B正确； ③，故C错误； ①③联立解得，所以，，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】对于A，令，得， 因为不恒为0，所以，故A错误； 对于B，令，得， 得，则为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， 则， 则，周期为4，故C正确； 对于D，令，得，，即， 令，得，即关于中心对称， 所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得. 【详解】由题意知． 故答案为：. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为. 故答案为： 13. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 14. 已知. （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简； （2）利用同角三角函数的关系求值. 【小问1详解】 由三角函数诱导公式知： . 【小问2详解】 为第四象限角，且，则， 可得. 15. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】（1） （2）10万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. 【小问2详解】 由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求周期，再由整体代入法求对称轴方程； （2）由角的范围得出的范围，由正弦函数的性质得出值域. 【小问1详解】 ， ，即的最小正周期是. 令， 解得，即的对称轴方程是； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以，即的值域是. 17. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， 定义域为，关于原点对称； 又， 所以为奇函数； （2） 当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可； （2）利用奇函数和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 要使有意义，需满足，解得，故定义域为； 是奇函数； 证明：略 【小问2详解】 由，得． 由（1）知为奇函数，所以，所以. 因为， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递减，则，解得； 当时，在上单调递增，则，解得． 综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）求c的值； （2）函数图象中心对称的事实：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立，其中点称为函数图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得．求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）是，对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可； （2）根据题设可得恒成立，求解即可； （3）由得，进而有，求解即可. 【小问1详解】 由，可得； 【小问2详解】 假设函数图象关于点对称，则在定义域内恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得 所以的图象关于中心对称，对称中心为； 【小问3详解】 对任意，都存在，使得， 所以，则，即， 所以，则， 因为，则， 因为，所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据关系式，将问题化为是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $