专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）

专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。 模型01 实数的计算 考｜向｜预｜测 1.实数的计算一般为解答题第1题： 2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合： 3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字. 答｜题｜技｜巧 1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． 2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 3.实数运算的“三个关键” ①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． ②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 4.常见的公式及易错点： （1） 负整数指数幂：（为正整数）； （2）零指数幂： （3）特殊角的三角函数值： ，，， ，，， ，，． （4）常见的易错点： ， （2024•济南）计算：． 1．（2024•乐山模拟）计算：． 2．（2024•五华区校级模拟）计算：． 3．（2024•甘肃二模）计算：． 4．（2024•荷塘区校级模拟）计算：． 5．计算： （1）； （2）． 6．计算： （1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）． 模型02 整式的混合运算与化简 考｜向｜预｜测 1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过 程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题： 2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母： 3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体代人法 答｜题｜技｜巧 1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 4.常用的乘法公式： （1）完全平方公式：； （2）平方差公式：． （2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． 1．（2024•连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2． 2．（2024•镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2． 小明的解答如下： 解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10． 小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答． 3．（2024•北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9． （1）当x＝0时，求P的值； （2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除． 4．（2024•城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0． 5．（2024•城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1． 6．（2024•北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值． 模型03 分式的运算及化简 考｜向｜预｜测 1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找 解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解 2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以内的有理数： 3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还会涉及因式分解。 答｜题｜技｜巧 1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （2024•哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 1．（2025•泗洪县一模）先简化，再求值：，其中． 2．（2024•西城区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5． 3．（2024•深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝1． 4．（2024•平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值． 5．（2024•朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x）•的值． 6．（2024•大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式． 乙同学 解：原式 我选择：　 　同学 7．（2024•开封二模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 模型04 二次根式的计算 考｜向｜预｜测 二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角函数进行综合考查。 答｜题｜技｜巧 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③二次根式的运算结果要化为最简二次根式． ④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （2024•甘肃）计算：． 1．（2024•甘州区二模）计算：4（）2． 2．（2024•临渭区三模）计算：． 3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：，其中a2． 4．（2024•青神县模拟）计算：． 5．计算：． 6．计算： （1）； （2）． 1．（2024•北京）计算：． 2．（2024•青海）计算：tan45°+π0﹣||． 3．（2024•吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中． 4．（2024•重庆）计算： （1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）； （2）（1）． 5．（2024•潍坊）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 6．（2024•西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0． 7．（2024•山西）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]； （2）化简（）． 8．（2024•广安）先化简（a+1），再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 9．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． 10．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（），再求值． 11．（2024•绵阳）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 12．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值． 13．（2024•淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值） 14．（2024•泰安）（1）计算：； （2）化简：． 1．（2024•茂南区校级一模）计算：． 2．（2024•罗湖区校级模拟）计算：． 3．（2024•湘阴县二模）计算：． 4．（2024•渭源县模拟）计算：． 5．（2024•郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1； （2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）． 6．（2024•娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，． 7．（2024•南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1． 8．（2025•闵行区一模）计算：． 9．（2024•甘州区二模）计算：4（）2． 10．（2024•工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中． 11．（2024•庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x），其中x． 12．（2024•武冈市校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5． 13．（2024•龙华区三模）先化简，再求值：，其中a2﹣a﹣2＝0． 14．（2024•南岗区一模）先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°+1． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。 模型01 实数的计算 考｜向｜预｜测 1.实数的计算一般为解答题第1题： 2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合： 3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字. 答｜题｜技｜巧 1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． 2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 3.实数运算的“三个关键” ①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． ②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 4.常见的公式及易错点： （1） 负整数指数幂：（为正整数）； （2）零指数幂： （3）特殊角的三角函数值： ，，， ，，， ，，． （4）常见的易错点： ， （2024•济南）计算：． 【答案】6． 【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式＝3﹣1+4 ＝3﹣1 ＝6． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 1．（2024•乐山模拟）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟练掌握相关知识点是关键． 2．（2024•五华区校级模拟）计算：． 【答案】5． 【分析】先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ＝5． 【点睛】本题考查实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的运算法则． 3．（2024•甘肃二模）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ＝3﹣31 ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 4．（2024•荷塘区校级模拟）计算：． 【答案】2024． 【分析】利用特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂计算即可． 【详解】解： ＝2+2022 ＝2024． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂．根据60度角的正切值、绝对值及负整数指数幂的意义即可求得结果． 5．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根运算法则计算，再合并即可； （2）先根据零指数幂、算术平方根、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ＝1﹣7+9 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．计算： （1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）． 【答案】（1）﹣2； （2）4． 【分析】（1）先算乘法，再算加减即可； （2）先算括号里面的，再算乘方、开方，再算乘法，最后算减法即可． 【详解】解：（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2） ＝5+5+（﹣12） ＝10+（﹣12） ＝﹣2； （2） ＝362 ＝6﹣2 ＝4． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 模型02 整式的混合运算与化简 考｜向｜预｜测 1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过 程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题： 2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母： 3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体代人法 答｜题｜技｜巧 1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 4.常用的乘法公式： （1）完全平方公式：； （2）平方差公式：． （2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． 【答案】2a+b，3． 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入a＝2，b＝﹣1，求出答案即可． 【详解】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b ＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（4ab+2b2）÷2b ＝2a+b， 当a＝2，b＝﹣1时， 原式＝2×2﹣1＝3． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键． 1．（2024•连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2． 【答案】6a﹣18． 【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2 ＝a2﹣9﹣（a2﹣6a+9） ＝a2﹣9﹣a2+6a﹣9 ＝6a﹣18． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 2．（2024•镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2． 小明的解答如下： 解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10． 小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答． 【答案】不正确，正确解答见解析． 【分析】根据题目中的解答过程可知，小明的解答不正确；根据乘法公式将题目中的式子展开，再去括号合并同类项即可将正确的解答过程写出来． 【详解】解：由题目中的解答过程可知：小明的解答不正确， 正确解答：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2 ＝m2﹣9﹣（m2+2m+1） ＝m2﹣9﹣m2﹣2m﹣1 ＝﹣2m﹣10． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2024•北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9． （1）当x＝0时，求P的值； （2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除． 【答案】（1）﹣5； （2）理由见解析． 【分析】（1）把x＝0代入多项式计算即可； （2）先计算出P的值为5（x﹣1），然后判断即可． 【详解】解：（1）当x＝0时，P＝22﹣9＝4﹣9＝﹣5； （2）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9 ＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9 ＝5x﹣5 ＝5（x﹣1）， ∵x为整数， ∴5（x﹣1）是5的倍数， 即多项式P能被5整除． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024•城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0． 【答案】2y2﹣xy，原式＝27． 【分析】先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy ＝2（x2﹣2xy+y2）﹣2x2+3xy ＝2x2﹣4xy+2y2﹣2x2+3xy ＝2y2﹣xy， ∵|x﹣3|0， ∴x﹣3＝0，x+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣3， ∴当x＝3，y＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2﹣3×（﹣3）＝2×9+9＝18+9＝27． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2024•城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【答案】2xy+2y2，﹣2． 【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，然后将x＝2，y＝﹣1代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y） ＝x2﹣4xy+4y2+2x2﹣2y2﹣3x2+6xy ＝（x2+2x2﹣3x2）+（﹣4xy+6xy）+（4y2﹣2y2） ＝0+2xy+2y2 ＝2xy+2y2， 当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）+2×（﹣1）2＝﹣2． 【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 6．（2024•北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再将已知变形代入得出答案． 【详解】解：（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3） ＝x2+2x+1+x2+4x+x2﹣9 ＝3x2+6x﹣8， ∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴原式＝3（x2+2x）﹣8 ＝3×1﹣8 ＝3﹣8 ＝﹣5． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 模型03 分式的运算及化简 考｜向｜预｜测 1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找 解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解 2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以内的有理数： 3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还会涉及因式分解。 答｜题｜技｜巧 1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （2024•哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 【答案】． 【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解． 【详解】解：由题意，原式•• ． 又x＝2cos30°﹣tan45° ＝21 1， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 1．（2025•泗洪县一模）先简化，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先对x2﹣4分解因式，再通分、约分，进行化简求值． 【详解】解：原式 ， 当x1时， 原式． 【点睛】考查分式的化简求值，比较简单． 2．（2024•西城区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5． 【答案】，． 【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） ， 当x＝5时， 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2024•深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝1． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案． 【详解】解：原式＝（）• • ， 当a＝1时，原式1． 【点睛】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 4．（2024•平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值． 【答案】1． 【分析】利用分式的混合运算法则将化简为，再根据题意得到x2＝x+1，将x2＝x+1代入化简后的式子求解． 【详解】解： ， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴上式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 5．（2024•朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x）•的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先化简所求式子，再根据x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再将x+2y＝﹣2代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（x）• • • ＝2（x+2y） ＝2x+4y， ∵x+2y+2＝0， ∴x+2y＝﹣2， ∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2024•大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式． 乙同学 解：原式 我选择：　甲/乙　同学 【答案】甲/乙． 【分析】甲同学：先通分，然后根据分式的乘法法则计算即可； 乙同学：根据乘法的分配律计算即可． 【详解】解：甲同学：原式 ＝x+2； 乙同学：原式 ＝x+2． 故答案为：甲/乙． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（2024•开封二模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）③；②； （2）2x． 【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法： ＝[]• • • ＝2x； 若选择乙同学的解法： •• •• ＝x﹣1+x+1 ＝2x． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 模型04 二次根式的计算 考｜向｜预｜测 二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角函数进行综合考查。 答｜题｜技｜巧 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③二次根式的运算结果要化为最简二次根式． ④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （2024•甘肃）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可． 【详解】解：原式＝33 ＝0． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并同类二次根式． 1．（2024•甘州区二模）计算：4（）2． 【答案】﹣7． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式＝2（3+2+2） ＝25﹣2（2） ＝25﹣22 ＝﹣7． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 2．（2024•临渭区三模）计算：． 【答案】23． 【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式＝3 ＝33 ＝23． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：，其中a2． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14 ＝2a2﹣10﹣a2+4a+14 ＝a2+4a+4 ＝（a+2）2， 当a2时，原式＝（2+2）2＝6． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 4．（2024•青神县模拟）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【详解】解：原式＝24﹣1 ＝24﹣11 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 5．计算：． 【答案】5﹣2． 【分析】利用完全平方公式，平方差公式计算即可． 【详解】解：原式＝51﹣（3﹣2） ＝51﹣3+2 ＝5﹣2 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则，学会用代入法解方程组． 6．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）13+4； （2）115． 【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【详解】解：（1）原式＝（3）2﹣1﹣（12﹣41） ＝27﹣1﹣12+41 ＝13+4； （2）原式＝2 ＝123﹣2 ＝115． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 一．解答题（共14小题） 1．（2024•北京）计算：． 【答案】． 【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ＝12 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识． 2．（2024•青海）计算：tan45°+π0﹣||． 【答案】． 【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式． 3．（2024•吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中． 【答案】6． 【分析】先将原式化简，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1 ＝a2﹣1+a2+1 ＝2a2 ∵， ∴原式＝2×（）2＝6． 【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，正确进行计算是解题关键． 4．（2024•重庆）计算： （1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）； （2）（1）． 【答案】（1）4a﹣2； （2）． 【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减； （2）先计算括号里面的分式加减，再进行因式分解、约分． 【详解】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2） ＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2 ＝4a﹣2； （2）（1） • ． 【点睛】此题考查了代数式的混合运算能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并能进行正确地计算． 5．（2024•潍坊）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）﹣1；（2）a﹣2，． 【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减； （2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】解：（1） ＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3 ＝﹣2+4﹣3 ＝﹣1； （2） ＝a﹣2； 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键． 6．（2024•西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0． 【答案】a2﹣4a+1，﹣2． 【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2﹣4a+1，由所给条件得到a2﹣4a＝﹣3，整体代入，即可得到结果． 【详解】解：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1） ＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a ＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1 ＝a2﹣4a+1 ∵a2﹣4a+3＝0， ∴a2﹣4a＝﹣3， ∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 7．（2024•山西）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]； （2）化简（）． 【答案】（1）﹣10； （2）． 【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）] ＝（﹣6）（）﹣2+（﹣3﹣1） ＝（﹣6）（）﹣2﹣4 ＝﹣2﹣4﹣4 ＝﹣10； （2）（） • ． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． 8．（2024•广安）先化简（a+1），再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当a＝0时，原式＝﹣1，当a＝2时，原式＝0． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：原式＝（）• • ， 由题意得：a≠1且a≠﹣2， 当a＝0时，原式1， 当a＝2时，原式0． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 9．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． 【答案】，当x＝1时，原式（答案不唯一）． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2， ∴整数x＝1或﹣1， ∴当x＝1时，原式（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 10．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（），再求值． 【答案】，． 【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可． 【详解】解：（） ＝（）• • ， 根据计算器可得m＝±±±2， ∵4﹣2m≠0， ∴m≠2， 当m＝﹣2时， 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 11．（2024•绵阳）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）0； （2），． 【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ＝12|1|﹣3 ＝12（1）﹣3 ＝123 ＝0； （2） • ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 12．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：∵a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ＝3． 【点睛】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键． 13．（2024•淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值） 【答案】；． 【分析】根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2， 原式 ， 当a＝﹣3，b＝2时， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．（2024•泰安）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）7； （2）． 【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可； （2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）； ＝7； （2） ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 一．解答题（共14小题） 1．（2024•茂南区校级一模）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算平方、零次幂、负整数指数幂，再计算加减． 【详解】解： ＝4﹣3+1+3 ＝5． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． 2．（2024•罗湖区校级模拟）计算：． 【答案】1． 【分析】先计算零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减 【详解】解： ＝21+2 1+2 ＝1． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 3．（2024•湘阴县二模）计算：． 【答案】5． 【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ＝4+1 ＝5． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键． 4．（2024•渭源县模拟）计算：． 【答案】4． 【分析】先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ＝4． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 5．（2024•郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1； （2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）． 【答案】（1）6； （2）10﹣4x． 【分析】（1）根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案． （2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝2+1+3 ＝6； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣9） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+9 ＝10﹣4x． 【点睛】此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2024•娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，． 【答案】4xy﹣2y2，． 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代入计算即可得． 【详解】解：原式＝4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝4xy﹣2y2； 将x＝﹣2，代入得： 原式 ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 7．（2024•南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1． 【答案】2b2，2． 【分析】先根据多项式除以单项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b） ＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣3ab+ab﹣3b2） ＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+3ab﹣ab+3b2 ＝2b2， 当b＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2＝2×1＝2． 【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 8．（2025•闵行区一模）计算：． 【答案】． 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： 1 ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2024•甘州区二模）计算：4（）2． 【答案】﹣7． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式＝2（3+2+2） ＝25﹣2（2） ＝25﹣22 ＝﹣7． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 10．（2024•工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将括号内部分通分合并再约分，最后代入求值即可． 【详解】解： （） ， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2024•庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x），其中x． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式••x+1， 当x时，原式1． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024•武冈市校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5． 【答案】，． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝（）• • ， 当x＝5时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 13．（2024•龙华区三模）先化简，再求值：，其中a2﹣a﹣2＝0． 【答案】，﹣2． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式，接着解方程得到a1＝﹣1，a2＝2，然后根据分式有意义的条件得到a＝﹣1，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式[] • ， 解方程a2﹣a﹣2＝0得a1＝﹣1，a2＝2， ∵a﹣2≠0且a﹣3≠0且a+3≠0， ∴a＝﹣1， 当a＝﹣1时，原式2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 14．（2024•南岗区一模）先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°+1． 【答案】，． 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式• • ， 当a＝2cos30°+1＝211时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质把所求式子化简． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$