第八章 平行线的有关证明（单元检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

第八章 平行线的有关证明单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 2．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，点在的延长线上，下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 7．如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 8．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 12．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 13．如图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 °．    14．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    15．如图，已知在中，，，是的平分线，，垂足是F，与相交于点D， 度． 16．如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（_______________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴_________（__________________） ∴_________．（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（__________________）． 18．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 19．如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数． 20．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 21．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 22．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 23．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 试卷第2页，共21页 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 平行线的有关证明单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念、角的和差、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A选项：若，则，选项是真命题； B选项：，则的角等于它的补角，选项是假命题； C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是加，假命题； D选项：如：，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命题． 故选：A． 2．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题主要考查了命题与定理，直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案． 【详解】解：A、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例可以为：，； B、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； C、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； D、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，． 故选：A． 3．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可． 【详解】解：A、如果，，那么，说法正确； B、如果，，那么，说法正确； C、如果，，那么，故原说法错误； D、如果，，那么，说法正确． 故选：C． 4．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 5．如图，，点在的延长线上，下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，还涉及三角形内角和定理等知识，再逐项验证即可得到答案，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于与是否平行，没有说明，内错角不一定相等，故不一定成立，不符合题意； B、在中，，故不成立，不符合题意； C、由于与是否平行，没有说明，内错角不一定相等，故不一定成立，不符合题意； D、由于，内错角相等，故一定成立，符合题意； 故选：D． 6．如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由同旁内角互补，可判断，再根据两直线平行，内错角相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 10．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【详解】解：平分平分， ， ， ； ①当时 ， 平分， ， ， ， ； ②当时， ， ， 此种情况不成立； ③当时， 设， ， ， ， ， ； ④当时， 设， ， ， 此种情况不成立； 综上所述，的度数为或； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”依次判断即可． 【详解】解：①由，得到； ②由，得到； ③由，得到； ④由，不能判定出平行． 故答案为：①②③． 12．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 13．如图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 °．    【答案】35 【分析】要使，则，根据已知条件即可确定旋转的度数． 【详解】解：当时，， 又∵，， ， 直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 14．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 15．如图，已知在中，，，是的平分线，，垂足是F，与相交于点D， 度． 【答案】64 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线和高线求出的度数，由此得出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 16．如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，，则 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求得，再根据轴对称的性质求得和，再根据三角形外角的性质可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知 ，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（_______________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴_________（__________________） ∴_________．（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（__________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质和判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 18．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 19．如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．根据三角形的外角性质可求出，，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ， ∵是的外角， ， ∵， ， ∴， ， 20．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 21．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 22．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 23．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)t为5或10或或20或25 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案； （2）由得到，由即可得到结论； （3）分五种情况画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（1）知，，， ∴， 如图1，当时，， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图2，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图3，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图4，当时，设与相交于点S， ∴， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图5，当时， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； ∴当的其中一边与的某一边平行时，t为5或10或或20或25． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，旋转等知识，分情况讨论是解题的关键． 试卷第2页，共21页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$