第01讲平面向量的概念讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第01讲 平面向量的概念 一、知识点回顾 1.向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量. 注: ①本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素. ③向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小. 2.向量的表示法 (1)有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量的表示方法: ①字母表示法:如等. ②几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段(注意始点一定要写在终点的前面).如果用 一条有向线段表示向量,通常我们就说向量. 3.向量的有关概念 (1)向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量:长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位的向量. 【单位向量的方向可以被规定】 (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 注: ①在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等. ③非零向量与的关系:是与同方向的单位向量. 4.向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线. 注: ①零向量的方向是任意的,注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量. 【补充:平行向量常见应用】 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行,但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 2、 题型归纳 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例题1】下列说法中正确的是( ) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同 C.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上 D.任意两个单位向量都相等 【变式1-1】以下说法正确的是 A.零向量没有方向 B.单位向量都相等 C.共线向量又叫平行向量 D.任何向量的模都是正实数 【变式1-2】下列结论中,正确的是( ) A.零向量只有大小,没有方向 B.若,,则 C.对任一向量,总是成立的 D. 【变式1-3】给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若,则; ③在四边形中,若,则四边形是平行四边形; ④平行四边形中,一定有; ⑤若,,则; ⑥若,,则 其中不正确的命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1-4】(多选题)下列命题中是假命题的是( ) A.若非零向量与平面平行,则所在直线与平面也平行 B.若,则,的长度相等且方向相同 C.若向量,满足,且与同向,则 D.若两个非零向量,满足,则 【变式1-5】(多选题)下列说法中错误的是 A.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上 B.零向量与零向量共线 C.若,则 D.温度含零上温度和零下温度,所以温度是向量 【变式1-6】(多选题)下列说法中正确的是( ) A.若为单位向量,则 B.若与共线,则或 C.若,则 D.是与非零向量共线的单位向量 【题型2 向量的几何表示与向量的模】 【例题2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量: (1),使||=4,点A在点O北偏东45 ; (2),使=4,点B在点A正东; (3),使=6,点C在点B北偏东30 . 【变式2-1】在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量: (1),点A在点O正南方向; (2),点B在点O北偏西方向; (3),点C在点O南偏西方向. 【变式2-2】某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量,,; (2)求 的模. 【变式2-3】小明从学校的教学楼出发,向北走了到达图书馆,后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐,用餐后又从食堂向西走了来到操场运动.请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移. 【题型3 向量相等或共线的判断】 【例题3.1】.如图,设是正六边形的中心,则与不相等的向量为( ) A. B. C. D. 【变式3.1】如图所示,在正中,,,均为所在边的中点,则以下向量中与相等的是 A. B. C. D. 【例题3.2】如图所示,O是正六边形的中心,且,,. (1)与的模相等的向量有多少个? (2)与的模相等且方向相反的向量有哪些? (3)与共线的向量有哪些? (4)请分别列出所有与相等的向量. 【变式3.2】如图,设O是 ABCD对角线的交点,则 (1)与的模相等的向量有多少个? (2)与的模相等,方向相反的向量有哪些? (3)写出与共线的向量. 【题型4 运用向量研究几何图形的性质】 【例题4】若四边形中,,且,则对该四边形形状的说法中错误的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 【变式4-1】已知四边形,下列说法正确的是( ) A.若,则四边形为平行四边形 B.若,则四边形为矩形 C.若,且,则四边形为矩形 D.若,且,则四边形为梯形 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 一、知识点回顾 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. 【单位向量的方向可以被规定】 (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 4．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【补充：平行向量常见应用】 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 2、 题型归纳 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例题1】下列说法中正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同 C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上 D．任意两个单位向量都相等 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：向量与向量的长度相等，A正确； 对于B：两个有共同起点且长度相等的向量，方向可能不同，终点也就不同，B错误； 对于C：向量与是共线向量，只能说明方向相同或者相反，不能推出A，B，C，D四点必在同一直线上，C错误； 对于D：两个单位向量的大小相同，但方向可能不同，D错误. 故选：A. 【变式1-1】以下说法正确的是 A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．共线向量又叫平行向量 D．任何向量的模都是正实数 【答案】C 【难度】0.85 【详解】试题分析：由于向量中规定共线向量又叫平行向量,故应选C. 考点：向量的有关概念. 【变式1-2】下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则 C．对任一向量，总是成立的 D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例，即可判断；D，根据即可判断. 【详解】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误； 对于B，当时，与可以不平行，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【变式1-3】给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】 解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 【变式1-4】（多选题）下列命题中是假命题的是（    ） A．若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行 B．若，则，的长度相等且方向相同 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量，满足，则 【答案】ABC 【难度】0.85 【分析】根据直线和平面的位置关系可判断A；根据向量的定义判断B，C；根据向量的共线的判定定理可判断D. 【详解】对于A，若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面也平行，也可能在平面内，A是假命题； 对于B，若，则，的长度相等，当方向不一定相同，B为假命题； 对于C，向量不能比较大小，故C为假命题； 对于D，两个非零向量，满足，即，则，D为真命题， 故选：ABC 【变式1-5】（多选题）下列说法中错误的是 A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．零向量与零向量共线 C．若，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【难度】0.85 【解析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误； 零向量与任一向量共线，故B正确； 若，则，故C正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题. 【变式1-6】（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或 C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】CD 【难度】0.85 【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误； 对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误； 对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确； 对于D中，由，可得与向量同向， 又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确. 故选：CD. 【题型2 向量的几何表示与向量的模】 【例题2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【难度】0.85 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题. 【变式2-1】在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1）,点A在点O正南方向； （2）,点B在点O北偏西方向； （3）,点C在点O南偏西方向. 【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析 【难度】0.85 【分析】（1）按照题意要求画图即可； （2）按照题意要求画图即可； （3）按照题意要求画图即可； 【详解】解：如图. 【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题. 【变式2-2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【难度】0.85 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题. 【变式2-3】小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【详解】如图所示， 向量表示从教学楼到图书馆的位移； 向量表示从图书馆到食堂的位移； 向量表示从食堂到操场的位移； 向量表示从开始到最后的位移． 【题型3 向量相等或共线的判断】 【例题3.1】．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解. 【详解】由题意，，. 故选：D. 【变式3.1】如图所示，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】由题意先证明且，再利用中点找出所有与向量相等的向量 【详解】解：是的中位线，且， 则与向量相等的有，． 故选：． 【点睛】本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量，属于基础题． 【例题3.2】如图所示，O是正六边形的中心，且，，. （1）与的模相等的向量有多少个？ （2）与的模相等且方向相反的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请分别列出所有与相等的向量. 【答案】（1）23； （2）； （3）； （4）见解析. 【难度】0.85 【分析】由正六边形的性质和向量的基本概念逐个列举可得． 【详解】（1）与的模相等的向量有23个. （2）与的模相等且方向相反的向量有. （3）与共线的向量有. （4）与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量. 【点睛】本题考查向量的基本概念，数形结合并列举是解决问题的关键，属基础题． 【变式3.2】如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． 【答案】(1)三个 (2)， (3)，， 【难度】0.85 【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可； 【详解】（1）解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量． （2）解：与的模相等且方向相反的向量为，. （3）解：与共线的向量有，，. 【题型4 运用向量研究几何图形的性质】 【例题4】若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据向量条件可判断四边形为正方形，据此判断各选项. 【详解】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误. 故选：C. 【变式4-1】已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $$