培优专题 二次根式（知识盘点+5题型+3易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 二次根式 二次根式的概念 1 二次根式的一般形式：. 2． 二次根式的有关概念. 注意： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号＂＂． （2） 的根指数是 2 ，在书写时一般省略根指数 2 ． （3）被开方数 既可以表示一个非负的数，也可以表示一个非负的式子． 【特别提醒】 （1） 实际上就是非负数的算术平方根． （2）在具体问题中，若已知二次根式 ，则意味着给出了 这一隐含条件． 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 总结 紧扣两条件，二次根式精判断 判断一个式子是否为二次根式，关键是看该式子是否同时满足两个条件：（1）形式上带有＂ ；（2）被开方数（或式）非负．二者缺一不可． 拓展 形如 的式子也是二次根式，表示与的乘积，要注意是假分数时，不能写成带分数的形式，如不能写成 ． 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是. 注意: 由于在实数范围内，负数没有平方根，因此只有当被开方数是非负数时，二次根式在实数范围内才有意义. x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 总结: 确定二次根式中字母的取值范围 (1)若二次根式在实数范围内有意义,则被开方数大于或等于0,列出不等式(组)求解;若二次根式在实数范围内无意义,则被开方数小于0,列出不等式(组)求解. (2)若一个式子的分母是二次根式,则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件,从而列不等式(组)求解. 二次根式的性质 性质 说明 二次根式的非负性 因为表示非负数的算术平方根，所以由算术平方根的概念可知 因为表示非负数的算术平方根，所以将非负数的算术平方根平方，就等于，即 根据算术平方根的概念可知，当时，的算术平方根就是，即 辨析: )2 与的异同 异同 不同点 意义 非负数的算术平方根的平方 实数的平方的算术平方根 取值 是非负数 是任意实数 结果 相同点 两者都是非负数，且当时，2 特别提醒 （1）二次根式 具有双重非负性，即 ，且 ． （2）常见的三种类型的非负式：（以及所有偶次方）和 . 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 总结： 解决此类问题的关键是熟练掌握公式和. 代数式 1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加，减，乘，除，乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如,等都是代数式． 注意： （1）单独一个数或字母也是代数式； （2）代数式中不能含＂＂＂＂＂＂等关系符号，即方程和不等式都不是代数式． 2列代数式:按照题目给定的各个量之间的关系,用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来,得到所求的代数式. 下列式子中是代数式的有：-1; x+2y; 2x-3>1;; （    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 求二次根式的值 例1（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 求二次根式中的参数 例2（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式2-1】1．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 【变式2-3】（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 二次根式有意义的条件 例3（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 审题关键：二次根式有意义的条件是，分式有意义的条件是．当二次根式与分式相结合时，要分别保证每一部分都有意义． 【变式3-1】（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式3-3】（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 方法总结 求字母取值范围的三种常见类型 （1）单独一个二次根式,要保证被开方数大于或等于0; （2）多个二次根式的组合,要列出不等式组,求出不等式组的解集; （3）二次根式与分式、零指数幂或负指数幂的组合,所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零指数幂或负指数幂的底数等于0的值． 利用二次根式的性质化简 例4（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 【变式4-1】（22-23八年级下·四川成都·期中）计算 (1)； (2)解不等式组：； (3)． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【变式4-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 方法技巧 化简形如的式子时，一般分两步： 第1步，将其化为的形式； 第 2 步，根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号． 复合二次根式的化简 例5（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【变式5-2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【例1】（2024春•兰州期末）使有意义的实数的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【例2】（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆綦江·期中）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）化简： ；当时， ． 8．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 9．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值为 ． 三、解答题 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式的规律： ①；②；③…… (1)猜想：第个等式是_____________________________； (2)说明你的猜想的正确性； (3)应用：若，则____________． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式 二次根式的概念 1 二次根式的一般形式：. 2． 二次根式的有关概念. 注意： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号＂＂． （2） 的根指数是 2 ，在书写时一般省略根指数 2 ． （3）被开方数 既可以表示一个非负的数，也可以表示一个非负的式子． 【特别提醒】 （1） 实际上就是非负数的算术平方根． （2）在具体问题中，若已知二次根式 ，则意味着给出了 这一隐含条件． 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 总结 紧扣两条件，二次根式精判断 判断一个式子是否为二次根式，关键是看该式子是否同时满足两个条件：（1）形式上带有＂ ；（2）被开方数（或式）非负．二者缺一不可． 拓展 形如 的式子也是二次根式，表示与的乘积，要注意是假分数时，不能写成带分数的形式，如不能写成 ． 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是. 注意: 由于在实数范围内，负数没有平方根，因此只有当被开方数是非负数时，二次根式在实数范围内才有意义. x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)x可取任何实数 (4)； (5)且； (6)． 【分析】（1）根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，求解即可； （2）根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，求解即可； （3）根据二次根式有意义的条件即可求解； （4）根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，求解即可； （5）根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，求解即可； （6）根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由题意得， 解得：； （3）解：由题意得：x可取任何实数； （4）解：由题意得； （5）解：由题意得且， 解得：且； （6）解：由题意得且， 解得：． 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 总结: 确定二次根式中字母的取值范围 (1)若二次根式在实数范围内有意义,则被开方数大于或等于0,列出不等式(组)求解;若二次根式在实数范围内无意义,则被开方数小于0,列出不等式(组)求解. (2)若一个式子的分母是二次根式,则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件,从而列不等式(组)求解. 二次根式的性质 性质 说明 二次根式的非负性 因为表示非负数的算术平方根，所以由算术平方根的概念可知 因为表示非负数的算术平方根，所以将非负数的算术平方根平方，就等于，即 根据算术平方根的概念可知，当时，的算术平方根就是，即 辨析: )2 与的异同 异同 不同点 意义 非负数的算术平方根的平方 实数的平方的算术平方根 取值 是非负数 是任意实数 结果 相同点 两者都是非负数，且当时，2 特别提醒 （1）二次根式 具有双重非负性，即 ，且 ． （2）常见的三种类型的非负式：（以及所有偶次方）和 . 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． （1）将化成再进行化简； （2）将化成再进行化简； （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 总结： 解决此类问题的关键是熟练掌握公式和. 代数式 1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加，减，乘，除，乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如,等都是代数式． 注意： （1）单独一个数或字母也是代数式； （2）代数式中不能含＂＂＂＂＂＂等关系符号，即方程和不等式都不是代数式． 2列代数式:按照题目给定的各个量之间的关系,用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来,得到所求的代数式. 下列式子中是代数式的有：-1; x+2y; 2x-3>1;; （    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】代数式分为整式和分式,整式包括单项式和多项式,单项式是指单个数字,单个字母,以及数字和字母乘积形式,多项式是指几个单项式和的形式,分式是指分母中含有字母的式子,根据相关代数式的定义可进行判定. 【详解】因为-1,属于单项式,即1是代数式;因为x+2y是多项式,属于代数式; 因为2x-3>1是不等式,所以不是代数式,是代数式,是等式,不是代数式, 故有3个代数式. 【点睛】本题主要考查代数式的概念,解决本题的关键是要熟练掌握代数式的概念. 求二次根式的值 例1（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 【变式1-3】（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 求二次根式中的参数 例2（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【变式2-1】1．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 【变式2-2】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 【变式2-3】（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 二次根式有意义的条件 例3（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 审题关键：二次根式有意义的条件是，分式有意义的条件是．当二次根式与分式相结合时，要分别保证每一部分都有意义． 【变式3-1】（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得：，且， ∴且， 故选：D． 【变式3-3】（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，能根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出和是解此题的关键，注意：①中，②． 根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：要使代数式有意义，必须 且， 解得：且． 故答案为：且． 方法总结 求字母取值范围的三种常见类型 （1）单独一个二次根式,要保证被开方数大于或等于0; （2）多个二次根式的组合,要列出不等式组,求出不等式组的解集; （3）二次根式与分式、零指数幂或负指数幂的组合,所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零指数幂或负指数幂的底数等于0的值． 利用二次根式的性质化简 例4（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（22-23八年级下·四川成都·期中）计算 (1)； (2)解不等式组：； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值化简即可； （2）根据解不等式组的基本步骤解答即可； （3）根据分式的化简运算解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，绝对值化简，解不等式组，分式的化简运算，熟练掌握解题基本步骤是解题的关键． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 【变式4-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 方法技巧 化简形如的式子时，一般分两步： 第1步，将其化为的形式； 第 2 步，根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号． 复合二次根式的化简 例5（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 【变式5-2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 【例1】（2024春•兰州期末）使有意义的实数的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【解答】解：由题意，得，， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：A 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 一、单选题 1．（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得：，且， ∴且， 故选：D． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·重庆綦江·期中）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）化简： ；当时， ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 根据即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3，． 8．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式求出的表达式，再将的取值依次代入，然后求和即可得． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 则所求的总和为： 故答案为：． 9．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键． 三、解答题 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式的规律： ①；②；③…… (1)猜想：第个等式是_____________________________； (2)说明你的猜想的正确性； (3)应用：若，则____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)55 【分析】（1）利用已知得出各式变化规律，二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子； （2）把 二次根式里面进行通分化简即可证明结论； （3）根据规律求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第个等式是， 故答案为：； （2）解： （3）解：由题意可得：，，，即二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可； （2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可 【详解】（1）解：， ， ， ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）由（1）可知：，证明如下： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$