精品解析：四川省南充市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

南充市2024-2025学年度上期普通高中一年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题直接判断即可. 【详解】“”的否定为“”， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求的解集，再由充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的弧长和面积公式可直接求解. 【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S， 由题意得，解得， 故选：C. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解. 【详解】函数在R上单调递减，则有， 函数在上单调递减，则有， 函数在上单调递增，则有，所以. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】结合分段函数解析式赋值即可. 【详解】由题意得， 所以， 故选：D. 7. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对应指数函数的单调性得，再结合根式、不等式及对数的性质判断各项的正误. 【详解】由，易知， 当时，无意义，A错； 当时，，B错； 当时，，C错； 由，故，D对. 故选：D 8. 设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AB选项，画出和的图象，得到，并结合特殊点函数值，数形结合得到，，C选项，，，两式相减得到；D选项，由C知，结合的单调性得到，D错误. 【详解】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然， ，， 由于，故， 结合图象可知，，故，A错误； 由于，故， 结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得 ，故，C错误； D选项，由C知，，故， 又，在上单调递减， 故，D错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的最小值为2 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分式、对数性质求定义域判断A；注意的函数值符号判断B；由对数的性质确定函数所过的定点判断C；根据反比例函数性质判断D. 【详解】A：由解析式知，可得，对； B：当时，，显然最小值不为2，错； C：由，即函数图象恒过定点，对； D：由反比例函数性质知在区间上单调递减，对. 故选：ACD 10. 已知角与角的顶点为原点，始边与x轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于x轴对称，则下列结论中正确的有（ ） A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设有，，角为第三象限角且，，，进而依次判断各项的正误. 【详解】由，为钝角，则，， 故角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，A对； 角的终边与角终边关于x轴对称，即角为第三象限角， 则，，则，，B、C对； 易知，D错； 故选：ABC 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 的最小值为0 D. 若函数有三个不同零点，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，应用奇偶性定义判断A；根据与的平移关系，只需研究的单调性、最值及函数图象判断B、C、D的正误即可. 【详解】由题设，定义域为R， 由，即为偶函数，A对； 由， 所以且，则 根据解析式知：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增，B对； 又，即， 根据易知的最小值为2，C错； 由C分析知，，且趋向于正负无穷时趋向于正无穷， 由有三个不同零点，，，即与有三个交点， 所以与有三个交点，而的大致图象如下， 所以，即，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：注意与的平移关系，通过研究的性质和图象判断B、C、D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】应用有理数指数幂运算及对数运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为：3 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 14. 已知函数是偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数性质可得，再应用单调性定义判断在上单调性，结合偶函数解函数不等式求参数范围即可. 【详解】由题设恒成立，可得， 所以，且， 令，则 ，而， 所以，即在上单调递增， 由偶函数易知在上单调递减， 所以，即，可得或， 故实数m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的值域求出集合A，解一元二次不等式求出集合B，再结合并集与补集的概念及运算求解即可； （2）由可得，列不等式组即可求得a的取值范围. 【小问1详解】 由已知 即． 由得：或 ∴．． ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴． ∴．． 解得： 即a的取值范围为． 16. （1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2） ． 【解析】 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 17. 已知函数，不等式的解集为． （1）若时，的最大值为6，求的解析式； （2）若函数，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可得，，，再由二次函数的最大值求得，进而可得函数解析式； （2）由题设有，应用分类讨论求解一元二次不等式的解集即可. 【小问1详解】 ∵不等式的解集为， ∴，且1和3是方程的两根， ∴，，即，， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， ∴，，， 故函数解析式为. 【小问2详解】 由，得，即， 由得：或， ①当时，即，则或， ②当时，即，则或， ③当时，即，则或， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 18. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． （1）求函数与的解析式； （2）若，求x的取值范围； （3）若，，使成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与函数（且）互为反函数，再代入点的坐标求解可得a值，则解析式可求； （2）将原不等式化为的形式，利用指数函数与对数函数的单调性求解即可； （3）将原问题转化为时，的最大值大于时的最大值，再分、、三种情况进行讨论即可求出k的取值范围. 【小问1详解】 ∵函数与函数（且）互为反函数 ∴． 又函数的图象经过点 ∴，即． ∴，； 【小问2详解】 由不等式得： ∴ ∴ ∴． 故解集为； 【小问3详解】 因为，， 使成立， 所以时的最大值大于时的最大值． 又时，的值域为，时，的值域为 ∴①当时，，，，， 则，解得：． ②当时，，，，， 则，此不等式组无解. ③当时，，， ，， 则，解得： 综上，k的取值范围为． 19. 很多函数的图象是弯曲的，有些向上弯曲；有些向下弯曲．如图1的函数称为下凸函数，图2的函数称为上凸函数．设点与点是函数的图象上不同两点，取线段AB的中点，过点M作y轴的平行线与的图象交于点．在图1中，弦AB的中点M始终在点N的上方，于是我们可以得到下凸函数的定义：设的定义域为D，，时，，则叫做下凸函数．显然下凸函数有如下性质：设A，B是下凸函数图象上任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的上方． （1）类比下凸函数的定义和性质，结合图2，写出上凸函数的定义及相应性质； （2）设，． ①判断并用定义证明与是上凸函数还是下凸函数； ②证明：，不等式成立． 【答案】（1）上凸函数的定义：设的定义域为D，，时，恒有，则叫做上凸函数．．性质：设A，B是上凸函数图象上的任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的下方 （2）①是下凸函数，是上凸函数，证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用下凸函数的定义与几何意义，结合图象特征直接描述即可； （2）（i）与作差，与作差，结合上凸函数、下凸函数的概念及性质证明即可；（ii）令，结合零点存在性定理得和，与的图象都存在一个交点，结合是下凸函数，是上凸函数，通过数形结合可得证. 【小问1详解】 上凸函数的定义： 设的定义域为D，，时，恒有，则叫做上凸函数．． 性质：设A，B是上凸函数图象上的任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的下方； 【小问2详解】 （i）的定义域为R，设，时， 由知：．． ∴，即 ∴是下凸函数．． 的定义域为，设，时， ．． 由，，知： ∴，即 ∴是上凸函数 （ii）设 ∵ ∴，使 ∴与的图象存在一个交点．． 又∵ ∴，使 ∴与的图象存在另一个交点． 设过A，B两点的一次函数的解析式为 ∵是下凸函数，是上凸函数 ∴由下凸函数及上凸函数的性质知： 时，．． ∵ ∴时，都有成立 【点睛】方法点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答，本题第二问的关键是与作差，与作差，再分析其正负即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市2024-2025学年度上期普通高中一年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 7. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的最小值为2 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数在区间上单调递减 10. 已知角与角的顶点为原点，始边与x轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于x轴对称，则下列结论中正确的有（ ） A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B. C. D. 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 的最小值为0 D. 若函数有三个不同零点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 14. 已知函数是偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 17. 已知函数，不等式的解集为． （1）若时，的最大值为6，求的解析式； （2）若函数，解关于x的不等式． 18. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． （1）求函数与的解析式； （2）若，求x的取值范围； （3）若，，使成立，求实数k的取值范围． 19. 很多函数的图象是弯曲的，有些向上弯曲；有些向下弯曲．如图1的函数称为下凸函数，图2的函数称为上凸函数．设点与点是函数的图象上不同两点，取线段AB的中点，过点M作y轴的平行线与的图象交于点．在图1中，弦AB的中点M始终在点N的上方，于是我们可以得到下凸函数的定义：设的定义域为D，，时，，则叫做下凸函数．显然下凸函数有如下性质：设A，B是下凸函数图象上任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的上方． （1）类比下凸函数的定义和性质，结合图2，写出上凸函数的定义及相应性质； （2）设，． ①判断并用定义证明与是上凸函数还是下凸函数； ②证明：，不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $