培优专题 二次根式的运算（知识盘点+14题型+4易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 二次根式的运算 二次根式的乘法法则 数学语言 文字语言 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变 特别提醒 (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定不能忽略被开方数均为非负数这一条件. (2)有理数中的运算律、运算法则在二次根式的乘法中仍然适用. （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 总结: 二次根式相乘有规则 (1)二次根式相乘时,把被开方数和各个根号外面的系数分别相乘，将系数相乘的积作为积的系数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数. (2)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方. 拓展 逆用二次根式的乘法法则 - 逆用二次根式的乘法法则为 。 - 这个逆用法则在化简二次根式等方面有重要作用。例如，化简，可以将12分解因数，因为，根据逆用二次根式乘法法则。这样就把化简为最简二次根式的形式，在后续的数学运算中，最简二次根式更便于计算和处理。 通过逆用二次根式乘法法则，可以将一个二次根式拆分成两个更简单的二次根式的乘积形式，从而达到化简二次根式等目的。 注意： （1）公式中的可以是数，也可以是代数式，但必须满足．实际上，公式中的取值范围是限制公式右边的，对于公式的左边，只要即可，如 ． （2）被开方数一定是乘积的形式，不要出现＂＂这样的错误． 拓展 也可推广到多个的情况，如 （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 总结 在应用公式 时，先将被开方数进行因式分解，再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外． 二次根式的除法法则 法则内容： 。 语言表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 成立条件 特别提醒 对于 ，要求 。因为在实数范围内，二次根式的被开方数须是非负数，且分母不能为 0 。 对于 ，同样需要 ，以保证 有意义且 是一个实数。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 （4） 的倒数是 . （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． ． 总结： （1）两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘，即 ，其中． （2）被开方数相除时，可以用法则＂除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数＂进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果． 逆用二次根式的除法法则 1．法则内容：二次根式除法法则的逆用形式为。 2．意义及用途： 意义：从形式上看，是将一个形如的二次根式，转化为两个二次根式相除的形式。 用途：主要用于分母有理化及二次根式的化简求值。比如在化简时，根据逆用的二次根式除法法则，可将其转化为，然后再通过分子分母同乘进行分母有理化，得到。 注意 －必须满足 这个条件。若 ，则 无意义；若 中分母为零或 无意义。例如，当 时， 无意义，不能运用该法则进行变形；当 时， 无意义。 （23-24八年级上·全国·单元测试）化简∶ (1)； (2)． 总结： 化去分母中根号的两种常用方法 方法 1：利用 将分母中的根号去掉，例如， 方法 2：利用分式的基本性质，分子与分母同乘一个适当的二次根式，利用公式 将分母中的根号化去，例如， 最简二次根式 最简二次根式满足的两个条件 （1）被开方数不含分母; （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 特别提醒 最简二次根式的概念可以这样理解: (1)被开方数必须是整数或整式; (2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1. 拓展 分母有理化 化去分母中根号的变形叫做分母有理化.分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母同时乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以使运算最简便为宜。 （21-22八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 总结 先分解后判断,是否最简很简单 在判断一个二次根式是否为最简二次根式时，需要看被开方数中是否含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数是否含有分母.若被开方数是多项式,则先进行因式分解，再作判断. 可以合幷的二次根式 1. 判断二次根式是否可以合并的方法:(1)先将二次根式化成最简二次根式;(2)再看被开方数是否相同. 2. 合并二次根式的方法：（1）根号外的因数（或因式）相加减；（2）根指数和被开方数不变．如 ． 拓展 可以合并的二次根式也可以叫做同类二次根式. 特别提醒 (1)合并二次根式的依据是乘法的分配律;(2)合并二次根式的计算方法类似于整式加减中的合并同类项;(3)判断几个二次根式是否可以合并，只与化简后的被开方数有关，与根号外的因数或因式无关. （14-15八年级·全国·课后作业）下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（ ） A． B． C． D． 总结 二次根式合并要“一化二看”再判断 要判断两个二次根式在加减运算中是否可以进行合并，不要只看表面形式,要“一化二看”再判断.“一化”即化成最简二次根式,“二看”即看化简后的二次根式的被开方数是否相同. 二次根式的加减 1.运算法则:一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.运算步骤 1．化简：将每个二次根式化为最简二次根式。例如计算，先将化简为化简为 。 2．判断同类二次根式：找出化简后的二次根式中的同类二次根式。如在中，和是同类二次根式。 3. 合并同类二次根式：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。对于，将系数2和3相加，得到 。 二次根式的加减与二次根式的乘除的区别 运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式 特别提醒 (1)二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因数(或因式)，它包含前面的符号;当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数. (2)化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分. (3)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 总结 一次根式的加减运算与整式的加减运算类似，都是“同类”部分不变,前面系数相加减,并把“不同类”的二次根式也作为最终结果中的一部分. 二次根式的混合运算 1. 运算顺序先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的 2.运算法则在二次根式的运算中,实数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 特别提醒 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用，有时还需要灵活逆用公式，这样可以简化计算过程。 平方差公式： ．完全平方公式： . （24-25九年级上·海南海口·期中）计算 (1) (2) 总结 灵活运用乘法公式和运算律可减少运算步骤，并且运算结果不易出错,这是乘法公式和运算律在二次根式的混合运算中的优势所在. 二次根式的乘法 例1（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式1-1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知，则代数式 的值为 ． 二次根式的除法 例2（22-23九年级下·山东淄博·期中）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【变式2-3】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）计算：． 二次根式的乘除混合运算 例3（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 二次根式的乘除混合运算中的四点注意 (1)带分数要化成假分数; (2)要注意确定最后结果的符号; (3)最后结果一般要化为最简二次根式或整式; (4)在二次根式的乘除混合运算中,有理数的运算法则同样适用。 最简二次根式的判断 例4（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 化为最简二次根式 例5（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【变式5-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）计算： (1) (2) 审题关键:二次根式的被开方数是小数、带分数或算式的应先转化，再运用二次根式的乘、除法法则进行化简. 已知最简二次根式求参数 例6（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【变式6-1】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【变式6-3】（20-21八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 同类二次根式 例7（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-3】（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 二次根式的加减运算 例8（23-24九年级上·山西大同·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 【变式8-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 二次根式的混合运算 例9（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【变式9-1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算 (1)计算：； (2)计算：． 【变式9-2】（22-23八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值，其中． 【变式9-3】（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）计算： (1)； (2)． 分母有理化 例10（23-24八年级下·广东清远·期末）先化简，再求值：，其中． 审题关键:分母有理化的实质是将分子、分母同时乘一个适当的数(或式子)，化去分母中的根号. 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式10-2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)已知，求的值． 【变式10-3】（23-24八年级下·全国·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：其中． 三步搞定分母有理化 第 1步:“移”,即将分子、分母中能开得尽方的因数(或因式)移到根号外; 第 2步:“乘”,即将分子、分母同时乘分母的有理化因数(或因式); 第 3步:“化”,即化简计算结果. 已知字母的值，化简求值 例11（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）若，求值． （2）化简：． 【变式11-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 已知条件式，化简求值 例12（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【变式12-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【变式12-2】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 比较二次根式的大小 例13（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【变式13-1】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【变式13-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【变式13-3】（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 二次根式比较大小有“三招 （1）归根法：先将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大． （2）平方法：若两个二次根式同号，也可以先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可． （3）作商法： 都是正数，若，则；若，则；若，则． 二次根式的应用 例14（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    【变式14-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【变式14-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【变式14-3】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 最终结果要使实际问题有意义 解答实际问题时,首先要正确理解题意，把实际问题转化为数学问题，并找到解答问题的关键点，再利用相关数学知识进行解答，最终结果一定要保证实际问题有意义. 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【例2】（21-22八年级下·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（   ） A．5 B． C．4 D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为 ． 7．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 8．（2019·湖南衡阳·中考真题）计算： ． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 12．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 13．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算 （1）     （2） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式的运算 二次根式的乘法法则 数学语言 文字语言 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变 特别提醒 (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定不能忽略被开方数均为非负数这一条件. (2)有理数中的运算律、运算法则在二次根式的乘法中仍然适用. （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 总结: 二次根式相乘有规则 (1)二次根式相乘时,把被开方数和各个根号外面的系数分别相乘，将系数相乘的积作为积的系数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数. (2)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方. 拓展 逆用二次根式的乘法法则 - 逆用二次根式的乘法法则为 。 - 这个逆用法则在化简二次根式等方面有重要作用。例如，化简，可以将12分解因数，因为，根据逆用二次根式乘法法则。这样就把化简为最简二次根式的形式，在后续的数学运算中，最简二次根式更便于计算和处理。 通过逆用二次根式乘法法则，可以将一个二次根式拆分成两个更简单的二次根式的乘积形式，从而达到化简二次根式等目的。 注意： （1）公式中的可以是数，也可以是代数式，但必须满足．实际上，公式中的取值范围是限制公式右边的，对于公式的左边，只要即可，如 ． （2）被开方数一定是乘积的形式，不要出现＂＂这样的错误． 拓展 也可推广到多个的情况，如 （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． （1）利用二次根式的性质化简求值； （2）利用二次根式的性质化简求值； （3）利用二次根式的性质化简； （4）利用二次根式的性质化简； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 总结 在应用公式 时，先将被开方数进行因式分解，再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外． 二次根式的除法法则 法则内容： 。 语言表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 成立条件 特别提醒 对于 ，要求 。因为在实数范围内，二次根式的被开方数须是非负数，且分母不能为 0 。 对于 ，同样需要 ，以保证 有意义且 是一个实数。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 （4） 的倒数是 . （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； 本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ． 总结： （1）两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘，即 ，其中． （2）被开方数相除时，可以用法则＂除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数＂进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果． 逆用二次根式的除法法则 1．法则内容：二次根式除法法则的逆用形式为。 2．意义及用途： 意义：从形式上看，是将一个形如的二次根式，转化为两个二次根式相除的形式。 用途：主要用于分母有理化及二次根式的化简求值。比如在化简时，根据逆用的二次根式除法法则，可将其转化为，然后再通过分子分母同乘进行分母有理化，得到。 注意 －必须满足 这个条件。若 ，则 无意义；若 中分母为零或 无意义。例如，当 时， 无意义，不能运用该法则进行变形；当 时， 无意义。 （23-24八年级上·全国·单元测试）化简∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简： （1）分数化成假分数，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 总结： 化去分母中根号的两种常用方法 方法 1：利用 将分母中的根号去掉，例如， 方法 2：利用分式的基本性质，分子与分母同乘一个适当的二次根式，利用公式 将分母中的根号化去，例如， 最简二次根式 最简二次根式满足的两个条件 （1）被开方数不含分母; （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 特别提醒 最简二次根式的概念可以这样理解: (1)被开方数必须是整数或整式; (2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1. 拓展 分母有理化 化去分母中根号的变形叫做分母有理化.分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母同时乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以使运算最简便为宜。 （21-22八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 总结 先分解后判断,是否最简很简单 在判断一个二次根式是否为最简二次根式时，需要看被开方数中是否含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数是否含有分母.若被开方数是多项式,则先进行因式分解，再作判断. 可以合幷的二次根式 1. 判断二次根式是否可以合并的方法:(1)先将二次根式化成最简二次根式;(2)再看被开方数是否相同. 2. 合并二次根式的方法：（1）根号外的因数（或因式）相加减；（2）根指数和被开方数不变．如 ． 拓展 可以合并的二次根式也可以叫做同类二次根式. 特别提醒 (1)合并二次根式的依据是乘法的分配律;(2)合并二次根式的计算方法类似于整式加减中的合并同类项;(3)判断几个二次根式是否可以合并，只与化简后的被开方数有关，与根号外的因数或因式无关. （14-15八年级·全国·课后作业）下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式和最简二次根式的化简，把各项都化成最简二次根式，根据被开方数相同的可以合并即可解答． 【详解】，，，，所以与可以合并， 故选：A． 总结 二次根式合并要“一化二看”再判断 要判断两个二次根式在加减运算中是否可以进行合并，不要只看表面形式,要“一化二看”再判断.“一化”即化成最简二次根式,“二看”即看化简后的二次根式的被开方数是否相同. 二次根式的加减 1.运算法则:一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.运算步骤 1．化简：将每个二次根式化为最简二次根式。例如计算，先将化简为化简为 。 2．判断同类二次根式：找出化简后的二次根式中的同类二次根式。如在中，和是同类二次根式。 3. 合并同类二次根式：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。对于，将系数2和3相加，得到 。 二次根式的加减与二次根式的乘除的区别 运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式 特别提醒 (1)二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因数(或因式)，它包含前面的符号;当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数. (2)化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分. (3)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. （2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 总结 一次根式的加减运算与整式的加减运算类似，都是“同类”部分不变,前面系数相加减,并把“不同类”的二次根式也作为最终结果中的一部分. 二次根式的混合运算 1. 运算顺序先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的 2.运算法则在二次根式的运算中,实数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 特别提醒 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用，有时还需要灵活逆用公式，这样可以简化计算过程。 平方差公式： ．完全平方公式： . （24-25九年级上·海南海口·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）依次计算算术平方根、绝对值、零指数幂与负整数指数幂，最后计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 总结 灵活运用乘法公式和运算律可减少运算步骤，并且运算结果不易出错,这是乘法公式和运算律在二次根式的混合运算中的优势所在. 二次根式的乘法 例1（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知，则代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握平方差公式成为解题的关键． 将代入运用二次根式的乘法、平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 二次根式的除法 例2（22-23九年级下·山东淄博·期中）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的性质及二次根式乘除法则计算即可得到答案． 【详解】解∶． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 【变式2-3】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式的除法、绝对值、负整数指数幂，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 二次根式的乘除混合运算 例3（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式乘除法的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键．根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键． （1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了根式的混合运算，去绝对值符号，零指数幂， （1）利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）去括号，去绝对值符号，算零指数幂，然后再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 方法技巧 二次根式的乘除混合运算中的四点注意 (1)带分数要化成假分数; (2)要注意确定最后结果的符号; (3)最后结果一般要化为最简二次根式或整式; (4)在二次根式的乘除混合运算中,有理数的运算法则同样适用。 最简二次根式的判断 例4（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 【变式4-1】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性质逐项化简判断即可． 【详解】解：A、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式“（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 化为最简二次根式 例5（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式具备的条件(被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)是解题的关键． 根据最简二次根式具备的条件逐项判断即可． 【详解】A. 符合最简二次根式的条件，是最简二次根式，故符合题意； B.不是最简二次根式，故不符合题意； C.不是最简二次根式，故不符合题意； D.，不是最简二次根式，故不符合题意. 故选：A． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 【变式5-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法和零指数幂计算即可； （2）根据负整数指数幂，二次根式的乘法，最简二次根式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 审题关键:二次根式的被开方数是小数、带分数或算式的应先转化，再运用二次根式的乘、除法法则进行化简. 已知最简二次根式求参数 例6（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式6-1】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 【变式6-3】（20-21八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 同类二次根式 例7（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴能与合并的是， 故选：． 【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 【变式7-3】（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 二次根式的加减运算 例8（23-24九年级上·山西大同·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 【变式8-1】（24-25九年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键． 由，可得，即可得和，则m和n的值可求，则问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为7， ∴的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式8-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二次根式的混合运算 例9（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 【变式9-1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数运算，二次根式的混合运算，正确掌握混合运算法则是解题关键． （1）先求立方根以及算术平方根，进而得出答案； （2）先计算二次根式的乘法，立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】（22-23八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 【变式9-3】（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 分母有理化 例10（23-24八年级下·广东清远·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．括号内先通分，再将除法转化为乘法，即可化简，再代入数据计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 审题关键:分母有理化的实质是将分子、分母同时乘一个适当的数(或式子)，化去分母中的根号. 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式10-2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，零指数幂： （1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算二次根式加减法即可； （3）先化简二次根式和分母有理数，再计算零指数幂，最后计算再计算二次根式加减法即可； （4）先分母有理化，然后根据合并化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 当时，原式． 【变式10-3】（23-24八年级下·全国·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式和分母有理化，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，分母有理化，零指数幂和负整数指数幂，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 方法技巧 三步搞定分母有理化 第 1步:“移”,即将分子、分母中能开得尽方的因数(或因式)移到根号外; 第 2步:“乘”,即将分子、分母同时乘分母的有理化因数(或因式); 第 3步:“化”,即化简计算结果. 已知字母的值，化简求值 例11（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）若，求值． （2）化简：． 【答案】（1）5（2）5 【分析】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的混合运算： （1）先进行分母有理化化简，将代数式化为完全平方公式的形式，代值计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）原式 ． 【变式11-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ∴，， ． 已知条件式，化简求值 例12（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 【变式12-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 比较二次根式的大小 例13（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式13-1】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【变式13-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 【变式13-3】（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 方法技巧 二次根式比较大小有“三招 （1）归根法：先将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大． （2）平方法：若两个二次根式同号，也可以先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可． （3）作商法： 都是正数，若，则；若，则；若，则． 二次根式的应用 例14（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：面积为和的正方形木板边长分别为 ， ∴原来长方形的长为，宽为， ∴原来长方形的面积为， 故答案为：． 【变式14-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 【变式14-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． （2）解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【变式14-3】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 规律总结 最终结果要使实际问题有意义 解答实际问题时,首先要正确理解题意，把实际问题转化为数学问题，并找到解答问题的关键点，再利用相关数学知识进行解答，最终结果一定要保证实际问题有意义. 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【例2】（21-22八年级下·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的性质即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的化简；理解并掌握其概念是解题的关键．最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不含有能开方的因数或因式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先把原式变形为，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 当时， 原式． 故选：D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为 ． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 7．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2019·湖南衡阳·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的减法运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可． 【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为： ， 设圆柱形玻璃容器的底面半径为r， 根据题意得， 解得． 答：圆柱形玻璃容器的底面半径为． 12．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 【答案】． 【分析】根据得，则，，将原式化为，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键． 13．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算 （1）     （2） 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则——，其中 ， ，还要注意结果要化为最简二次根式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$