2024-2025学年人教版数学八年级下册教学设计

第十六章　二次根式 16．1　二次根式 第1课时　二次根式的概念和性质 教学目标 知识与技能 1．二次根式的概念和应用． 2．二次根式的非负性． 教学重点 二次根式的概念． 教学难点 二次根式的非负性． 教学过程 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔． 电视节目信号的传播半径r（单位：km）与电视塔高h（单位：km）之间有近似关系r＝(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1,h2 ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问． 生：半径之比为，暂时我们还不会对它进行化简． 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容． 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空： (1)17的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm； (3) 面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________； (4) 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________． 【答案】(1)　(2)　(3) 　　(4) (5) 活动2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子才有意义？ (2)当a＞0时，________0；当a＝0时，________0；二次根式是一个________． 【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数　(2)＞　＝　非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0； 当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0. 也就是说，当a≥0时，≥0. 三、例题讲解 【例】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 解：由x－2≥0，得x≥2. 所以当x≥2时，在实数范围内有意义． 四、巩固练习 1．已知＋＝0，求－a2b的值． 【答案】解：≥0，≥0，它们的和为0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－. ∴－a2b＝－22×(－)＝2. 2．若x，y使＋－y＝3有意义，求2x＋y的值． 【答案】－1 五、课堂小结 1．本节课主要学习了二次根式的概念．形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？(a≥0)又是什么数？ 教学反思 1．本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位． 2．注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合，巩固学生对新知的理解．　　　　　　　　　　 第2课时　二次根式的化简 教学目标 知识与技能 1．理解()2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简． 2．通过具体数据的解答，探究＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题． 教学重点 理解并掌握()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)以及它们的运用． 教学难点 探究结论． 教学过程 一、复习导入 教师口述上节课的重要内容，并板书： 1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 2.(a≥0)是一个非负数． 那么，当a≥0时，()2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题． 二、新课教授 活动1： (多媒体展示)根据算术平方根的意义填空： ()2＝________；()2＝________； ()2＝________；()2＝________； ()2＝________；()2＝________． 由学生计算、讨论得出结果，并提问部分学生，教师进行点评． 老师点评： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此()2＝4. 同理：()2＝2；()2＝；()2＝；()2＝0.01；()2＝0. 所以归纳出：()2＝a(a≥0)． 【例1】教材第3页例2 活动2： (多媒体展示)填空： ＝________；＝________； ＝________；＝________； ＝________；＝________． 教师点评： 根据算术平方根的意义，我们可以得到： ＝2；＝0.1；＝； ＝；＝2；＝0. 所以归纳出：＝a(a≥0)． 【例2】教材第4页例3. 教师点评： 当a≥0时，＝a； 当a≤0时，＝－a. 三、课堂小结 本节课应理解并掌握()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)及其运用，同时应理解＝－a(a≤0)． 教学反思 1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度． 2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功． 16.2　二次根式的乘除 第1课时　二次根式的乘法 教学目标 知识与技能 理解并掌握·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，会利用它们进行计算和化简． 教学重点 ·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及它们的运用． 教学难点 利用逆向思维，导出＝·(a≥0，b≥0)． 教学过程 一、新课教授 活动1：发现探究 (多媒体展示)填空： (1)×=________，＝________； (2)×＝________，＝________； (3)×＝________，＝________； (4)×＝________，＝________. 生：(1)×＝6，＝6；(2)×＝20，＝20；(3)×＝2，＝2；(4)×＝0，＝0. 试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系． 生：上面各组中两个算式的结果相等． 活动2：总结规律 结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以点评，归纳出二次根式的乘法法则． 教师点评： 1．被开方数都是非负数． 2．两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根． 一般地，二次根式的乘法法则为： ·＝(a≥0，b≥0) 由等式的对称性，反过来： ＝·(a≥0，b≥0) 活动3：讲练结合 教材第6～7页例1，2，3. 二、巩固练习 完成课本第7页的练习． 【答案】 课本练习第1题：(1)；(2)6；(3)2；(4)2. 第2题：(1)77；(2)15；(3)2；(4)4bc. 第3题：4. 三、课堂小结 本节课应掌握：·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及其应用． 教学反思 1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度． 2．在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　二次根式的除法 教学目标 知识与技能 理解＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)，会利用它们进行计算和化简． 教学重点 理解并掌握＝(a≥0，b＞0)，＝(a≥0，b＞0)，利用它们进行计算和化简． 教学难点 归纳二次根式的除法法则． 教学过程 一、复习导入 由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式，引出二次根式的除法． 二、新课教授 活动1： 填空(多媒体展示)： (1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________； (3)＝________，＝________； (4)＝________，＝________． 活动2： 先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律． 教师点评： 一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根． 一般地，二次根式的除法法则是： ＝(a≥0，b＞0). 由等式的对称性，反过来就得到 ＝(a≥0，b＞0). 活动3：讲练结合 教材第8～9页例4，5，6. 三、巩固练习 课本第10页练习第1题． 【答案】(1)3　(2)2　(3)　(4)2a 四、课堂小结 本节课应掌握＝ (a≥0，b＞0)和＝ (a≥0，b＞0)及其应用． 教学反思 1．复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣． 2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功． 　　第3课时　最简二次根式 教学目标 知识与技能 最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算． 教学重点 最简二次根式的运用． 教学难点 会判断一个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习导入 (学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书) 计算：(1)；(2)；(3)；(4). 教师点评： (1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝. 二、新课教授 教师点评：上面这些式子的最后结果具有如下两个特点： 1．被开方数不含分母． 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书) 教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式． 【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？ (1)3xy；(2)25a；(3)；(4). 解：(1)被开方数中有因数，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式． 【例2】化简： (1)；(2)(x≥0)；(3)(ab≥0)． 解：(1)＝＝＝； (2)＝＝2xy； (3)＝＝ab. 【例3】教材第9页例7 三、课堂小结 1．本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用． 2．二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 教学反思 1．注重知识的前后联系，温故而知新．让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣． 2．前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式解决实际问题. 16.3　二次根式的加减 第1课时　二次根式的加减 教学目标 知识与技能 理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算． 教学重点 理解并掌握二次根式加减计算的方法． 教学难点 二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式． 教学过程 一、复习导入 计算： (1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a. 教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连同指数不变，系数相加减． 二、新课教授 类比计算，说明理由． (1)＋2；(2)3－2＋4； (3)3＋；(4)2－3＋. 教师点评： (1)＋2＝(1＋2)＝3； (2)3－2＋4＝(3－2＋4)＝5＝10； (3)虽然表面上与的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但可化为2，3＋＝3＋2＝(3＋2)＝5； (4)同样可化为2，2－3＋＝2－3＋2＝(2－3＋2)＝. 所以在进行二次根式的加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同． 因此可得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【例1】教材第13页例1 【例2】教材第13页例2 三、巩固练习 教材第13页练习第1，2题． 【答案】第1题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确． 第2题：(1)－4；(2)3；(3)10－3；(4)3＋. 四、课堂小结 本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并． 教学反思 1．复习旧知，类比新知．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则． 2．两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神．　　　　　　 　第2课时　二次根式的加减乘除混合运算 教学目标 知识与技能 含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 教学重点 二次根式的加减乘除混合运算． 教学难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习导入 (学习活动)：请同学们完成下列各题． 计算： (1)(3x2＋2x＋2)·4x；(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)； (3)(3a＋2b)(3a－2b)；(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2. 二、新课教授 由于整式运算中的x，y，a，b是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行计算． 【例1】计算： (1)(＋)×；(2)(4－3)÷2. 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律． 解：(1)(＋)×＝×＋× ＝＋＝4＋3； (2)(4－3)÷2 ＝4÷2－3÷2＝2－. 【例2】计算： (1)(＋3)(－5)；(2)(＋)(－)；(3)(－)2. 分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把当作a，当作b，就可以类比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)题可类比(a－b)2＝a2－2ab＋b2来计算． 解：(1)(＋3)(－5) ＝()2＋3－5－15 ＝2＋3－5－15 ＝－13－2； (2)(＋)(－) ＝()2－()2＝5－3＝2； (3)(－)2 ＝()2－2××＋()2 ＝5－2. 三、巩固练习 教材第14页练习题． 【答案】第1题：(1)＋；(2)4＋2；(3)11＋5；(4)4.第2题：(1)9；(2)a－b；(3)7＋4；(4)22－4. 四、课堂小结 本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算． 教学反思 1．复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣． 2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用． 　　　　　　　　　　　　　　第十七章　勾股定理 17．1　勾股定理 第1课时　勾股定理(1) 教学目标 知识与技能 了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能运用勾股定理进行简单的计算． 教学重点 勾股定理的内容和证明及简单的计算． 教学难点 勾股定理的证明． 教学过程 一、创设情境，引入新课 让学生画一个两直角边分别为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长． 再画一个两直角边分别为5和12的Rt△ABC，用刻度尺量出斜边的长． 你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有两直角边的平方和等于斜边的平方和. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察教材第22页图17-1-1，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ 二、新课教授 拼图实验，探求新知 （1）多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考． （2）组织学生小组合作学习，引导学生用拼图法初步体验结论． 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法． 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和． 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明． 归纳验证，得出定理 (1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. (2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的． ①用多媒体课件演示． ②小组合作探究： a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？ b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？ c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？ 师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦． 三、例题讲解 【例1】填空题． (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________； (2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________； (3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________； (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________； (5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为________cm，面积为________cm2. 【答案】(1)17　(2)　(3)6　8　(4)6，8，10　(5)　 【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边的长． 分析：在已知的两边中，较长边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想． 【答案】或13 四、巩固练习 填空题． 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)如果a＝7，c＝25，则b＝________； (2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________； (3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________； (4)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________． 【答案】(1)24　(2)4　(3)3　(4) 10 五、课堂小结 1．本节课学到了什么数学知识？ 2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？ 3．你还有什么困惑？ 教学反思 本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　勾股定理(2) 教学目标 知识与技能 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能运用勾股定理解决简单的实际问题． 教学重点 将实际问题转化为直角三角形模型． 教学难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题． 教学过程 一、复习导入 问题1：欲登12m高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5m，至少需要多长的梯子？ 师生行为： 学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型． 教师深入到小组活动中，倾听学生的想法． 生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12 m，BC＝5 m，AB是梯子的长度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，则AB＝13 m. 所以至少需13 m长的梯子． 师：很好！ 二、新课教授 由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长． 问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径． 生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过． 生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过． 师生共析： 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. 因此AC＝≈2.236. 因为AC大于木板的宽，所以木板可以从门框内通过． 三、例题讲解 【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米． 分析：由∠CAB＝30°，易知垂直距离为2米，水平距离是6米． 【答案】2　6 【例2】教材第25页例2 三、巩固练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________． 【答案】50米 2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度． 【答案】480 m 五、课堂小结 1．运用勾股定理进行计算时，要注意勾股定理的适用条件（在直角三角形中）及公式的变形（a2＝c2－b2，b2＝c2－a2）. 2．运用勾股定理解决实际问题时，要确定或构造一个直角形． 教学反思 这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第3课时　勾股定理(3) 教学目标 知识与技能 1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题． 教学重点 在数轴上寻找，，，…这样的表示无理数的点． 教学难点 利用勾股定理作长为，，，…的线段． 教学过程 一、复习导入 复习勾股定理的内容． 二、新课教授 本节课探究勾股定理的综合应用． 师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？ 学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结． 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌ △A′B′C′． 师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？ 教师可指导学生寻找像长度为，，，…这样的包含在直角三角形中的线段． 师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，，…，所以只需画出长为，，，…的线段即可，我们不妨先来画出长为，，，…的线段． 生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边． 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边． 师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点． 生：步骤如下： （1）在数轴上找到点A，使OA＝3. （2）作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2. （3）以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点． 三、例题讲解 【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米处，飞机每小时飞行多少千米？ 解：根据题意，可以画出如图所示的示意图，点A表示男孩头顶的位置，点C，B是两个时刻飞机的位置，∠C是直角. 可知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米． 飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为每小时504千米． 【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？ 解：根据题意，可画出如图所示示意图.其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过之后水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62.∴AC＝4.5.故这里的水深为4.5分米． 【例3】在数轴上作出表示的点． 解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图： 师生行为： 由学生独立思考完成，教师巡视指导． 此活动中，教师应教学重点关注以下两个方面： （1）学生能否积极主动地思考问题； （2）能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形． 四、课堂小结 1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题． 2．利用勾股定理作长为，，，…的线段的方法. 教学反思 本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力． 17.2　勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理(1) 教学目标 知识与技能 1．了解互逆命题、互逆定理的概念以及它们之间的关系． 2．了解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 教学重点 掌握勾股定理的逆定理，理解互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系． 教学难点 归纳猜想出命题2的结论． 教学过程 一、复习导入 (1)总结直角三角形有哪些性质； 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半． (2)一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形？ 师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？ 生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形． 生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形． 师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？ 二、新课教授 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形． 生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形． 画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试． 生2：如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5 cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52. 再换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以发现8.5 cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52. 师：很好！我们通过实际操作，猜想结论． 命题2　如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 再看下面的命题： 命题1　如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 它们的题设和结论各有何关系？ 师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题． 三、例题讲解 【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用； (2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假． 解略． 四、巩固练习 教材第33页练习第2题． 五、课堂小结 师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？ 学生发言，教师点评． 教学反思 本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的． 　　　　　　　　　　　　　第2课时　勾股定理的逆定理(2) 教学目标 知识与技能 1.了解勾股数，会判断三个数是不熟勾股数. 2．经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用三角形全等证明勾股定理的逆定理的过程. 教学重点 利用勾股定理及其逆定理进行证明或计算． 教学难点 勾股定理及其逆定理的综合运用. 教学过程 一、复习导入 师：我们学过的勾股定理的内容是什么？ 生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 二、新课教授 师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？ 师生行为： 让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路． 师：如果△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？ 我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？ 生：我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c. △ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．所以命题2是正确的． 师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理． 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？ 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立． 师：你还能举出类似的例子吗？ 生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．显然原命题成立，而逆命题不一定成立． 三、例题讲解 【例1】教材第32页例1 【例2】教材第33页例2 【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？ 分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子． 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角． 因此这个零件符合要求． 四、巩固练习 1．小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地．小强在操场上向东走了80 m后，又走60 m的方向是________． 【答案】正南或正北 2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向． 【答案】解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝ 40°，即甲巡逻舰的航向为北偏东50°. 四、课堂小结 1．同学们对本节的内容有哪些认识？ 2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 教学过程 本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 第十八章　平行四边形 18．1　平行四边形 18．1.1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形的性质(1) 教学目标 知识与技能 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 教学重点 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用． 教学难点 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 教学过程 一、复习导入 1．师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是什么几何图形的形象． 生：平行四边形． 师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等． 师：你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结) (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“▱”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC(性质)． 2．探究． 师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． (1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角． (2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 如图，已知：▱ABCD. 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD. 分析：作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． 证明：连接AC. ∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4. 又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D. 由上面的证明可知： ∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3. ∴∠BAD＝∠BCD. 由此得到： 平行四边形的性质1　平行四边形的对边相等． 平行四边形的性质2　平行四边形的对角相等． 二、新课教授 【例】教材第42页例1. 师：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离． 如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离． 三、巩固练习 1．在▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为(　　) A．60°　　B．80°　　C．100°　　D．120° 【答案】C 2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是(　　) A．对角相等 B．对角互补 C．邻角互补 D．内角和是360° 【答案】B 3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】D 四、课堂小结 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等. 教学反思 在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　平行四边形的性质(2) 教学目标 知识与技能 理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 教学重点 平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用． 教学难点 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 教学过程 一、复习导入 1．复习提问： (1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： (2)平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质(内角和是360°)； ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 2．探究： 请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗？你还能发现平行四边形的什么性质吗？ 结论： (1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； (2)平行四边形的对角线互相平分． 二、新课教授 【例1】已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF. 证明：在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又OA＝OC， ∴△AOE≌△COF． ∴OE＝OF，AE＝CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD． ∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD. 引申：若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交(图②和图③)，例1的结论是否成立？说明你的理由． 解略． 【例2】教材第44页例2 三、巩固练习 1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________． 分析：平行四边形的邻角互补． 【答案】75°　105° 2．平行四边形的周长等于56 cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________． 分析：平行四边形的对边相等． 【答案】21 cm 3．▱ABCD的周长为60 cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8 cm，则AB，BC的长分别是________． 分析：平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 【答案】19 cm，11 cm 4．▱ABCD的周长为50 cm，AB＝15 cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________． 分析：平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积． 【答案】75 cm2 四、课堂小结 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 性质：(1)边的性质：对边平行且相等； (2)角的性质：对角相等，邻角互补； (3)对角线的性质：对角线互相平分． 教学反思 课堂中，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学就在我们身边．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18.1.2　平行四边形的判定 第1课时　平行四边形的判定(1) 教学目标 知识与技能 使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法． 教学重点 平行四边形的判定方法及应用． 教学难点 平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程 一、复习导入 1．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？(学生口答，教师板书) 2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．(即用“如果……那么……”的形式) 根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢？除了定义，还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？ 可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理： 平行四边形的判定方法1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形的判定方法2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形的判定方法3　对角线互相平分的四边形是平行四边形． 下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明． 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 二、新课教授 【例1】教材第46页例3 【例2】已知：如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF. 求证：∠1＝∠2. 证明：在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF.∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2. 三、巩固练习 1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是(　　) A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 2．已知：如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：OE＝OF. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB.∴DE∥BF. 又DF∥BE， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴OE＝OF. 四、课堂小结 1．平行四边形的三个判定定理． 2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题． 教学反思 在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象化和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　平行四边形的判定(2) 教学目标 知识与技能 理解并掌握平行四边形的判定定理． 教学重点 理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用． 教学难点 理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法． 教学过程 一、复习导入 1．平行四边形的定义是什么？ 2．平行四边形具有哪些性质？ 3．平行四边形是如何判定的？ 教师板书，并画出一个平行四边形，如图．(帮助理解) 学生活动：踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理． 二、讲授新课 师：通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？下面我们就来证明这个结论是否正确． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA， ∴BC＝DA. ∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形． 于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 三、例题讲解 【例1】教材第47页例4. 【例2】已知：如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线． 求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD. ∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC， ∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF.AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形． 【例3】已知：如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°. ∴△ABE≌△CDF(AAS)． ∴BE＝DF. ∴四边形BEDF是平行四边形． 四、巩固练习 1．判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形.(　　) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(　　) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．(　　) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(　　) (5)对角线相等的四边形是平行四边形．(　　) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．(　　) 【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√ 2．已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对． 【答案】9 五、课堂小结 教学反思 经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题． 　　　　　　　　　　　　　　　　第3课时　平行四边形的判定(3) 教学目标 知识与技能 1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算． 教学重点 掌握并运用三角形中位线的性质解决问题． 教学难点 三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法) 教学过程 一、复习导入 创设情境 请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？(答案如图) 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 二、讲授新课 师：在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题． 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE∥BC，DE＝BC.下面我们对它进行证明． 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝BC. 分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE延长1倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明． 证明：如图，延长DE到点F，EF＝DE，连接FC，DC，AF. ∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥DA..∴CF∥BD.∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF∥BC. 又DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC. 通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 三、例题讲解 【例】已知：如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 图1 图2 求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：连接AC.在△DAC中， ∵AH＝HD，CG＝GD， ∴HG∥AC，HG＝AC． 同理EF∥AC，EF＝AC. ∴HG∥EF，且HG＝EF. ∴四边形EFGH是平行四边形． 此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 四、巩固练习 1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是________m，理由是________________________． 【答案】40　MN是△ABC的中位线 2，如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点． (1)若EF＝5 cm，则AB＝________cm；若BC＝9 cm，则DE＝________cm； (2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想． 【答案】(1)10　4.5　(2)AF与DE互相平分，证明略 五、课堂小结 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到． 教学反思 在课堂导入中，以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18.2　特殊的平行四边形 18．2.1　矩 形 第1课时　矩形(1) 教学目标 知识与技能 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 教学重点 矩形的性质． 教学难点 矩形的性质的灵活应用． 教学过程 一、复习导入 1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动的过程，如图) 2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形的定义． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象． 探究：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ (2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质： 矩形的性质1　矩形的四个角都是直角． 矩形的性质2　矩形的对角线相等． 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二、新课教授 【例1】教材第53页例1 【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 分析：因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法． 解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4) cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6，即AD＝6 cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8 cm. 三、巩固练习 1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15 cm，较短边的长为(　　) A．12 cm B．10 cm C．7.5 cm D．5 cm 【答案】C 2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数． 【答案】∠A＝60°，∠B＝30° 四、课堂小结 1．掌握矩形的定义及性质． 2．会用矩形的性质求相关的角的度数． 教学反思 本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　矩形(2) 教学目标 知识与技能 通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题． 教学重点 矩形的判定． 教学难点 矩形的判定定理及性质的综合应用． 教学过程 一、复习提问，引入新课 师：什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 师：矩形有哪些性质？ 生：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等． 师：矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法． 二、提出疑问，引导探索 师：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？ 生：可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形． 师：对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件(有一个角是直角)，观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？ 生：“边”没有特性，“对角线”是相等的． 师：我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？请把这个判定用命题的形式写出来． 生：对角线相等的平行四边形是矩形． 师：这个命题是否正确？(分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程) 证明过程由学生板书完成． 师(归纳板书)：定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 师：对角线相等的四边形是矩形吗？ 生：不一定是矩形． 师：画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形(先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形)． 师生讨论，归纳矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 有三个角是直角的四边形是矩形． (除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．) 三、例题讲解 【例1】教材第54页例2 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F. 求证：四边形AECF是矩形． 证明：∵D是AC的中点，∴AD＝CD. ∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF.∴AE＝FC. ∵AE∥BF，AB∥EF.∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF， 又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形． 四、课堂练习 已知：O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH为矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，AC，BD互相平分于O. ∴AO＝BO＝CO＝DO. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴EO＝FO＝GO＝HO. ∴四边形EFGH是平行四边形且HF＝EG.∴四边形EFGH为矩形． 五、课堂小结 是矩形 教学反思 本节课在引入时，我先提出一个实际生活问题，激发学生的求知欲望，再引导学生逆向思考问题，从而让学生提出“对角线相等的平行四边形是矩形”这一结论，最后通过逻辑推理证明命题的正确性，为以后学习其他特殊的四边形的判定打下了基础．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 18.2.2　菱　形 第1课时　菱形(1) 教学目标 知识与技能 1．探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算． 2．能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质． 教学重点 菱形的概念及性质． 教学难点 菱形性质的灵活应用． 教学过程 一、创设情境，导入新课 活动：(四个人一个小组) 将一张硬纸片对折后再对折，然后剪成一个三角形，打开观察并讨论． 师：这是一个什么样的图形？为什么？(学生独立操作，教师演示) 生：是平行四边形，因为它的对角线是互相平分的． 师：再观察一下，这个平行四边形的邻边之间有什么关系？为什么？ 生：是相等的，因为它们是重合的． 师(板书)：菱形的定义：我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(强调菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等) 二、探索研究，归纳性质 活动：菱形具有什么性质呢？你能发现吗？ 1．折叠：上下对折，左右对折，你有什么发现？ 2．旋转． 结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教师对知识做适当梳理，板书菱形的性质． 菱形的性质1：菱形的四条边都相等． 菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴． 师：这些性质我们是通过折叠、旋转观察得到的．如何用逻辑推理的方法证明它们呢？ 已知：如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD. 证明：∵AB＝AD，BO＝OD， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD． 同理：AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 三、继续探索，深化提高 师：菱形的对角线将菱形分成几个三角形？它们都是什么三角形？有什么关系？ 生：是四个全等的直角三角形． 师：如果已知菱形的对角线的长度，能求出一个三角形的面积吗？ 生：可以求出． 师：进而就可以求出菱形的面积． 试说明菱形的面积等于它的两条对角线线长的积的一半． 已知：在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点． 求证：在菱形ABCD中，S四边形ABCD＝AC×BD. 证明：在菱形ABCD中，AC，BD是对角线， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝AC×OB＋AC×OD ＝AC×(OB＋OD) ＝AC×BD. 即菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半． 师：菱形是特殊的平行四边形，所以它的面积公式有两个． 菱形的面积＝底×高； 菱形的面积＝ab(a，b是两条对角线的长度)． 四、例题讲解 【例1】菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4 cm，3 cm，求菱形ABCD的面积和周长． 分析：用勾股定理可求得边长，进而求得周长． 解：如图，由题可知AO＝2，BO＝，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4×＝10(cm)，面积为×4×3＝6(cm2)． 【例2】教材第56页例3 五、课堂练习 1．菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，那么菱形的面积是________． 【答案】24 cm2 2．一菱形的周长为52 cm，其中一条对角线长10 cm，则其另一条对角线的长为________． 【答案】24 cm 3．如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC，BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长． 【答案】AC＝2 cm，BD＝2 cm. 六、课堂小结 学生对本节课的知识进行回顾，并交流自己在本节课的感受，与同伴共同总结，完善知识结构． 教学反思 根据新课标理念的要求，教学的安排体现出了学生的主体地位和作用，教师是学习活动的组织者、引导者、合作者，本节课设计的每一个环节都是以学生为主体，让学生自己动手探索完成，使学生觉得自己的探索是有意义的、有价值的，也是有科学性和创造性的，从而培养他们树立学好数学的信心，也激发他们对学习的浓厚兴趣，同时对自己探索出来的结论，也会记忆得更加深刻，理解也更加到位，这样的一种教学方式，更加有助于学生完善学习过程，而学生的探究创新思维、创新精神和创造能力，都将获得极大地提高．本节课采用的图片，体现出“数学知识来源于生活，从人的需求中产生，最终服务于生活”的出发点，引导培养学生关注生活、热爱生活的情感． 第2课时　菱　形(2) 教学目标 知识与技能 探究菱形的判定方法，掌握菱形的判定定理，了解菱形在实际问题中的应用． 教学重点 理解并掌握菱形的判定定理． 教学难点 发展学生的逻辑推理能力． 教学过程 一、回顾交流，温故知新 师：什么是菱形？ 生：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 师：菱形具有哪些性质呢？ 生：性质(1)边的性质：对边平行，四条边都相等． (2)角的性质：对角相等． (3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)对称性：是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线． 二、动手操作，领悟新知 活动一：多媒体演示作图步骤： 1．以A为端点，任意画两条相等的线段AB，AD. 2．再分别以点B，D为圆心、AB的长为半径画弧，两弧相交于点C． 3．连接BC，DC，得四边形ABCD. 四边形ABCD是菱形吗？ 组织学生相互讨论：连接对角线，由全等三角形得角相等，进而得两组对边平行，由菱形的定义判定这个四边形是菱形． (板书)定理1：四条边都相等的四边形是菱形． 三、教具演示，观察发现 活动二：教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋． 操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形． 师：这个四边形是怎样的四边形？为什么？ 生：平行四边形，因为它的对角线互相平分． 师：将木条转到互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？ 学生观察，分小组讨论后回答：因为将木条转到互相垂直后，这个平行四边形两条对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质定理，可以得到这个平行四边形的一组邻边相等，再根据菱形的定义，可知它是菱形． (教师板书)菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 四、例题讲解，巩固新知 【例】教材第57页例4 五、课堂练习 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D，过点A作BC的垂线交BD于E，过点D作DF⊥BC.求证：四边形AEFD为菱形． 【答案】证明：在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠BAD＝∠BFD，∴△BAD≌△BFD，∴AD＝FD.∵∠AED＝∠BEH，∠BEH＋∠EBH＝90°，∴∠AED＋∠EBH＝90°.∵∠ADE＋∠ABD＝90°，∠ABD＝∠EBH，∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD，∴AE＝DF.又∵AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形.又AD＝FD，∴四边形AEFD是菱形． 六、课堂小结 教师引导学生归纳判定一个四边形是菱形的方法： (1)定义：是平行四边形，并且有一组邻边相等； (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线的关系：是平行四边形，并且对角线互相垂直． 教学反思 本节课，教师利用一问一答的形式回顾了菱形的性质，为进一步探究它的判定定理做好了充分的准备．通过动手操作、画图、猜想、教具演示等活动来探索菱形的判定定理，这样学生比较容易接受．　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 18.2.3　正方形 教学目标 知识与技能 1．掌握正方形的概念、性质和判定方法，并会运用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别． 教学重点 掌握正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 教学难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定定理的灵活运用． 教学过程 一、创设情境，温故知新 师：前面我们学习了几种四边形？它们是如何定义的？分别有哪些性质？如何判定？ 指名回答，其余学生评价． 活动： 做一做：拿出你们手中的矩形纸片，如何折叠能得到一个正方形？ 师：什么样的矩形是正方形？ 生：一组邻边相等的矩形是正方形． 做一做：拿出你们手中可活动的菱形框架，如何得到一个正方形？ 师：什么样的菱形是正方形？ 生：有一个角是直角的菱形是正方形． (板书)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 师：正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． 正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 二、例题讲解，巩固新知 【例】教材第58页例5 三、再次探究，继续深化 师：我们已经掌握了正方形的性质，那么如何判定一个图形是正方形呢？ 教师提出下列问题，让学生分组讨论、回答． 1．判定一个平行四边形是否是正方形，还应具备什么条件？ 2．判定一个矩形是否是正方形，还应具备什么条件？ 3．判定一个菱形是否是正方形，还应具备什么条件？ 4．一个四边形的对角线具有什么性质时可判定它为正方形？ 学生分组讨论后，得到如下结论： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形． (2)有一个角是直角的菱形是正方形． (3)对角线相等的菱形是正方形． (4)对角线互相垂直的矩形是正方形． (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 四、课堂小结 本课主要学习了正方形的定义、性质、判定方法，正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系可用下图表示： 教学反思 在探究正方形性质的过程中，充分发挥学生的主体性，让学生经历自主“做数学”的过程——动手折纸，演示自制教具，并播放矩形、菱形、平行四边形的一个角与一组邻边的变化，得到正方形的探究过程，让学生通过主动细心观察和动手实践来体验并认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，让学生感受到数学活动充满着探索性和创造性，提高学生分析问题和解决问题的能力，使学生感受到成功带来的喜悦． 　　　　　　　　　　　　　第十九章　一次函数 19．1　函　数 19．1．1　变量与函数 第1课时　变量与常量 教学目标 知识与技能 理解变量、常量的概念． 教学重点 变量与常量的概念，变量之间的关系． 教学难点 理解并掌握变量以及变量之间的关系． 教学过程 一、创设情境，引入新课 情境问题：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．请同学们根据题意填写下表： t/时 1 2 3 4 5 s/千米 师：在以上过程中，有没有变化的量？有没有始终不变的量？ 生：变化的量是时间和路程，不变的量是速度． 师：1小时路程为60千米，2小时路程为2×60千米，…，所以t小时路程为60t千米，即s＝60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量． 二、讲授新课 1．每张电影票零售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，如何用含x的式子表示票房收入y元？ 生：早场收入为150×10＝1500(元)，午场收入为205×10＝2050(元)，晚场收入为310×10＝3100(元)，当售出的票数为x张时，收入y＝10x. 师：在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？ 生：有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量． 2．活动一：请大家动手画出面积为10 cm2，20 cm2的圆各一个． 生：必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆． 师：那么它们的半径各是多少呢？ 生：第一个圆的半径为≈1.8 (cm)；第二个圆的半径为≈2.5(cm)． 师：如果圆的面积为S，怎样表示出半径r? 生：r＝. 师：在这个过程中，变量与常量各是什么？ 生：这里变量是S和r，常量是π. 3．活动二：用10 m长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积． 生1：当长为4 m时，宽为1 m，面积为4×1＝4(m2)． 生2：当长为3 m时，宽为2 m，面积为3×2＝6(m2)． 师：设长方形的长度为x m，如何求出它的面积S? 生：当长为x m时，它的宽是(5－x) m，因此它的面积是S＝x(5－x)m2. 师：长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量． 这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常量． 三、巩固练习 1．购买一些练习本，单价0.5元/本，总价y(元)随练习本本数x（本）的变化而变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式． 【答案】y＝0.5x，其中x，y是变量，0.5是常量． 2．一个三角形的底边长10 cm，高h可以任意伸缩，写出面积S随h变化的关系式，并指出其中的常量与变量． 【答案】S＝×10h＝5h，其中，S，h是变量，5是常量． 四、课堂小结 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量． 常量：在一个变化过程中数值始终保持不变的量． 教学反思 本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：常量与变量，然后通过练习进一步掌握．像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标所要求的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　函　数 教学目标 知识与技能 理解函数的概念，准确写出函数的解析式． 教学重点 函数的概念，函数解析式的求法． 教学难点 函数概念的理解． 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容． 二、讲授新课 师：观察问题(1)中的表格，时间t和路程s是两个变量，但当t取定一个值时，s也随之确定一个值. t/时 1 2 3 4 5 s/千米 60 120 180 240 300 生：是的，当t＝1时，s＝60；当t＝2时，s＝120；…；当t＝5时，s＝300. 师：问题(2)也是一样的，当早场x＝150时，收入y＝1500；当午场x＝205时，y＝2050；当晚场x＝310时，y＝3100.也就是说售票张数x与票房收入y是两个变量，但当x取定一个值时，票房收入y也就确定一个值． 师：问题(3)中，当圆的半径r＝10 cm时，S＝100π cm2，当r＝20 cm时，S＝400π cm2等，也就是说… 生：也就是说当圆的半径r取定一个值时，面积S也随之确定，并且S＝πr2. 师：问题(4)中，当长为4 m时，面积为4 m2；当长为3 m时，面积S为6 m2；当长x为2.5 m时，面积S为6.25 m2，也就是说… 生：也就是说当长x取定一个值时，面积S也就随之确定一个值． 师：当长取定为x m时，面积S等于多少呢？ 生：S＝x·(5－x)＝5x－x2. 师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？ 生1：问题(1)中，时间t是自变量，路程s是t的函数，s＝60t. 生2：问题(2)中，售票数量x是自变量，收入y是x的函数，y＝10x. 生3：问题(3)中，圆的半径r是自变量，面积S是r的函数，S＝πr2. 生4：问题(4)中，长方形的长x是自变量，面积S是x的函数，S＝x(5－x)． 师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y是x的函数吗？ 生：y是x的函数，因为在心电图里，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应． 师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y是年份x的函数吗？ 中国人口数统计表 年份 人口数/亿 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2010 13.71 生：是的，因为对于表中每一个确定的年份，都对应着一个确定的人口数． 教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量x＝a时的函数值，例如在问题(1)中当t＝1时的函数值s＝60，当t＝2时的函数值s＝120.在人口统计表中当x＝1999时，函数值y＝12.52亿． 【例】教材第73页例1. 师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目． 求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝2x2－5； （2）y＝； （3）y＝. 生1：对于y＝2x2－5，x没有任何限制，x可取任意实数． 生2：对于y＝，(x＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4. 生3：对于y＝，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3. 三、巩固练习 下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子． 1.改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变． 【答案】S＝x2，x是自变量，S是因变量． 2.秀水村的耕地面积为106 m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化． 【答案】y＝，n是自变量，y是因变量． 四、课堂小结 本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力． 教学反思 本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识． 　　　　　　　　　　　　　　 19.1.2　函数的图象 第1课时　函数的图象(1) 教学目标 知识与技能 准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象． 教学重点 函数图象的画法，观察分析图象的信息． 教学难点 函数图象的理解，概括图象中的信息． 教学过程 一、创设情境，引入新课 下面是一张心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，变量y随x的变化而变化． 师：这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来．事实上即使对能用函数解析式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰．这就是我们这节课所要学习的内容——函数的图象． 二、讲授新课 师：如何表示出正方形的面积S与边长x的函数关系呢？自变量x的取值范围又如何？ 生：正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2，其中自变量的取值范围是x＞0. 师：我们如何用画图的方法来表示S与x的关系呢？既然对于自变量x的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与其对应，那么我们就列出其中的一部分： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 把其中x的值作为点的横坐标，S的值作为纵坐标，那么这些对应值就在平面直角坐标系中对应9个点，请大家画出这样的9个点． 学生画出平面直角坐标系并描出这样的9个点． 师：这个图形上只有这9个点吗？ 生：不是的，因为x的取值不止这9个，点也就不止9个． 师：那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？ 生：不能，因为有无数个点． 师：其他的点我们怎样画出来呢？ 生：… 师：其他的点我们不是一一描出的，而是根据这9个特殊点的位置来确定的，也就是用平滑的曲线把这9个点按从左到右的顺序连接起来． 教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线． 师：这个图形我们就称作是函数S＝x2的图象．由于x≠0，所以原点不在图象上，应用空心圆圈表示． 教师总结：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象． 师：函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？ 生1：我知道这天的最高气温是8℃，是中午14点时产生的；最低气温是－3℃，是凌晨4点产生的． 师：请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？ 如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑． 生2：我知道从0时至4时，气温呈下降状态；从4时至14时，气温呈上升状态；从14时至24时，气温又呈下降状态． 师：我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律． 三、例题讲解 【例1】教材第76页例2 【例2】教材第77页例3 四、巩固练习 用描点法画出函数y＝(x≠0)的图象． 【答案】略 五、课堂小结 用描点法画函数图象的步骤： 第一步：列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出对应的函数值；第二步：描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来． 教学反思 本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并且在老师的详细讲解下理解了图象的概念．这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以后还要加强． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　函数的图象(2) 教学目标 知识与技能 进一步理解并掌握函数的不同表示方法，发现函数图象所提供的信息． 教学重点 从图象中提取信息，利用图象解决问题． 教学难点 利用函数的图象解决问题． 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法．大家思考一下，从前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到实际问题时又该如何选择这些方法？这就是我们这节课要研究的问题． 二、讲授新课 师：从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：列表法、解析法和图象法，下面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点． 活动：水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5个小时的水位高度. t/时 0 1 2 3 4 5 … y/米 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 … 师：这是用什么方法来表示函数的？ 生：列表法． 师：它比较直观，如果我们要更准确地了解这5个小时中水位高度y(米)随时间t(时)的关系，我们可以用什么方法？ 生：解析法． 师：下面我们就来求y与t的函数关系式．由于开始时水位高度为3米，以后每隔1小时水位升高0.3米，于是我们有y＝0.3t＋3，由于这段时间是指5小时内，因此0≤t≤5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种方法比较好呢？ 生：图象法． 师：好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示． 师：如果估计这种上涨规律还会持续2小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过2小时以后的高度呢？ 生1：利用函数解析式可以得到，当t＝7小时时，y＝0.3×7＋3＝5.1(米)． 生2：利用图象也可以预测出当t＝7小时时水位的高度． 师：两个同学讲得都很好！利用解析式求2小时后的水位比较准确，通过图象估算比较直接、方便．刚 才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化．具体说，列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直观地反映出两个变量的关系，但它不够准确．也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法． 三、巩固练习 1．用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数． 2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数． 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息． 教学反思 本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究中学习知识的方法是值得提倡的． 　　　　　　　　　　　　　19.2　一次函数 19．2．1　正比例函数 第1课时　正比例函数(1) 教学目标 知识与技能 理解并掌握正比例函数的概念及图象． 教学重点 正比例函数的概念、图象及性质． 教学难点 正比例函数的图象及性质． 教学过程 一、创设情境，引入新课 问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？(结果保留小数点后一位) (2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1100 km的南京南站？ 分析：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需 1318÷300≈4.4(h)． (2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为 y＝300t(0≤t≤4.4)． (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t的值，即y＝300×2.5＝750(km)． 这时列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站． 师：这个函数中，t是自变量，y是t的倍数(300倍)．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律．像这样的函数就是我们今天所要讲的函数——正比例函数． 二、讲授新课 思考：下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？ 师：圆的周长l随半径r的大小变化而变化，l是r的函数吗？ 生：l＝2πr，l是r的函数． 师：铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化，铁块的质量m是体积V的函数吗？ 生：m＝7.8V 师：每本练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本的总厚度h(cm)随本数n的变化而变化的函数关系是怎样的？ 生：h＝0.5n. 师：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？ 生：T＝－2t. 师：这些函数有什么共同特点呢？ 学生思考并回答，教师予以总结． 师：上面这些函数与y＝300x一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变量的乘积，像这种函 数就是正比例函数． 一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 师：y＝kx(k是常数，k≠0)是正比例函数的一般形式，注意k≠0的条件．下列函数是正比例函数的有哪些？①y＝，②y＝，③y＝kx，④y＝kx2，⑤y＝k2x(k≠0)． 生：①⑤是正比例函数，其他的都不是． 三、巩固练习 (1)若y＝5x3m-2是正比例函数，则m＝________； (2)若y＝(m－1)xm2是正比例函数，则m＝________. 解：(1)3m－2＝1，即m＝1时，它为正比例函数； (2)由题意可知解得m＝－1. 四、课堂小结 1．正比例函数的定义． 2．正比例函数的应用． 教学反思 本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　正比例函数(2) 教学目标 知识与技能 会画正比例函数的图象． 教学重点 一次函数图象的画法． 教学难点 根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质． 教学过程 一、复习引入 师：什么样的函数是正比例函数？ 生：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x，y的值分别取出来，作为横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象． 二、讲授新课 操作：画出正比例函数y＝2x，y＝－2x的图象． 师：由于k≠0，所以k＞0或k＜0，这两个函数刚好一个k＞0，一个k＜0.显然这里的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的． 第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导． 1．函数y＝2x中自变量x的取值范围是任意实数．列表表示几组对应值，如下表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y －6 －4 －2 0 2 4 6 画出图象如图(1)． 2．函数y＝－2x中自变量x的取值范围是任意实数．列表表示几组对应值，如下表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 －2 －4 －6 画出图象如图(2)． 师：比较这两个图象的相同点与不同点． 学生讨论以后教师再进行总结． 师生共同总结：两图象都是经过原点的一条直线；函数y＝2x的图象从左到右上升，经过第一、第三象限；函数y＝－2x的图象从左到右下降，经过第二、第四象限． 为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数y＝x和y＝－x的图象． 列表如下： x －6 －4 －2 0 2 4 6 y＝x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝－x 3 2 1 0 －1 －2 －3 图象如图所示： 【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象．函数y＝－1.5x中自变量x的取值范围是任意实数．下表是y与x的几组对应值. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 4.5 3 1.5 0 －1.5 －3 －4.5 … 如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y＝－1.5x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线． 分析后得出结论． 师：一般地，正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大反而减小． 既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可．比如说，画直线y＝3x只需先指出两点(0，0)、(1，3)，然后过这两点作出直线即可． 三、巩固练习 用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质． 1．y＝x. 2．y＝－3x. 四、课堂小结 本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决问题的一般途径． 教学反思 本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比例系数与函数图象间的关系．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 19.2.2　一次函数 第1课时　一次函数(1) 教学目标 知识与技能 了解一次函数的一般形式． 教学重点 一次函数的一般形式． 教学难点 探索实际问题中的一次函数关系． 教学过程 一、创设情境，引入新课 问题：某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1 km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系． 师：每升高1 km气温下降6℃，那么升高x km，气温下降6x℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数． 二、讲授新课 思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？ 师：在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C与t(℃)有关，即C的值约是t的7倍与35的差．这个函数的关系式怎么写？ 生：C＝ 7t－35. 师：一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是G的值，即：G＝h－105. 某市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话按0.1元/分收取，写出y与每月电话x(分钟)的函数关系式． 生：y＝0.1x＋22. 师：把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(cm2)随x的变化的关系式是什么？ 生：y＝ 5(10－x)＝－5x＋50. 师：上述这些函数有什么共同特点？比如说右边． 生：右边都是自变量的倍数与一个常数的和． 师：对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数． 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 师：下面的函数是一次函数吗？如果是一次函数，说说其中k和b的值分别是多少． ①y＝x－6；②y＝；③y＝；④y＝7－x. 生1：y＝x－6是一次函数，其中k＝1，b＝－6. 生2：y＝不是一次函数． 生3：y＝是一次函数，其中k＝，b＝0. 生4：y＝7－x是一次函数，其中k＝－1，b＝7. 师：值得注意的是y＝也是一次函数，它是当b＝0时的特殊情况． 例题： (1)已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，当k为何值时它是正比例函数？当k为何值时它是一次函数？ 解决：当2k＋1＝0，即k＝－时，它为正比例函数． 当k－2≠0，即k≠2时，它为一次函数． (2)已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3，写出y与x的函数关系式并指出是什么函数． 解：因为y与x－3成正比例，所以设y＝k(x－3)．由题意知当x＝4时，y＝3，代入得k＝3. 所以y＝3(x－3)，即y＝3x－9，y是x的一次函数． 三、巩固练习 写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数． 1．面积为10 cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)． 【答案】h＝，不是一次函数． 2．一边长为8 cm的平行四边形的周长L(cm)与另一边长b(cm)． 【答案】L＝16＋2b，是一次函数． 3．食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨． 【答案】y＝120－5x，是一次函数． 4．汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时)． 【答案】s＝40t，是一次函数，且是正比例函数． 5．圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系． 【答案】y＝πx2，不是一次函数． 6．一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y(厘米)． 【答案】y＝50＋2x，是一次函数． 四、课堂小结 本节课从实际出发得出一次函数的概念，并在实际问题中根据简单信息写出一次函数的解析式，进而解决问题． 教学反思 本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式．教学过程中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果． 　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　一次函数(2) 教学目标 知识与技能 会画一次函数的图象． 教学重点 一次函数图象的画法． 教学难点 根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质． 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0)，它的图象是经过原点的一条直线．一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，那么它的图象是什么呢？这就是我们这节课所要学的内容． 二、讲授新课 活动一 活动内容设计：画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象，比较两个函数的图象，探究它们的联系并解释原因． 教师活动：引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与y轴的交点在坐标轴上的位置比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中的k，b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的应用． 学生活动：在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两函数的图象，然后根据教师的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点． 生：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值，如下表所示： x －2 －1 0 1 2 y＝－6x 12 6 0 －6 －12 y＝－6x＋5 17 1 5 －1 －7 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象，如下图所示： 结果：这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度________．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y＝－6x向________平移________个单位长度而得到． 结论：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看作是由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到的(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)． 既然一次函数的图象是一条直线，所以今后画一次函数的图象时，只要取两点，再过这两点画直线即可． 活动二 活动内容设计：画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象．由它们联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？ 目的：引导学生从函数图象的特征入手，寻求变量数值的变化规律与解析式中k值的联系． 图象规律： 当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升； 当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降． 函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 活动三 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并归纳y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中b对函数图象的影响． 1．y＝x－1，y＝x，y＝x＋1. 2．y＝－2x＋1，y＝－2x，y＝－2x－1. 过程与结论： b的值决定直线y＝kx＋b与y轴交点的位置． 当b＞0时，交点在原点上方； 当b＝0时，交点即原点； 当b＜0时，交点在原点下方． 三、巩固练习 1．直线y＝2x－3与x轴交点的坐标为________，与y轴交点的坐标为________，图象经过第________象限，y随x的增大而________． 【答案】(，0)　(0，－3)　一、三、四　增大 2．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处． y＝x＋1，y＝x＋1，y＝2x＋1，y＝－x＋1. 【答案】略 四、课堂小结 本节学习了一次函数的图象特征以及与之对应的一次函数的性质，并学会了画图象的简单方法，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数的图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数形结合思想在数学学习中的重要性． 教学反思 上节课学习了一次函数的一般形式，本节课学习它的图象，并让学生观察图象，自己探索、总结出一次函数的性质以及一次函数中k值对函数图象的影响，培养了学生观察、思考、归纳总结的能力，对他们合作交流能力的提高也有帮助． 第3课时　一次函数(3) 教学目标 知识与技能 会用待定系数法求一次函数的解析式． 教学重点 用待定系数法确定一次函数的解析式． 教学难点 灵活运用有关数学知识解决实际问题． 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：一次函数的一般形式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k和b的值，这个解析式就知道了，那么还需要怎样的条件才能求出k，b呢？ 已知一个一次函数y＝kx＋b(k≠0，b为常数)，我们可以将它改为一般形式，再分别把x，y的对应值代入，求出k，b就可以了． 二、讲授新课 【例1】已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，求当x＝－3时函数y的值． 师：题目要求当x＝－3时函数y的值必须先求出什么？ 生：函数解析式． 师：而求函数关系式我们像上面那样解决即可．设函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(3，5)与(－4，－9)代入得解这个方程组得所以这个函数的解析式为y＝2x－1.当x＝－3时，y＝－3×2－1＝－7. 师：这个题目是先根据定义设一次函数的解析式为y＝kx＋b，再根据已知条件确定解析式中未知数k和b，从而写出具体式子，像这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 【例2】已知一次函数的图象如图所示，写出它的解析式． 师：要求一次函数的解析式，可以事先设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0，b为常数)，再要求具体的k和b必须知道“两个条件”列出方程组才行．这个题目知道两个条件吗？ 生：知道．该图象与x轴的交点坐标为(2，0)与y轴的交点坐标为(0，－3)． 师：这样一来，我们就可以轻松求解． 设所求的一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把点(2，0)，(0，－3)的坐标代入解析式得解得所以所求的一次函数的解析式为y＝x－3. 师：刚才所讲的是利用待定系数法求一次函数解析式，这节课还有一个重要内容就是在实际问题中根据题目要求求一次函数解析式． 【例3】教材第94页例5 三、巩固练习 1．已知一次函数y＝kx＋2，当x＝5时y的值为4，求k的值． 【答案】k＝ 2．已知直线y＝kx＋b经过点(9，0)和点(24，20)，求k，b的值． 【答案】k＝，b＝－12 3．生物学家研究表明，某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6 cm时，蛇的长为45.5 cm；当蛇的尾长为14 cm时，蛇的长为105.5 cm.当一条蛇的尾长为10 cm时，这条蛇的长度是多少？ 【答案】75.5 cm 四、课堂小结 本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法．求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数的解析式y＝kx＋b(k≠0，b为常数)中两个待定系数k和b的值；另外在实际问题中我们往往根据题意求函数的解析式． 教学反思 本节课主要学习了待定系数法及一次函数的应用．由前面的学习知道两点确定一条直线，已知两点怎样确定这条直线即怎样求它的解析式，这节课带领学生认识了待定系数法这一有效工具，并应用它解决了一些实际问题． 19.2.3　一次函数与方程、不等式 第1课时　一次函数与一元一次方程 教学目标 知识与技能 理解并掌握一次函数与一元一次方程的关系． 教学重点 一次函数与一元一次方程的关系的理解． 教学难点 灵活运用一次函数与一元一次方程的关系解决问题． 教学过程 一、创设情境，引入新课 前面我们学习了一次函数．一次函数实际上是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应、互相依存．它与我们七年级学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系．这节课开始，我们就来学习用函数的观点去看待方程，并充分利用函数图象的直观性形象地看待方程的求解问题．这是学习数学的一种很好的思想方法． 二、讲授新课 我们先来看下面的问题： (1)解方程2x＋20＝0； (2)当自变量x为何值时，函数y＝2x＋20的值为零？ 提出问题： ①对于2x＋20＝0和y＝2x＋20，从形态上看，有什么相同和不同的地方？ ②从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ ③作出直线y＝2x＋20(建议课前作出，以免影响本节课主题)，看看(1)与(2)是怎样的一种关系？ 师生共同讨论并让学生在探究过程中理解两个问题的同一性． 结论：1.“解一元一次方程ax＋b＝0”与“自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0”是同一问题． 2．由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0(k，b为常数，k≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于确定已知直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标的值． 师：下面我们一起来看两个问题． 1．以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题. 序号 一元一次方程问题 一次函数问题 1 解方程3x－2＝0 当x为何值时， y＝3x－2的值为0？ 2 解方程8x＋3＝0 3 当x为何值时， y＝－7x＋2的值为0？ 解：(略) 2．根据下列图象，直接写出相应方程的解. 解：5x＝0的解是x＝0；x＋2＝0的解是x＝－2；－3x＋6＝0的解是x＝2；x－1＝0的解是x＝1. 三、例题讲解 【例】一个物体现在的速度是5 m/s，其速度每秒增加2 m，再过几秒它的速度为17 m/s? (用两种以上方法求解) 解法一：设再过x秒物体的速度为17 m/s. 由题意可知：2x＋5＝17，解得：x＝6. 解法二：速度y(m/s)是时间x(s)的函数， 解析式为：y＝2x＋5. 当函数值为17时，对应的自变量x的值可通过解方程2x＋5＝17得到x＝6. 解法三：由2x＋5＝17可变形得到：2x－12＝0. 从图象上看，直线y＝2x－12与x轴的交点坐标为(6，0)，得x＝6. 对于解法二：还可以拓展成对于函数y＝2x＋5，当y＝17时，求x的值．鼓励学生进一步思考． 注：例题可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用． 四、巩固练习 1．根据下列图象，你能写出哪些一元一次方程的解？ 【答案】方程－x＋5＝0的解为x＝2；方程x－3＝0的解为x＝3. 2．某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1 km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高多少km时，他们所在位置的气温是－3℃？ 【答案】解：设登山队员由大本营所在地向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.由题意可得y＝15－6x， 令y＝－3，则15－6x＝－3，解得x＝3. 故当登山队员由大本营所在地向上登高3 km时，他们所在位置的气温是－3℃. 五、课堂小结 从数的角度看：求ax＋b＝0(a≠0)的解⇔x为何值时，y＝ax＋b的值为0? 从形的角度看：求ax＋b＝0(a≠0)的解⇔确定直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标． 从数和形两方面总结，帮助学生建立数形结合的观念． 教学反思 本节课从最基本的问题“解方程2x＋20＝0”与“当自变量x为何值时，函数y＝2x＋20的值为零”是否是同一问题入手，揭示一元一次方程与一次函数之间的关系，然后通过例题从多方面、多角度来理解这个关系，再通过练习进一步掌握，应该说能收到较好的效果． 　　　　　　　　　　　　第2课时　一次函数与一元一次不等式 教学目标 知识与技能 通过作函数图象、观察函数图象，从中体会一元一次不等式与一次函数的内在联系． 教学重点 一元一次不等式与一次函数的关系． 教学难点 根据函数图象观察不等式的解集． 教学过程 一、复习导入 师：通过上节课的学习，我们已经知道“解一元一次方程ax＋b＝0”与“求当x为何值时，y＝ax＋b的值为0”是同一个问题，现在我们来看看： 1．以下两个问题是不是同一个问题？ (1)解不等式：2x－4＞0； (2)当x为何值时，函数y＝2x－4的值大于0? 2．如何利用图象来说明问题(2)? 3．“解不等式2x－4＜0”与怎样的一次函数问题是相同的？怎样在图象上加以说明？ 二、讲授新课 师：以上两个问题实际上是同一问题． 从图象上来看直线y＝2x－4在x轴上方的点所对应的x的取值范围就是函数y＝2x－4的值大于0时x的取值范围，也就是不等式2x－4＞0的解集． 师：请大家用同样的方法谈谈你们对第3小题的理解． 生：“不等式2x－4＜0的解集”与“当x为何值时，函数y＝2x－4的值小于0？”是同一问题，求不等式2x－4＜0的解集就是求直线y＝2x－4在x轴下方的点的横坐标的取值范围． 师：回答正确！下面我们就通过一些练习来巩固一下． 根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式的解集并直接写出相应不等式的解集？ 解：(1)相关的不等式如：－x＋3＞0；－x＋3＜0；－x＋3≥0；－x＋3≤0. (2)由图象可以得出： －x＋3＞0的解集是x＜3；－x＋3＜0的解集是x＞3； －x＋3≥0的解集是x≤3；－x＋3≤0的解集是x≥3. 师：因此我们可以得出结论：“解不等式ax＋b＞0”可转化为“求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值大于0”进而转化为求函数y＝ax＋b的图象在x轴上方时(或下方时)x的取值范围．另外一部分我们一起说． 师生：“解不等式ax＋b＜0”可转化为“求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值小于0”进而转化为求直线y＝ax＋b在x轴下方时x的取值范围． 进行引申：怎样用画图象的方法解不等式5x＋4＜2x＋10? (让学生充分讨论，尽量提出多种方法) 生：原不等式可转化为3x－6＜0，此题就是求3x－6＜0的解集．画出直线y＝3x－6，找出直线上在x轴下方的点，这些点所对应的x的取值范围就是不等式的解集． 教师出示画好的图象，让学生求出解集． 师：如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢？ 学生难以回答，教师进一步引导． 师：不等式两边都可以看成是一次函数，因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题． 左边对应一次函数y＝5x＋4，右边对应一次函数y＝2x＋10，实际上就是说x取何值时一次函数y＝5x＋4的值小于一次函数y＝2x＋10的值，也就是说直线y＝5x＋4上的点在直线y＝2x＋10上的点下方时x的取值范围． 下面我们就画出直线y＝5x＋4和直线y＝2x＋10，可以看出它们的交点的横坐标为2，也就是说当x＝2时两函数值y相同即两点的高度相同，继续观察图象，当x＜2时直线y＝5x＋4上的点在直线y＝2x＋10上相应点的下方，此时一次函数y＝5x＋4的值小于一次函数y＝2x＋10的值，即不等式5x＋4＜2x＋10的解集是x＜2. 巩固练习：请你在同一坐标系内，作出函数y＝3x－4和y＝－x＋3的图象，并通过观察图象求不等式3x－4＜－x＋3的解集，与同伴交流． 归纳：本节课从解具体一元一次方程不等式与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx＋b＝0与求自变量x为何值时，一次函数y＝kx＋b的值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后的学习中有很重要的作用． 三、课堂小结 本节课我们学习了一次函数与一元一次不等式之间的关系，学会了用图象法解一元一次不等式，我们感受到用函数的方法和用数形结合的方法解决问题有一定的优势，这对继续学习数学很重要. 教学反思 本节课主要探究学习一次函数与一元一次不等式之间的关系，通过合作探究、问题讲解，让学生充分参与到学习的探究过程中，体现了学生的主体性，取得了良好的教学效果． 　 第3课时　一次函数与二元一次方程(组) 教学目标 知识与技能 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组． 教学重点 二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解． 教学难点 对应关系的理解及对实际问题的探究． 教学过程 一、复习导入 我们知道，任何一个二元一次方程都可以化成y＝kx＋b的形式，也就是说每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是它也就对应一条直线．任何一个二元一次方程组都可以看成是两个一次函数的组合，也就对应两条直线． 比如可化为(1) 对于(1)，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个一次函数的y值相等？它反映在图象上，就是求直线y＝－x＋和直线y＝2x－1的交点坐标．这样我们可以用画图象的方法求出交点坐标，进而解二元一次方程组． 二、讲授新课 想一想：根据下列图象，你能说出哪些方程组的解？这些解是什么？ 　 　 (1)　　　 　 　(2)　　　　 　　(3) 注：此题忽略解方程组与画图象这些已会环节，让学生直观感受本节课的主题． 练一练：利用函数图象解方程组： 老师分析：这两个二元一次方程各对应一个一次函数，也就是各对应一条直线．如果这两条直线有交点，那么交点坐标就是这个方程组的解． 让学生自己练习画直线，再求出方程组的解． 学生解：由2x－y＝0可得y＝2x；由3x＋2y＝7可得y＝－x＋. 在同一直角坐标系内作出一次函数y＝2x的图象l1和y＝－x＋的图象l2，如图所示．观察图象，得出l1和l2的交点坐标为(1，2)． 所以方程组的解为 总结1：两个一次函数图象的交点坐标↔二元一次方程组的解． 再想想：不通过画图象你能求出直线y＝3x＋9与直线y＝2x－7的交点坐标吗？ 让学生先思考再进行讨论． 师：前面讲过，两条直线的交点坐标就是方程组的解，如果我们能先求出方程组的解，它不就是两直线的交点坐标嘛． 学生悄然大悟，连连点头． 让学生自己写出求解过程． 总结2：二元一次方程组的解↔两个一次函数图象的交点坐标． 【例】教材第97页问题3. 三、举一反三 1．利用函数图象解方程组 【答案】 2．方程组的解为________，则直线y＝－x＋15和y＝x－7的交点坐标是________． 【答案】(11，4) 四、课堂小结 本节课通过分析探究得出结论：两条直线的交点坐标就是由这两条直线所对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．这主要有两个应用：一方面可以根据图象的交点坐标求出方程组的解；另一方面先求出方程组的解，也就知道了两条直线的交点坐标， 这进一步体现了数形结合的思想． 教学反思 本节课主要学习一次函数与二元一次方程组的关系．通过学习探究，加强知识之间的联系，学会融会贯通，有助于系统地掌握所学知识，取得更好的教学效果． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 19.3　课题学习　选择方案 第1课时　选择方案(1) 教学目标 知识与技能 巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关的实际问题． 教学重点 根据实际情景中所包含的变量及对应关系建立函数模型，并灵活运用数学模型解决实际问题． 教学难点 运用一次函数知识解决实际问题． 教学过程 一、情景导入 做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的，在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题时常用到函数． 大家知道如何运用一次函数的知识来解决关于“选择最佳方案”的实际问题吗？好，下面我们就一起来探讨学习这方面的问题． 二、讲授新课 活动 怎样选取上网收费方式？ 下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 分析：在方式A，B中，上网时间是影响上网费的变量；在方式C中，上网费是常量． 设月上网时间为x h，则方案A，B的收费金额y1，y2都是x的函数．要比较它们，需在x＞0的条件下，考虑何时(1)y1＝y2，(2)y1＜y2，(3)y1＞y2.利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题．在此基础上，再用其中省钱的方式与方式C进行比较，则容易对收费方式作出选择． 在方式A中，月使用费30元与包时上网时间25 h是常量．考虑收费金额时，要把上网时间分为25 h以内和超过25 h两种情况，得到的是如下的函数 y1＝ 化简，得 y1＝这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得出方式B，C的收费金额y2，y3关于上网时间x的函数解析式． 类似地，y2＝　y3＝120(x≥0) 在图中画出y2，y3的图象，结合函数图象与解析式，填空： 当上网时间________时，选择方式A最省钱； 当上网时间________时，选择方式B最省钱； 当上网时间________时，选择方式C最省钱． 由学生回答，老师点评． 师：在日常生活中存在着一类抉择性问题，它们的生活背景可能有差异，但是一旦通过同一种数学模型来解决的话，它们却是相同的． (幻灯片展示)方法总结： 1．建立数学模型——列出两个函数解析式． 2．通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围． 3．选择出最佳方案． 三、巩固练习 (幻灯片展示)商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择． 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本．乙：按购买金额打九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x＞10)本．如何选择方案购买呢？(教师 纠正学生板书中的错误，同时作方法指导，强调x是正整数) 解析：y甲＝25×10＋5×(x－10)＝200＋5x y乙＝(25×10＋5x)·0.9(x＞10) (老师引导学生分y甲＞y乙，y甲＝y乙和y甲＜y乙三种情况分别进行讨论) 四、课堂小结 本节课通过实际生活中的例子巩固了一次函数的有关知识，了解了用一次函数这个数学模型解决实际问题的方法，感受到数形结合的重要性，更加激发了学生学习数学的积极性．希望大家在以后的学习中更加努力，多注重数学方法的积累与运用． 教学反思 在日常生活中选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题时常用到函数．本节课学生在教师的引导下，利用函数的性质解决这一问题，这提供了用数学知识解决实际问题的一个思路，需要学生在学习实践中不断掌握． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　选择方案(2) 教学目标 知识与技能 巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题． 教学重点 根据实际背景中所包含的变量及对应关系建立函数模型，并灵活运用数学模型解决实际问题． 教学难点 运用一次函数知识解决实际问题． 教学过程 一、复习导入 师：上一节课，我们利用一次函数知识解决了“选择方案”的第一个问题，这节课我们继续探讨“选择方案”的后两个问题． 二、讲授新课 【例】怎样租车？教材第103页问题2 师：下面我们再来看一个问题，这个问题是一个调水的问题． 从A，B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A，B两水库各可调出水14万吨，从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量(单位：万吨×千米)尽可能小． 题目要考察的是调运量，首先大家必须清楚地认识到影响水的调运量的因素有两个，即水量(单位：万吨)和运程(单位：千米)，水的调运量是两者的乘积(单位：万吨×千米)；其次应考虑到由A，B水库运往甲、乙两地的水量共4个量，即A——甲，A——乙，B——甲，B——乙的水量，它们互相联系．设从A水库调往甲地的水量为x万吨，则有 　　　调入地 水量/万吨　　　 调出地 　　　　 甲 乙 总计 A x 14－x 14 B 15－x 14－(15－x)＝x－1 14 总计 15 13 28 设水的调运量为y万吨×千米，则有 y＝50x＋30(14－x)＋60(15－x)＋45(x－1)． 化简这个函数，得y＝5x＋1275. 师：自变量x的取值有什么限制条件呢？ 生：从调出地到调入地的调运吨数应该有实际限制，即得到一个不等式组 解得1≤x≤14. 由于在y＝5x＋1275中，y随x的增大而增大，因此要想使y最小，必须使x最小，即x＝1，也就是说A水库调往甲地水1万吨，调往乙地水13万吨，B水库调往甲地水14万吨，调往乙地水0万吨时，水的调运量最小． 师：很好！这种题目是先建立数学模型，再根据题意求出自变量的取值范围，最后根据函数的增减性确定方案． 生：这题根据图象做行吗？ 师：当然可以，在限定范围内画出这个函数的图象，结合图象可以看出水的最佳调运方案，并得到水的最小调运量是多少． 生：这题如果设其他水量(例如从B水库调往乙地的水量)为x万吨，能得到同样的最佳方案吗？ 师：当然可以，方法是一样的．好，下面大家就设从B水库调往乙地的水量为x万吨，看如何求出水的最小调运量． 三、课堂小结 本节课进一步通过实际生活中的例子再次巩固了一次函数的知识，再次熟悉了用一次函数这个数学模型解决实际问题的方法，感受到数形结合的重要性，更加激发了我们学习数学的积极性．再次希望大家在以后的学习中更加努力，注意数学知识在实际当中的应用，多注重数学方法的积累与运用． 教学反思 本节课解决了实际生活中两个常见的问题：怎样租车和怎样调水，用列举的方法也能找出最佳方案，但计算量比较大，学生在教师的引导下，利用函数的性质解决问题，既复习了本章内容，又使问题得到简便解决．更重要的是，这提供了用数学知识解决实际问题的一个新思路． 　　　　　　　　　　　　　　　 第二十章　数据的分析 20．1　数据的集中趋势 20．1．1　平均数 第1课时　平均数(1) 教学目标 知识与技能 1．使学生理解并掌握数据的权和加权平均数的概念． 2．使学生掌握加权平均数的计算方法． 教学重点 会求加权平均数． 教学难点 对“权”的理解． 教学过程 1、 复习导入 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表所示. 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？ 平均数的概念及计算公式： 一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，则有x＝，其中x叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 对于问题(1)，根据平均数公式，甲的平均成绩为： ＝80.25， 乙的平均成绩为 ＝79.5. 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲． 2、 讲授新课 (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？ 对于问题(2)，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”．因此，甲的平均成绩为 ＝79.5， 乙的平均成绩为 ＝80.4. 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙． 上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩，其中的每个数据被认为同等重要．而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数． 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． 三、例题讲解 【例1】教材第112页例1. 【例2】教材P113页例2. 四、巩固练习 1．在一个样本中，2出现了x1次，3出现了x2次，4出现了x3次，5出现了x4次，则这个样本的平均数为________． 【答案】 2．某人打靶，有a次打中x环，b次打中y环，则这个人平均每次中靶________环． 【答案】 五、课堂小结 师：这节课你学到了什么新知识？ 生1：数据的权和加权平均数的概念． 生2：掌握加权平均数的计算方法． …… 教学反思 平均数是统计中的一个重要概念，新教材注重学生在经历统计活动的过程中体会平均数的本质内涵，理解平均数的意义，发展学生的统计观念，基于以上认识，我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要学习平均数，注重引导学生在统计的背景中理解平均数的含义，在比较、观察中把握平均数的特征，进而运用平均数解决实际问题，了解它的价值． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　平均数(2) 教学目标 知识与技能 1．加深对加权平均数的理解． 2．理解组中值这一概念，并会根据频数分布表求加权平均数，解决一些实际问题． 3．会用计算器求加权平均数的值． 教学重点 根据频数分布表求加权平均数． 教学难点 根据频数分布表求加权平均数． 教学过程 一、复习导入 请同学们阅读教材第114页的探究问题，设计的几个问题如下： (1)依据统计表可以读出哪些信息？ (2)这里的组中值指什么，它是怎样确定的？ (3)第二组数据的频数5指什么呢？ (4)如果每组数据在本组中分布较为均匀，每组数据的平均值和组中值有什么关系？ 设计意图：(1)主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法； (2)加深了对“权”的意义的理解：当利用组中值近似取代一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权； 二、例题精讲 【例1】某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数)． 解：这个跳水队运动员的平均年龄为 x＝≈14(岁)． 【例2】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡．它们的使用寿命如下表所示，这批灯泡的平均使用寿命是多少？ 使用寿 命/x/h 600≤x ＜1000 1000≤x ＜1400 1400≤x ＜1800 1800≤x ＜2200 2200≤x ＜2600 灯泡 只数 5 10 12 17 6 　　分析：抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本，可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命． 解：根据表格，可以得出各小组的组中值，于是 x＝＝1672， 即样本平均数为1672. 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672 h. 三、巩固练习 某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对学生做课外作业所用时间进行调查，下表是该校八年级某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表. 所用时间t(分钟) 人　数 0＜t≤10 4 10＜t≤20 6 20＜t≤30 14 30＜t≤40 13 40＜t≤50 9 50＜t≤60 4 求：(1)第二组数据的组中值； (2)该班学生平均每天做数学作业所用的时间． 【答案】解：(1)15 (2)该班学生平均每天做数学作业所用时间为 x＝＝30.8(分钟). 四、课堂小结 1．加权平均数的应用． 2．根据频数分布表求加权平均数． 3．学会用计算器求加权平均数的值． 教学反思 这节课注重了以下三个方面的学习： 一、在现实生活情境中引入，注重数学与生活的联系． 二、创造有效的数学学习方式，理解平均数的意义，学会利用计算器计算平均数． 三、通过对比，使学生了解在什么情况下可以用样本平均数来估计总体平均数. 20.1.2　中位数和众数 第1课时　中位数和众数(1) 教学目标 知识与技能 认识中位数和众数，并会求出一组数据的众数和中位数． 教学重点 认识中位数、众数这两种数据代表． 教学难点 利用中位数、众数分析数据信息，做出决策． 教学过程 一、复习导入 前面已经和同学们研究了平均数这个数据代表．它在分析数据的过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据的过程中又起到怎样的作用． 下表是某公司员工月收入的资料. 月收 入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 　　(1)计算这个公司员工月收入的平均数； (2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？ 师：同学们知道如何计算这个公司员工月收入的平均数吗？ 生：根据加权平均数，可以求出这个公司员工月收入的平均数为： ＝6276. 师：很好！那么用第(1)问中算得的平均数来反映该公司全体员工的月收入水平，你认为合理吗？ 生：不合理．因为在这25名员工中，仅有3名员工的收入在6276元以上，而另外22名员工的收入都在6276元以下．因此，用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平不合适． 二、讲授新课 师：这位同学分析得很好！那么应该选择什么数据来反映该公司员工月收入的水平呢？这就要用到本节课要学习的中位数，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势． 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称位于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数． 利用中位数分析数据可以获得一些信息．例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大排列，得到的中位数为3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元． 【例1】教材第117页例4. 师：刚才我们学习中位数，下面我们再来学习一个反映数据集中趋势的另一众数，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映该组数据的集中趋势． 【例2】教材第118页例5. 三、巩固练习 1．数据8，9，9，8，10，8，9，9，8，10，7，9，9，8的中位数是________，众数是________． 【答案】9　9 2．一组各不相同的数据23，27，20，18，x，12，它的中位数是21，则x的值是________． 【答案】22 3．数据92，96，98，100，x的众数是96，则其中位数和平均数分别是(　　) A．97，96　　　　　　　B．96，96.4 C．96，97 D．98，97 【答案】B 4．如果在一组数据中，23，25，28，22出现的次数依次为3，5，3，1，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是(　　) A．24，25 B．23，24 C．25，25 D．23，25 【答案】C 四、课堂小结 1．认识了中位数和众数． 2．理解了中位数和众数的意义和作用，并能利用它们分析数据信息，做出决策． 教学反思 本次教学中，我引导学生在了解了中位数和众数的意义之后，让学生利用中位数和众数的知识解决实际问题，理论知识与实际生活的相联系，让学生体会到中位数与众数知识的实用性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第2课时　中位数和众数(2) 教学目标 知识与技能 1．进一步认识到平均数、众数、中位数都是数据的代表． 2．了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异． 教学重点 了解平均数、中位数、众数之间的差异． 教学难点 灵活运用这三个数据代表解决问题． 教学过程 一、复习导入 平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，是描述一组数据集中趋势的量．它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势．另外要注意： (1)平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大； (2)众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算也不受极端值的影响； (3)平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应地引起平均数的变动； (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势； (5)实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上单位． 二、例题讲解 【例1】在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示： 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数． 答案 解：众数是90分；中位数是85分；平均数是84.6分. 【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：(单位：岁) 甲群：13，13，14，15，15，15，16，17，17. 乙群：3，4，5，5，6，6，36，55. (1)甲群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映甲群游客年龄特征的是________； (2)乙群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是________． 答案 (1)15　15　15　众数　(2)15　5.5　5，6　中位数 【例3】教材第119页例6 三、巩固练习 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： 职员 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为应该使用平均数、中位数和众数中的哪一个来描述该公司职工的工资水平？ 【答案】(1)2091　1500　1500　(2)3288　1500　1500　(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 四、课堂小结 1．了解平均数、中位数、众数之间的差异． 2．灵活运用这三个数据代表解决问题． 教学反思 本节课首先从复习平均数、中位数和众数的定义开始，接着列出这三种统计量各自的特点和适用条件，为避免太过抽象，在后面设计的例题中都有这些统计量的应用，培养学生应用数学的意识． 　　　　　　　　　　　　　　　　20.2　数据的波动程度 教学目标 知识与技能 1．理解方差概念的产生和形成过程． 2．掌握方差的定义和计算公式． 3．会用方差比较两组数据的波动大小． 教学重点 方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题． 教学难点 理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题． 教学过程 一、情景导入 请同学们看下面的问题：(幻灯片出示) 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 上面两组数据的平均数分别是 x甲≈7.54，x乙≈7.52， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成下面的图1（见教材第124页图20.2-1）和图2（见教材第124页图20.2-2）. 小组之间进行讨论，说明从两图中可以得到哪些信息，怎样解决 师：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均量附近，从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的内容——方差． 教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)． 二、讲授新课 教师讲解：为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法： 设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数是s2，那么我们用 s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；数据的方差越小，说明这组数据的波动越小，教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握． 在学生理解了方差的概念之后，再回到了引例中，通过计算甲、乙两种甜玉米的方差，根据理论说明哪种甜玉米的产量更好． 教师示范： 两组数据的方差分别是 s2甲＝≈0.01， s2乙＝≈0.002. 显然s2甲＞s2乙，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从图1和图2看到的结果一致． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米． 这样做使学生深刻地体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识． 二、例题讲解 【例1】教材第125页例1. 【例2】教材第127页例2. 【例3】(幻灯片出示)已知两组数据： 甲：9.9　10.3　9.8　10.1　10.4　10　9.8　9.7 乙：10.2　10　9.5　10.3　10.5　9.6　9.8　10.1 分别计算这两组数据的方差，并指出哪组数据更稳定． 让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名学生到黑板计算． 解：x甲＝10＋(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3) ＝10＋×0＝10， x乙＝10＋(0.2＋0－0.5＋0.3＋0.5－0.4－0.2＋0.1) ＝10＋×0＝10， s甲2＝[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2] ＝(0.01＋0.09＋…＋0.09) ＝×0.44＝0.055， s乙2＝[(10.2－10)2＋(10－10)2＋…＋(10.1－10)2] ＝(0.04＋0＋…＋0.01) ＝×0.84＝0.105， 从s2甲＜s2乙知道，乙组数据比甲组数据波动大，所以甲组更稳定. 三、巩固练习 1．已知一组数据为2，0，－1，3，－4，则这组数据的方差为________． 【答案】6 2．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但s2甲_______s2乙，所以选_______去参加比赛． 【答案】＞　乙 四、课堂小结 1．知识小结：通过这节课的学习，我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小，而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差． 2．方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用平均数求方差． 教学反思 本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”． 学科网（北京）股份有限公司 $$