专项14 三角形与多边形面积问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——三角形与多边形面积问题 16种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 解三角形与多边形组合图形常用的方法有：直接公式法、分割法、补齐法、整体法、比例法，添加辅助线法，转化法及一些数学模型，含底高模型、蝴蝶模型、一半模型，弦图等。 三角形包括等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，其基本面积公式是： 三角形面积=底×高÷2 其它多边形如：长方形、正方形、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形等。 长方形面积公式：面积=长×宽 正方形面积公式：面积=边长×边长（或对角线×对角线÷2） 平行四边形面积公式：面积=底×高 梯形面积公式：面积=（上底+下底）×高÷2（上底与下底的和有时候可以看作是一个整体） 【直接法】对于简单的图形如长方形、正方形、平行四边形等，可以直接使用其面积公式进行计算。例如，长方形的面积等于长乘以宽。 下图中的平行四边形ABCD的面积是32cm2,AE=5cm,CE=4cm,求阴影部分的面积。 【思维点拨】三角形面积=底×高÷2，有些题型可以直接使用三角形的面积公式进行计算。本题已知阴影三角形的高，底是未知条件，所以关键是要求出阴影三角形的底，而三角形的底可以使用平行四边形的底AD减去AE的长。 【解答】 平行四边形ABCD的底：AD=面积÷高=32÷4=8（厘米） 阴影△DEC的底：ED=AD-AE=8-5=3（厘米） 阴影部分三角形面积=3×5÷2=7.5（平方厘米） 1.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 2.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 3.如图，四边形ADFC是长方形，已知△ABC的面积是36平方厘米，AC=8厘米，DE=3厘米。求（1）AD的长；（2）求阴影部分面积。 【分割法】分割法是一种计算平面几何图形面积的方法，特别适用于不规则图形。‌其基本原理是将一个复杂的几何图形分割成若干个可以计算的规则图形（如长方形、三角形、梯形等），分别计算出各个规则图形的面积，然后将这些面积相加，得到整个复杂图形的总面积。‌ 下图是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形,求草地与空地的面积之比。 【思维点拨】本题可以把阴影和白色部分进行分割，得到相同形状的基本图形，再行计算即可。 【解答】 分割如下： 把长方形花坛分割成32个小直角三角形，其中白色三角形有16个，阴影三角形也是16个，所以草地（阴影）与空地面积之比为1:1. 1.如图所示，A、B两点分别是长方形的长和宽的中点，阴影部分占长方形面积的几分之几? 2.正三角形ABC的面积是1m2,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边形(如右上图),求六边形的面积。 3.用四个相同的等腰直角三角板相互重叠着拼成右上图所示的正方形(单位:厘米),求阴影正方形的面积。 【补齐法】将不规则图形补全成一个规则图形，然后计算这个规则图形的面积，再减去补全部分的面积，从而得到不规则图形的面积。 下面每个图中有49个点,其中所有形如“∷”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形,试计算△ABC的面积。 【思维点拨】因为四点构成的小正方形的面积为1，所以每两个点之间的间距为1。补全图形如下图所示，用大正方形的面积减去补全的3个三角形的面积即可。 【解答】 大正方形面积：6×6=36 其中三个三角形面积分别为：2×6÷2=6；4×3÷2=6；3×6÷2=9 所以△ABC的面积为36-6-6-9=15 1.下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。 2.下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算四边形DEFG的面积。 3.下面每个图中有49个点,其中所有形如“∷”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形,试计算四边形DEFG的面积。 【挖空法】挖空法即用总面积减去空白部分的面积。 在图中，ABC与ADE都是等腰直角三角形,BC长8cm,DE长4cm,求阴影部分的面积。 【思维点拨】等腰直角三角形的斜边上的高等于斜边长度的一半。 【解答】 8×（8÷2）÷2-4×（4÷2）÷2=16-4=12（平方厘米） 1.下图中ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形,AB=9cm,FC=3cm,求阴影部分的面积。 2.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 3.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 【整体法】多个条件未知但又无法求出时，如果已知它们的和已知，我们可以把这几个未知条件看作是一个整体求解，这种解题思想称为整体思想。 图中,BC=20cm,求直角梯形 ABCD 的面积。 【思维点拨】根据45°和直角符号，不难发现三角形DCE和ABE都是等腰直角三角形，所以AB+DC=BC=20厘米。求解梯形面积时，可以使用整体思想，把梯形上底与下底的和看作是一个整体计算。因为梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2 【解答】 直角梯形ABCD的面积为：20×20÷测=200（平方厘米） 1.已知答长方形的面积为155平方厘米，求阴影部分面积。 2.如图，梯形的上底是12厘米，高是7厘米，求涂色部分的面积?(单位:厘米) 【比例法】当面积一定时，平行四边形的底和高成反比例。或高一定，三角形或平行四边形的面积与底成正比例。当运用到比例知识计算图形面积时，即比例法。 如图所示的平行四边形周长为15cm，AE=2cm，AF=3cm,求平行四边形ABCD的面积。 【思维点拨】要计算平行四边形的面积时，要已知底和高；本题平行四边形的底未知，已知周长和2种高。可以使用反比例知识求出两种底之比，再运用和比问题求出其中一条底即可解决。 【解答】 因为AE×BC=AF×DC 即2BC=3DC 所以BC:DC=3:2 又因为BC+DC=15÷2=7.5（厘米） 所以BC=7.5÷（3+2）×3=4.5（厘米） 平行四边形面积：4.5×2=9（平方厘米） 1.直角三角形ABC的三条边AB=5厘米，AC=3厘米，BC=4厘米。将它的直角边AC翻折到斜边AB上，使AC与AD重合，如图所示，图中阴影部分（未重叠部分）面积是多少平方厘米？ 2.如图所示，两个长方形长的比为6:5,宽的比为4:3,已知阴影三角形的面积为1m2,求大长方形的面积。 3.已知图中△ABC的每边长都是96cm，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，求线段CE和CF的长度之和。 【辅助线法】为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何图形归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形。 在下图的梯形中，A，M，N分别为所在线段的中点,阴影部分面积为15cm2,求梯形的面积。 【思维点拨】根据梯形面积公式推导过程，把梯形转化为三角形来进行计算。 【解答】作辅助线如下图所示： 因为A为MN的中点，所以△ABN与MBA的面积相等（等底等高），都为15平方厘米 又因为M为BC的中点，所以△BMN与△CMN的面积相等（等底等高）都为15×2=30平方厘米 可以证明点n为线段CD 的中点，所以△BCD的面积等于△CBN面积的2倍，为30×2=60（平方厘米），又因为△CDB的面积等于梯形面积， 所以梯形面积为60平方厘米。 1.直角梯形ABCD(如图)的中位线EF长12cm,已知△ABG的面积是梯形面积的，求 EG 的长。 2.平行四边形ABCD中,E、F分别是 AB、BC的中点,求△BEF与平行四边形ABCD 的面积之比。 3.在图中,正方形ABCD的边长是10cm,BO长8cm,求 AE的长。 【转换条件】当所给的条件（或不规则图形）无法求出面积时，可以通过重叠部分或差不变的性质进行转化条件（规则图形），可以求出所需的问题，这种方法称为转换法。 如图所示的平行四边形ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2,求 CF 的长。 【思维点拨】因为三角形EBC与平行四边形ABCD有重叠空白部分，所以可以阴影部分面积和△EFG的面积都加上空白部分面积，它们的面积差不变，这里运用了差不变的性质；通过差不变性质，把阴影部分与△EFG的面积差转化为平行四边形ABCD与直角三角形EBC的面积差为10平方厘米。再求出△EBC的面积，加上10平方厘米得到平行四边形ABCD的面积，通过面积和BC的长度求出高FC的长度。 【解答】 △EBC的面积为：10×8÷2=40（平方厘米） 平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米） 平行四边形ABCD的高FC的长度为：50÷10=5（厘米） 1.在图中,正方形ABCD的边长为5cm,又△CEF的面积比△ADF的面积大5cm2，求CE的长。 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=4m,ΔADE比△CEF的面积大5cm2,求 CF的长。 【转化问题】当遇到一个问题无法直接解答时，通过重叠图形，借助差不变的性质可以把问题进行转化为与它面积相等的图形进行求解。 图由两个相同的梯形重叠在一起，求图中阴影部分的面积(单位:cm)。 【思维点拨】两个相同的梯形，即面积相等；都减去重叠一块的面积，剩下的阴影部分的面积等于下面空白梯形的面积，此梯形的上底为10-3=7（厘米），下底为10厘米，高为4厘米，直接运用梯形面积公式求出即可。 【解答】 （10-3+10）×4÷2=34（平方厘米） 1.将2个全等直角三角形叠放在一起，如图所示，求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【底高模型】当两个或多个三角形高相等时，它们的面积比等于底之比。 在下图的△ABC中，AD是AC的，AE是AB的,△ABC 的面积是△AED 的几倍? 【思维点拨】通过添加辅助线，构造出三角形，运用底高模型求解。 【解答】 因为AE是AB的,即AE:EB=1：（3-1）=1:2 所以S△AED：S△EDB=1:2（高相等的三角形面积与底成正比例） 又因为AD是AC的，即AD:DC=1:1 所以△ABD等于△DBC的面积 所以△ABC的面积是△AED的（1+2）×2÷1=6 1.在△ABC中，CE=2AE，BD=3DC，已知△DEC的面积是4cm2，求ABC的面积。 2.如图,把△ABC的BA边延长一倍到D点，CB边延长两倍到F点，AC边延长三倍到E点，连结DE、EF、FD得到△DEF,△DEF是△ABC面积的几倍? 3.如图所示，将四边形ABCD的各边都延长一倍，得到的新四边形A＇B＇C＇D＇的面积是原四边形ABCD的几倍? 【蝴蝶模型】蝴蝶模型又称梯形蝴蝶定理，是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形，腰上的两个三角形的面积相等。梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。 下图中ABCD是平行四边形,△ABF与△DEF的面积哪个大?为什么? 【思维点拨】根据底高模型，三角形AED与三角形ABD等底等高，所以面积相等；都减去重叠三角形ADF的面积，剩下的三角形ABF与三角形DEF的面积就相等。 【解答】 在梯形ABED中，BE平行于AD，因△ADB与△AED等底等高，所以△ABD与△AED的面积相等，根据等式性质，都减去重叠△ADF的面积，剩下的两个阴影部分的面积相等。 1.下图中，已知阴影部分面积为3cm²，OC=3AO，求梯形面积。 2.如图所示，已知大正方形的边长是10cm,求阴影部分的面积 。 3.在长方形中,长和宽分别是6cm和4cm,阴影部分的面积和是10cm2,求四边形 ABCD 的面积。 【一半模型】常见于三角形是等底等高的平行四边形面积的一半。 如图所示，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有三块面积分别是13平方厘米、25平方厘米、49平方厘米，那么四边形FGHC的面积是多少平方厘米？ 【思维点拨】根据一半模型，即在平行四边形中，等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半。 【解答】 根据一半模型的规律得出： （49+S△EGH+25）+（13+S△BFC）=S△EBC=S△EGH+S阴影+S△BFC 根据等式性质得出 49+25+13=S阴影=四边形FGHC的面积=87（平方厘米） 1. 在下图的矩形ABCD,△AOB 的面积为16 cm2，△DOC的面积占矩形面积的18%，求矩形ABCD 的面积。 2.下图中，试比较正方形ABCD的对角线AC左下方阴影部分的面积与右上方两块阴影部分的面积之和谁大谁小,并说明理由。 3.如图所示，四边形ABCD和DEFG 都是平行四边形,证明它们的面积相等。 【正难则反】当阴影部分是不规则图形或图形条件未知时，不能直接求出面积时，可以通过间接求出空白部分面积，再用总面积减去空白部分面积，即等于阴影部分面积。这就是正难则反数学解题思想。 下图中的长方形长10cm，宽8cm，三角形甲和乙的面积都是长方形面积的,求阴影部分的面积。 【思维点拨】本题阴影三角形底和高都是未知条件，无法直接求出阴影三角形的面积，所以可以先求出3个空白直角三角形的面积占总面积的分率，在用总面积1减去它们的分率，即得出阴影部分面积占总面积的分率。 【解答】 因为三角形甲和乙的面积都是长方形面积的,所以E、F两点为所在边的中点；所以△EFC的面积占总面积的×÷2=。 得出阴影部分面积占总面积的分率为：1---=。 1.如图所示的长方形ABCD中，AD长6cm，AB长4cm,△ADE、四边形 DEBF 及ACDF 的面积分别相等,求△DEF 的面积。 2.如图所示的直角梯形 ABCD 的上底、下底、高依次为10cm,14cm,5cm,又△ABF,△BCE 及四边形BEDF的面积相等,求△DEF的面积。 【最值问题】最值问题是数学中一个重要的概念，它通常涉及到函数、方程或问题的最大值或最小值。 下图是一个边长为10cm的正方形，AE=4cm,AF=5cm，在正方形的边界上再选一点，使得这点与E，F两点连成的三角形的面积尽可能大，这个面积最大的三角形的面积是多少? 【思维点拨】因为底边EF的长度一定，要是三角形面积最大，只要高最长即可。在正方形边界上，只有点C与EF的距离最长。所以面积最大的三角形是EFC，求出三角形EFC面积即可。（如下图所示） 【解答】 通过正难则反的数学思想，先求出3个直角三角形的面积，再用总面积减去这3个直角三角形的面积就是△EFC的面积。 10×10-4×5÷2-6×10÷2-5×10÷2 =100-10-15-25 =50（平方厘米） 1.李叔叔用一根长12米的篱笆，靠墙围成一个直角梯形菜地，这个菜地的面积最大是多少平方米？ 2.牧羊人用 15 段每段2米长的篱笆，一面靠墙围成一个长方形或正方形羊圈，则羊圈的最大面积是多少? 【对比法】下面四个图形形状相似，但是解题思路与方法完全不同，通过对比训练，提升学生思维和解题能力。 在直角三角形ABC中,AB=10cm,BC=15cm。在其内作一个正方形EOFB(如图)，求正方形EOFB的面积。 【思维点拨】本题可以使用方程法列式求解；可以假设正方形EOFB的边长为x厘米，然后根据等量关系：S△ABC-S△AEO-S△OFC=SEOFB 【解答】 列出算式： 10×15÷2-（10-x）x÷2-（15-x）x÷2=x2 化简得：75-12.5x+x2=x2= 12.5x=75， 解得：x=6 所以正方形EOFB的面积为：6×6=36（平方厘米） 1.在直角三角形ABC中,AE=2cm,FC=5cm。在其内作一个正方形EOFB(如图)，求正方形EOFB的面积。 2.在直角三角形ABC中,AO=3cm,OC=4cm。四边形EOFB是一个正方形(如图)，求阴影部分的面积。 【其它】如图像放大与缩小（即相似三角形）、弦图等方面 如图,E是长方形ABCD边AB的中点,已知△EBF的面积是1cm2,求长方形ABCD的面积。 【思维点拨】根据图像放大与缩小，△EFB与△CFD是形状相同，对应边EB:CD=1:2，所以EF:FC=1:2，分别求出△BFC与△CFD的面积，再求出长方形面积即可。 【解答】 EB:CD=1:2 则EF:FC=1:2 所以S△EFB:S△BFC=1:2（底高模型：高相等的三角形，面积与底成正比例） S△BFC：S△DFC=1:2=2:4（同理） 长方形面积等于△DFC的2倍，面积为（2+4）×2=12 1.在图中,正方形ABCD的边长是5,E,F分别是AB和BC的中点,求四边形BFGE的面积。 2.四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上且AG=2GB，求△CDE的面积。 满分：100分 时间：60分钟 1.如图，AE将ABCD分为两部分，两部分的面积相差15cm2,EC 长多少厘米? 2.下图中，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,阴影部分是正方形。求△ABC和△DEC的面积之比。 3.如图所示，把两张同样大的正三角形纸片，一个顶点向上一个顶点向下叠在一起,得到一个六角星形,已知每个正三角形的面积是18cm2,求六角星形的面积。 4.左下图是一个面积为24的正六边形。求阴影部分的面积。 5.如图所示，BE=EC，CA=AF,ABC 的面积是5,求△ECF 的面积。 6.长方形草地ABCD被分成面积相等的甲、乙、丙、丁四份，其中甲的长与宽的比是a:b=2:1.那么乙的长与宽的比是多少 ？ 7.在下图的梯形ABCD中，CD的长是AB的两倍，BC长5cm,DE长8cm,求梯形 ABCD 的面积。 8.如图,平行四边形花池边长分别为60m和30m,甲、乙同时从A点出发，逆时针沿平行四边形走，甲每分走50m,乙每分走20m,出发5分后甲走到E点,乙走到F点,连结AE、AF,求四边形AECF与平行四边形ABCD 的面积之比。 9.如图所示的长方形ABCD中,==，求△ABE与△DEF的面积之比。 10.在图中,长方形的宽为长的,2AC=CD, DE=EF,△ABC的面积是14cm2，求阴影部分的面积。 11.如图,已知CF=2DF,DE=EA，ABCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4,求ABE的面积。 12.已知一个长方形的长是宽的2倍,对角线长10cm,求长方形的面积。 13.如图，M、N分别是平行四边形ABCD两边上的中点，△DMN的面积是9cm2，求ABCD的面积。 14.两个边长为2cm的正方形，其中一个的顶点在另个的中心上(如图)，求这两个正方形不重合部分的面积和。(提示:图中两个阴影部分的面积相等。) 15.在图的梯形ABCD中，下底长是上底长的2倍E是AB的中点,梯形ABCD的面积是△BDE面积的几倍? 16.在下图所示的梯形ABCD中,AB=15cm,AD=12cm,阴影部分的面积为15cm2,求梯形ABCD 的面积。 17.如图,已知 BO=2DO,CO=5AO,阴影部分的面积和是11cm2,求四边形ABCD 的面积。 18.在正方形中,A、B、C分别是所在边的中点,△CDO的面积是△ABO 面积的几倍? 19.下图中，ABCD和BEFG是两个正方形,EF长6cm,求阴影部分的面积。 20.在下图的长方形ABCD中，ABP的面积为20cm,△CDQ的面积为35cm2,求阴影部分的面积。 21.在图的矩形ABCD中AÉ=EF=FB=DG=GH=HC, 阴影部分面积占矩形ABCD面积的几分之几? 22.如图所示，在△ABC中，E是BC上一点，BE:EC=3:1,D是AE的中点，F是直线BD与AC的交点。则AF:FC是多少？ 23.下图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2,求正六边形的面积。 【巩固提升】参考答案 1.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】阴影三角形的底为小正方形的边长，高是大正方形的边长，直接运用三角形的面积公式求解即可。 【解答】6×4÷2=12（平方厘米） 2.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】阴影部分是一个梯形，梯形上底为小正方形的边长，下底为大正方形的边长，高为霞正方形的边长，可以直接运用梯形面积公式求解。 【解答】（4+6）×4÷2=20（平方厘米） 3.如图，四边形ADFC是长方形，已知△ABC的面积是36平方厘米，AC=8厘米，DE=3厘米。求（1）AD的长；（2）求阴影部分面积。 【思维点拨】此题解题过程比较复杂，要求出阴影部分面积，必须先求出AD长度，AE长度和 BD长度。 【解答】 （1）AD=S△ABC×2÷AC=36×2÷8=9（厘米） （2）AE=AD-ED=9-3=6（厘米） S△AEC=8×6÷2=24（平方厘米） 所以S△ABE=36-24=12（平方厘米） 因为AE：DE=6:3=2:1 所以阴影部分面积为12÷2×1=6（平方厘米） 1.如图所示，A、B两点分别是长方形的长和宽的中点，阴影部分占长方形面积的几分之几? 【思维点拨】用长方形面积的一半，减去右上角空白三角形的面积，即为阴影部分面积分率。 【解答】 因为A、B两点分别是长方形的长和宽的中点，所以右上角空白三角形的面积为×÷2=。 所以阴影部分面积分率为：-=。 或分割法求解： 2.正三角形ABC的面积是1m2,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边形(如右上图),求六边形的面积。 【思维点拨】把上面图形分割为个相等的三角形即可。 【解答】分割后图形如下图所示： 3.用四个相同的等腰直角三角板相互重叠着拼成右上图所示的正方形(单位:厘米),求阴影正方形的面积。 【思维点拨】可以运用分割法，把图形分割为几个已知图形求解面积。 【解答】 分割如下： 因为AB等于阴影部分正方形的边长，所以正方形可以划分为4个三角形，每个三角形的面积与已知△ABC的面积相等，所以阴影部分正方形的面积为3×3÷2×4=18（平方厘米）。 1.下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。 【思维点拨】用补全正三角形，用正三角形的面积减去补的部分的面积即可求解。 【解答】 总面积为1×（1+3+5+7+9）=25（平方厘米） △ABC的面积为：25-4-3-8=10（平方厘米） 2.下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算四边形DEFG的面积。 【思维点拨】用补全正三角形，用正三角形的面积减去补的部分的面积即可求解。 【解答】 总面积为1×（1+3+5+7+9）=25（平方厘米） 四边形DEFG的面积为：25-3-2-4-4=12（平方厘米） 3.下面每个图中有49个点,其中所有形如“∷”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形,试计算四边形DEFG的面积。 【思维点拨】用补全正方形，用正方形的面积减去补的部分的面积即可求解。 【解答】 6×6-2×2÷2-4×2÷2-4×2÷2-4×5÷2 =36-2-4-4-10 =16（平方厘米） 1.下图中ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形,AB=9cm,FC=3cm,求阴影部分的面积。 【思维点拨】用红色三角形面积减去下面2个空白三角形面积即可 【解答】 9×9÷2-3×3÷2×2 =40.5-9 =31.5（平方厘米） 2.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】用△EFH面积-△EFI面积 【解答】 4×（4+6）÷2-4×4÷2 =20-8 =12（平方厘米） 3.已知四边形ABCD和EFCG都是正方形，它们的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】用△ACE的面积减去△AGE面积 【解答】 （6+4）×6÷2-（4+6）×4÷2 =30-20 =10（平方厘米） 1.已知答长方形的面积为155平方厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】可以使用加法，一一求出4个三角形面积再相加即可；或使用整体法求解。 【解答】整体法求解如下： 如图所示，可以 就出之间小长方形的面积为：（9-4）×（7-2）=25（平方厘米） 大长方形面积减去之间小长方形面积等于阴影部分面积的2倍。 阴影部分面积：（155-25）÷2=65（平方厘米） 2.如图，梯形的上底是12厘米，高是7厘米，求涂色部分的面积?(单位:厘米) 【思维点拨】把三个三角形合并再一起（如下图所示），再求出合并后三角形的面积即可。 【解答】 10×7÷2=35（平方厘米） 1.直角三角形ABC的三条边AB=5厘米，AC=3厘米，BC=4厘米。将它的直角边AC翻折到斜边AB上，使AC与AD重合，如图所示，图中阴影部分（未重叠部分）面积是多少平方厘米？ 【思维点拨】应用底高模型解决。AD：DB=3：（5-3）=3:2， 所以三角形ABC中3个三角形面积之比为：S△ADE：S△ACE：S△BDE=3:3:2. S△ABC=3×4÷2=6（平方厘米） 阴影部分面积=6÷（3+3+2）×2=1.5（平方厘米） 2.如图所示，两个长方形长的比为6:5,宽的比为4:3,已知阴影三角形的面积为1m2,求大长方形的面积。 【思维点拨】复比问题。大小长方形的面积之比为（6×4）：（5×3）=8:5 阴影部分面积为小长方形面积的一半 所以小长方形的面积为1×2=2（平方厘米） 答长方形的面积为2÷5×8=3.2（平方厘米） 【解答】 大小长方形的面积之比为（6×4）：（5×3）=8:5 1×2÷5×8=3.2（平方厘米） 3.已知图中△ABC的每边长都是96cm，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，求线段CE和CF的长度之和。 【思维点拨】运用底高模型解决。每个三角形的面积都占总面积的 所以AD:DC=1：（4-1）=1:3，DC=96÷4×3=72（厘米） 又因为S△DBE：S△DEC=1:2 所以BE:EC=1:2，EC=96÷（1+2）×2=64（厘米） 又因为S△DFE:S△CFE=1:1 所以DF=FC=72÷2=36（厘米） 所以CE+CF=64+36=100(厘米) 1.直角梯形ABCD(如图)的中位线EF长12cm,已知△ABG的面积是梯形面积的，求EG 的长。 【思维点拨】把梯形面积转化为△ABH面积。因为F为CD的中点，也为AH的中点，所以△ABF的面积等于△BFH的面积，所以S△ABF的面积占梯形面积的一半。又已知△ABG的面积是梯形面积的， 所以EG：EF=：=2:3，即可求出EG的长度。 【解答】作图如下： EG：EF=：=2:3 EG=12÷3×2=8（厘米） 2.平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,求△BEF与平行四边形ABCD 的面积之比。 【思维点拨】用分割法把平行四边形划分为8个相等的三角形，每个三角形的面积占总面积的八分之一，所以△BEF的面积占总面积的八分之一 【解答】 作图如下1：8 3.在图中,正方形ABCD的边长是10cm,BO长8cm,求AE的长。 【思维点拨】连接BE，构造一半模型。因为S△ABE的面积为正方形面积的一半（等底等高），可以求出其面积和AE的长度。 【解答】 10×10÷2×2÷8=12.5（厘米） 1.在图中,正方形ABCD的边长为5cm,又△CEF的面积比△ADF的面积大5cm2，求CE的长。 【思维点拨】转化条件：因为S△CEF-S△ADF=5，被减数和减数同时加上四边形ABCF的面积，转化为（S△CEF+S四边形ABCF）-（S△ADF+S四边形ABCF）=5，即S△ABE-S正方形ABCD=5；在求出正方形面积，通过前面等式可以求出S△ABE的面积和底BE的长度，最后用BE的长度减去BC的长度得到CE的长度。 【解答】 （5×5+5）×2÷5=12（厘米） CE=12-5=7（厘米） 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=4m,ΔADE比△CEF的面积大5cm2,求 CF的长。 【思维点拨】方法同上 【解答】 （4×5-5）×2÷5-4=2（厘米） 1.将2个全等直角三角形叠放在一起，如图所示，求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【思维点拨】转化问题。两个相等的三角形重叠在一块，所以阴影部分面积等于左边空白梯形的面积，求出梯形面积即可 【解答】 （4+6）×4÷2=20（平方厘米） 1.在△ABC中，CE=2AE，BD=3DC，已知△DEC的面积是4cm2，求ABC的面积。 【思维点拨】连接BE，构造三角形，应用底高模型解决问题。 【解答】作图如下： 因为CE=2AE，BD=3DC， 所以S△ABE：S△BEC=1:2,S△DBE：S△DEC=1:3, 所以S△BEC=4×（1+3）=16（平方厘米） S△AEB=16÷2=8（平方厘米） 所以S△ABC=16+8=24（平方厘米） 2.如图,把△ABC的BA边延长一倍到D点，CB边延长两倍到F点，AC边延长三倍到E点，连结DE、EF、FD得到△DEF,△DEF是△ABC面积的几倍? 【思维点拨】分别连接CD、BE、AF，利用底高模型可以分别求出各三角形面积。 【解答】 1÷[（1+2+3）×2+6]= 3.如图所示，将四边形ABCD的各边都延长一倍，得到的新四边形A＇B＇C＇D＇的面积是原四边形ABCD的几倍? 【思维点拨】 【解答】 解:为叙述方便,记△ABC的边长为a,高为h。 因为ΔABD 面积是△ABC 面积的,所以 AD=a; 因为 CD=a,所以△BDE 的高=△BCD 的高=h。又因为ABDE 面积是ΔABC 面积的·,所以 BE=a; 因为EC=a,ΔEFC 面积是△BAC 的,所以 FC=a。 所以CE+CF=a+a=(+)×96=100(cm)。 1.下图中，已知阴影部分面积为3cm²，OC=3AO，求梯形面积。 【思维点拨】根据底高模型解决问题。因为OC=3OA，所以S△AON：S△BOC=1:3；根据蝴蝶模型S△AOD=S△BOC=3平方厘米；S△AOD：S△DOC=1:3=3:9,在求出总面积即可。 【解答】 S△AON：S△BOC=1:3 S△AOD：S△DOC=1:3=3:9 S△AOD=S△BOC=3平方厘米 总面积=1+3+3+9=16（平方厘米） 2.如图所示，已知大正方形的边长是10cm,求阴影部分的面积 。 【思维点拨】链接小正方形对角线构造蝴蝶模型即可 【解答】作图如下： 阴影部分面积等于大正方形面积的一半 10×10÷2=50（平方厘米） 3.在长方形中,长和宽分别是6cm和4cm,阴影部分的面积和是10cm2,求四边形 ABCD 的面积。 【思维点拨】运用蝴蝶模型把阴影部分面积合并在一块进行求解。 【解答】作图如下： 在梯形HGAF中，阴影部分HBG的面积等于S△ABF，所以合并后阴影部分等于S△CEF+S四边形ABCD，又因为△CEF的面积等于长方形HGEF面积的四分之一，再用阴影部分总面积减去四分之一的长方形的面积即可求解。 10-6×4÷4=4（平方厘米） 1.在下图的矩形ABCD,△AOB 的面积为16 cm2，△DOC的面积占矩形面积的18%，求矩形ABCD 的面积。 【思维点拨】本题考查一半模型特点，S△AOB+S△DOC=S△ADO+S△BOC=S长方形ABCD的一半。 【解答】 因为△DOC的面积占矩形面积的18%，所以S△ABO占总面积的50%-18%=32% 长方形ABCD的面积：16÷32%=50（平方厘米） 2.下图中，试比较正方形ABCD的对角线AC左下方阴影部分的面积与右上方两块阴影部分的面积之和谁大谁小,并说明理由。 【解析】左边梯形上底与下底的和为正方形的边长：1+1+2=4 面积为4×2÷2=4 正方形面积的一半为4×4÷2=8 所以左边梯形面积与右边阴影部分面积之和都是8-4=4 所以面积相等 3.如图所示，四边形ABCD和DEFG 都是平行四边形,证明它们的面积相等。 【思维点拨】连接CE，根据一半模型得出S△CDE相当于平行四边形DEFG和ABCD面积一半，所以四边形ABCD和DEFG 面积相等。 【解答】作图如下： 在平行四边形ABCD中，S△CDE=S四边形ABCD（等底等高） 在平行四边形DEFG中，S△CDE=S四边形DEFG（等底等高） 所以平行四边形ABCD和DEFG面积相等。 1.如图所示的长方形ABCD中，AD长6cm，AB长4cm,△ADE、四边形 DEBF 及ACDF 的面积分别相等,求△DEF 的面积。 【思维点拨】先求出长方形面积，再分别求出三等分的面积，最后求出FB和BF的长度即可。 【解答】 长方形面积：6×4=24（平方厘米） 三角形DAE和三角形DFC的面积分别为24÷3=8（平方厘米） AE=8×2÷6=（厘米），BE=4-=（厘米） FC=8×2÷4=4（厘米），BF=6-4=2（厘米） 所以△BEF的面积为：×2=（平方厘米） 2.如图所示的直角梯形 ABCD 的上底、下底、高依次为10cm,14cm,5cm,又△ABF,△BCE 及四边形BEDF的面积相等,求△DEF的面积。 【思维点拨】线求出梯形面积，再分别计算出△BAF和△BCE的面积，求出AF和CE的长度，得出DF和DE的长度即可求解。 【解答】 （10+14）×5÷2=60（平方厘米） △BAF的面积为：60÷3=20（平方厘米） △BCE的面积为：60÷3=20（平方厘米） 所以AF=20×2÷5=8（厘米） CE=20×2÷10=4（厘米） 所以DF=14-8=6（厘米），DE=5-4=1（厘米） △EFD的面积为：6×1÷2=3（平方厘米） 1.李叔叔用一根长12米的篱笆，靠墙围成一个直角梯形菜地，这个菜地的面积最大是多少平方米？ 【思维点拨】围成的梯形上底、下底和高都是未知数，只知道篱笆总长度，要使菜地的面积最大，即梯形的面积最大，即（上底+下底）与高的乘积最大即可。根据和定差小积大的数学原理，得出“上底+下底=高”即可。所以菜地的高为12÷2=6（米） 上底+下底=6（米），面积最大值为6×6÷2=18（平方米） 【解答】 12÷2=6（米） 菜地面积最大值为：6×6÷2=18（平方米） 2.牧羊人用 15 段每段2米长的篱笆，一面靠墙围成一个长方形或正方形羊圈，则羊圈的最大面积是多少? 【思维点拨】根据题干分析可得，这15段篱笆的长就是围成的长方形羊圈的1条长与2条宽的和，据此可以列举出长与宽的值分别是：宽为1段时，长为15-1×2=13段；宽为2段时，长为15-2×2=11段；宽为3段时，长为15-3×2=9段；宽为4段时，长为15-4×2=7段，宽为5段时，长为15-5×2=5段，宽为6段时，长为15-6×2=3段；宽为7段时，长为15-7×2=1段，又因为长方形的面积=长×宽，据此代入数据，分别求出围成的不同长方形的面积，再比较即可解答问题． 【解答】 解：宽为1段时，长为15-1×2=13段 即宽为2米，长为13×2=26（米） 则面积是26×2=52（平方米） 宽为2段时，长为15-2×2=11段 即宽为2×2=4（米），长为11×2=22（米） 则面积是22×4=88（平方米） 宽为3段时，长为15-3×2=9段 即宽为3×2=6（米），长为9×2=18（米） 则面积是：6×18=108（平方米） 宽为4段时，长为15-4×2=7段 即宽为4×2=8（米），长为7×2=14（米） 则面积为8×14=112（平方米） 宽为5段时，长为15-5×2=5段， 即长与宽都是5×2=10（米），围成的是正方形 则面积是：10×10=100（平方米） 宽为6段时，长为15-6×2=3段 即宽为6×2=12（米），长为3×2=6（米） 则面积是12×6=72（平方米） 宽为7段时，长为15-7×2=1段 即宽为7×2=14（米），长为1×2=2（米） 则面积是14×2=28（平方米） 由上述计算可得，围成的长方形的面积最大是112平方米。 或采用和定差小积大原理进行计算： 再墙的里面在添加一个相同的长方形羊圈，合成一个由30段2米长的篱笆围成了一个羊圈。羊圈周长为15×2×2=60（米）， 当长方形的长与宽的差越小时，围成的长方形的面积最大 又因为大长方形的羊圈的长与宽都是偶数，所以长与宽用的篱笆的段数分别为8段和7段，长与宽的长度分别为2×8=16（米），7×2=14（米） 大长方形面积最大值为16×14 所以15段篱笆围成的羊圈的面积最大值为16×14÷2=112（平方米） 1.在直角三角形ABC中,AE=2cm,FC=5cm。在其内作一个正方形EOFB(如图)，求正方形EOFB的面积。 【思维点拨】一半模型。此题较难，图中给出的数据与正方形的面积无直接关系，无法直接求出正方形面积，所以得另辟蹊径，寻找其他的解题方法。通过作图，把正方形面积转化为长方形的面积进行计算，方法巧妙，简单易懂。根据一半模型，三角形AOE的面积等于三角形AGO的面积，三角形OFC的面积等于OHC的面积，三角形ABC的面积等于三角形ADC的面积，所以正方形OEBF面积=长方形GOHD面积=2×5÷2=5（平方厘米） 【解答】 2×5=10（平方厘米） 2.在直角三角形ABC中,AO=3cm,OC=4cm。四边形EOFB是一个正方形(如图)，求阴影部分的面积。 【思维点拨】本题给出的条件为执教三角形斜边的长度，无法直接求出两个三角形面积。运用旋转或割补法把两个三角形面积合二为一就简单多了。 【解答】作图如下： 通过旋转把两块阴影合并在一起，得到一个直角三角形，它的两条直角边分别为3厘米和4厘米。面积为3×4÷2=6（平方厘米） 1.在图中,正方形ABCD的边长是5,E,F分别是AB和BC的中点,求四边形BFGE的面积。 【思维点拨】应用分割再组合发把原来正方形转化为为5个小正方形，每个小正方形的面积为1平方厘米，所以阴影部分面积为1平方厘米。 【解答】作图如下： 5÷5=1（平方厘米） 2.四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上且AG=2GB，求△CDE的面积。 【思维点拨】小正方形的边长为3厘米，过点E作CD的高与CD延长线相交于点H。可以证明△DGA与△DEH完全相等。所以AG=HE=3÷3×2=2（厘米），所以阴影部分面积可以求出为2×3÷2=3（平方厘米） 【解答】作图如下： 小正方形的面积为9平方厘米，因为9=3×3，所以小正方形边长为3厘米 过E点作CD的高与CD的延长线相交于点H； 可以证明得到三角形可以证明△DGA与△DEH完全相等，所以AG=HE=3÷3×2=2（厘米） 阴影部分面积可以求出为2×3÷2=3（平方厘米） 【综合测试】参考答案 1.如图，AE将ABCD分为两部分，两部分的面积相差15cm2,EC 长多少厘米? 【解析】分割法求解 过点E作EF∥AB，则面积差为15平方厘米即为平行四边形EFDC的面积。 所以EC=15÷5=3（平方厘米） 2.下图中，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,阴影部分是正方形。求△ABC和△DEC的面积之比。 【解析】采用分割法，把阴影部分分成几个面积相等的单位再计算。 △ABC分割成了9个三角形，△DEC分割成了8个三角形，所以△ABC与△DEC的面积之比为9:8. 3.如图所示，把两张同样大的正三角形纸片，一个顶点向上一个顶点向下叠在一起,得到一个六角星形,已知每个正三角形的面积是18cm2,求六角星形的面积。 【解析】分割法求解即可 每个三角形分成了9个三角形，所以每个小三角形的面积为18÷9=2（平方厘米） 六角星形的面积为2×12=24（平方厘米） 4.左下图是一个面积为24的正六边形。求阴影部分的面积。 【解析】分割法求解 24÷6×2=8 5.如图所示，BE=EC，CA=AF,ABC 的面积是5,求△ECF 的面积。 【解析】连接BF，因为BE=EC，CA=AF △BFC的面积为5×2=10 △EFC的面积等于△BEF的面积，等于10÷2=5 6.长方形草地ABCD被分成面积相等的甲、乙、丙、丁四份，其中甲的长与宽的比是a:b=2:1.那么乙的长与宽的比是多少？ 【解析】 假设甲的长和宽分别为2和1，则甲的面积为2×1=2 长方形ABCD的面积为2×4=8，所以AD=8÷2=4 则乙的长为4-1=3 宽为2÷3= 所以乙的长：宽=3：=9:2 7.在下图的梯形ABCD中，CD的长是AB的两倍，BC长5cm,DE长8cm,求梯形 ABCD 的面积。 【解析】因为BC=5厘米，DE=8厘米，所以△BDC的面积为5×8÷2=20（平方厘米） 又因为DC=2AB，所△BDC的面积=2△ABD的面积（高一定，面积与底成正比例） 所以梯形面积为20+20÷2=30（平方厘米） 8.如图,平行四边形花池边长分别为60m和30m,甲、乙同时从A点出发，逆时针沿平行四边形走，甲每分走50m,乙每分走20m,出发5分后甲走到E点,乙走到F点,连结AE、AF,求四边形AECF与平行四边形ABCD 的面积之比。 【解析】 甲5分钟行的路程为50×5=250（米），甲走了一圈多250-（60+30）×2=70（米） EC=60+30-70=20（米） 乙5分钟的路程为20×5=100（米） FC=100-60-30=10（米） 所以BC:EC=60:20=3:1 CF:CD=10:30=1:3 所以阴影部分面积占△ABC面积的。 9.如图所示的长方形ABCD中,==，求△ABE与△DEF的面积之比。 【解析】设AD=x,CD=y 因为== 所以△ABE的面积为x×y÷2=xy △DEF的面积为y×x÷2=xy 所以△ABE与△DEF的面积之比为xy：xy=3:4 10.在图中,长方形的宽为长的,2AC=CD, DE=EF,△ABC的面积是14cm2，求阴影部分的面积。 【解析】连接BD，构造底高模型。 因为2AC=CD，所以S△ACB：S△CBD=1:2，三角形CBD的面积为14×2=28（平方厘米） 因为DE=EF，所以S△DBE：S△BEF=1:1=1.5:1.5 所以S△DEB的面积为14×1.5=21（平方厘米） 所以阴影部分面积为28+21=49（平方厘米） 11.如图,已知CF=2DF,DE=EA，ABCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4,求ABE的面积。 【解析】 因为CF=2DF，所以三角形DFB的面积为三角形FCB的面积一半，得到S△DFB=1； 所以S△DEB=4-1=3 又因为AE=DE，所以S△DEB=S△EAB=3 12.已知一个长方形的长是宽的2倍,对角线长10cm,求长方形的面积。 【解析】把4个相同的长方形拼在一起（如图所示） 中间小正方形的面积相当于每个长方形面积的一半，中间大正方形面积为10×10=100（平方米） 每个长方形面积为100÷5×2=40（平方米） 13.如图，M、N分别是平行四边形ABCD两边上的中点，△DMN的面积是9cm2，求ABCD的面积。 【解析】应用正难则反数学思想解题。 根据题意可得：△AMD和△DNC的面积分别占ABCD面积的，△BMN的面积占； 所以△DMN的面积占ABCD面积的1---= 平行四边形ABCD的面积为9÷=24（平方厘米） 14.两个边长为2cm的正方形，其中一个的顶点在另个的中心上(如图)，求这两个正方形不重合部分的面积和。(提示:图中两个阴影部分的面积相等。) 【解析】两个正方形重叠部分的面积为每个正方形面积的四分之一。 所以未重叠部分的面积为：2×2×=6（平方厘米） 15.在图的梯形ABCD中，下底长是上底长的2倍，E是AB的中点,梯形ABCD的面积是△BDE面积的几倍? 【解析】 因为“下底长是上底长的2倍”，所以得出△BCD的面积等于△ABD面积的一半。 又因为“E是AB的中点”，所以三角形BED的面积等于△ABD面积的一半， 所以△BED的面积占梯形ABCD面积三分之一。 16.在下图所示的梯形ABCD中,AB=15cm,AD=12cm,阴影部分的面积为15cm2,求梯形ABCD 的面积。 【解析】作图如上 根据蝴蝶模型，各三角形面积如图所示 梯形面积为15×12+15+15÷（75÷15）=180+18=198（平方厘米） 17.如图,已知BO=2DO,CO=5AO,阴影部分的面积和是11cm2,求四边形ABCD 的面积。 【解析】 因为BO=2DO，所以△ADO的面积等于△AOB面积的一半 又因为CO=5AO，所以△AOB的面积等于△BOC面积的五分之一 所以△ADO的面积等于△BOC面积的十分之一 所以△ADO的面积为11÷（1+10）×1=1（平方厘米） △BOC的面积为1×10=10（平方厘米） △AOB的面积为1×2=2（平方厘米） △DCO的面积为1×5=5（平方厘米） 所以四边形ABCD的面积为1+2+5+10=18（平方厘米） 18.在正方形中,A、B、C分别是所在边的中点,△CDO的面积是△ABO 面积的几倍? 【解析】因为A、B、C分别是所在边的中点，所以△ADC占正方形面积的 △ABD的面积占正方形面积的 △BOA占正方形面积的 所以△COD的面积占正方形面积的-=； 所以△COD的面积是△BOA面积的÷=3倍。 19.下图中，ABCD和BEFG是两个正方形,EF长6cm,求阴影部分的面积。 【解析】连接BD，BD∥GE，所以四边形GEBD为梯形，根据等积变换，△EGD的面积等于△EGB的面积，即等于小正方形面积的一半，为6×6÷2=18（平方厘米） 20.在下图的长方形ABCD中，ABP的面积为20cm,△CDQ的面积为35cm2,求阴影部分的面积。 【解析】 构造两个直角梯形，根据蝴蝶模型，△ABP的面积为20cm,等于阴影△EFP的面积；△CDQ的面积为35cm2，等于阴影△EFQ的面积 所以阴影部分总面积为20+35=55（平方厘米） 21.在图的矩形ABCD中AÉ=EF=FB=DG=GH=HC, 阴影部分面积占矩形ABCD面积的几分之几? 【解析】作图如下： 把图划分为7个菱形和10个三角形。10个三角形又可以拼成5个菱形，所以阴影部分面积占长方形ABCD面积的1÷（5+7）=。 22.如图所示，在△ABC中，E是BC上一点，BE:EC=3:1,D是AE的中点，F是直线BD与AC的交点。则AF:FC是多少？ 【解析】连接EF 根据底高模型求解： 因为BE:EC=3:1，所以△BFE的面积等于△EFC面积的比为3:1 又因为D是AE的中点，所以△AFD的面积等于△FDE的面积；△ADB的面积等于△EDB的面积。 所以△AFB的面积等于△BFE的面积 所以S△AFB：S△FBE：S△FEC=2：2：1 所以S△SFB：S△BFC=2：（1+2）=2:3 所以AF：FC=2:3（高相等的两个三角形，底之比为面积之比） 23.下图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2,求正六边形的面积。 【解析】分割法 如下图所示,三角形被分割成4个小等边三角形,六边形被分割成6个小等边三角形。因为三角形与六边形的周长相等所以每个小等边三角形的边长相等,从而面积相等。六边形面积是三角形的6÷4=1.5倍,等于10×1.5=15(cm2) 51 学科网（北京）股份有限公司 $$