第10讲 一元一次不等式的解法-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第10讲 一元一次不等式的解法 课程标准 学习目标 一元一次不等式的解法 理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式。 知识点01 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的末知数的 ,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的 称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的 , 【即学即练1】 下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是 的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、 、移项、 、系数化为1. 【即学即练1】 解下列不等式 (1)； (2)． 知识点03 用数轴表示不等式的解集 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为 圆点,不包含于解集的为 圆圈; (3) 定方向,相对于边界点而言,大 向右; 向左. 【即学即练1】 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 题型01 求一元一次不等式的解集 【典例1】解下列不等式． (1)； (2)． 【变式1】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式2】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式3】解不等式． 题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【变式1】求不等式的正整数解． 【变式2】若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【变式3】若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 题型03 求一元一次不等式解的最值 【典例1】已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【变式1】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【变式2】约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【变式3】已知，求的最大值和最小值． 题型04 解绝对值型的不等式 【典例1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式1】在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【变式2】已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 题型05 用数轴表示不等式的解集 【典例1】把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【变式2】解下列不等式，并分别把它们的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式3】解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 一、单选题 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若方程的解是负数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②移项，得； ③合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中造成错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 7．关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．表示不超过a的最大整数，则的值为 ． 12．不等式的解集是 ． 13．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 14．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 15．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 16．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 17．若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 三、解答题 18．解不等式，并把解在数轴上表示出来． 19．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 20．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如： ，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 21．已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 22．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 23．对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 24．若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元一次不等式的解法 课程标准 学习目标 一元一次不等式的解法 理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式。 知识点01 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的末知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程, 【即学即练1】 下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，将求解，得出解集，再比较即可，解题的关键是求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 知识点02 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【即学即练1】 解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项，然后不等式两边同除以，即可得出答案； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同时除以得：． （2）解：， 两边同时乘以12得：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 知识点03 用数轴表示不等式的解集 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; (3) 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 【即学即练1】 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 题型01 求一元一次不等式的解集 【典例1】解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质是解本题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得； （2）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得，． 【变式1】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 【变式2】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式3】解不等式． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 【变式1】求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4，5 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正整数解有1，2，3，4，5． 【变式2】若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次方程和一元一次不等式解的情况求参数，先求出方程的解和不等式的解集，根据不等式的解集确定出方程的解，再代入方程的解即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解不等式，得， 不等式的最大整数解为， ∵方程的解是不等式的最大整数解， ∴， 解得． 【变式3】若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式得到，得出不等式的最小整数解为，代入一元一次方程求出，再代入中计算即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 不等式的最小整数解为． 不等式的最小整数解是关于的方程的解， 将代入方程，得， 解得， 则． 题型03 求一元一次不等式解的最值 【典例1】已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【变式1】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【变式2】约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 【变式3】已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键． 题型04 解绝对值型的不等式 【典例1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式1】在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键． 题型05 用数轴表示不等式的解集 【典例1】把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求解不等式即可． 【详解】解：解不等式得：， 故选：A 【变式1】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 【变式2】解下列不等式，并分别把它们的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析； (2)，数轴表示见解析． 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键． （1）移项即可求得； （2）去分母、移项、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：； 在数轴上表示解集为： （2）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 在数轴上表示解集为： 【变式3】解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 一、单选题 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据移项、合并同类项、系数化为1，求出x的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 2．下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义逐个分析即可． 【详解】解：①当时，，∴不是方程的一组解，故不正确； ②若，则当时，，故不正确； ③是的一个解，而不是解集，故不正确； ④若，那么的取值范围是，即，正确； ⑤∵，∴，∴，，∴二元一次方程只有两组正整数解，正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 3．若方程的解是负数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确解一元一次方程和解一元一次不等式的方法．先求出方程的解，然后根据方程的解是负数，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：， 解得， 方程的解是负数， 故选：A． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】 解：不等式的解集在数轴上表示为． 故选：A． 5．解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②移项，得； ③合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中造成错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴出现错误的一步是第④步． 故选：D． 6．若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 7．关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组，再转化不等式解答即可． 本题考查了方程组的解法，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组 得， ． 故选：B． 8．我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断． 【详解】解：①由题意得，故①正确； ②如当时， ， ，所以，故②错误； ③当为非负整数时，不影响“四舍五入”，故，故③正确； ④为整数， 设为整数，则， 解得：， ，共3个，故④正确； 综上可得正确的有3个． 故选：C． 9．若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 10．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 二、填空题 11．表示不超过a的最大整数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求不等式的整数解，根据题意可得 ，即可求解． 【详解】解：∵表示不超过a的最大整数， ∴的值为， 故答案为： 12．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 把x的系数化为1得，． 故答案为：． 13．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可． 本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 解得， 不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 14．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据变形后不等号是否改变判断是用性质2还是性质3进行的变形,从而列出不等式求解. 【详解】解：∵关于x的不等式可化为， ∴ 解得 故答案为：． 16．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 17．若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 三、解答题 18．解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先根据去分母、移项、合并同类项，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项，得，， 将不等式的解集在数轴上表示如下： 19．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减，得． 不等式两边同时减5，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图①． （2）解：不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图②． （3）解：不等式两边同时乘6，得． 不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图③． 20．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如： ，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方不等式和一元一次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意得到，然后解方程即可； （2）根据题意得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解得． （2）根据题意，得， 解得． 21．已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 22．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 23．对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 【答案】17或1 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确的对两种情况进行讨论． 利用新定义的规定得出x值，代入运算得出代数式的值，然后利用的规定计算即可． 【详解】解：当时， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上：的值为17或1． 24．若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 【答案】(1)81；不是 (2)3336，6168，9792 【分析】本题主要考查了数位的表示法，不等式等知识， （1）由新定义解答即可； （2）设m的十位数字为a，个位数字为b，则n的十位数字为，个位数字为b，用含a，b的代数式表示出新四位数，然后根据新四位数能被24整除讨论即可得解； 解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【详解】（1）∵， ∴11的“欢庆数”是81， ∵，， ∴26不是23的“欢庆数”， 故答案为：81；不是； （2）设m的十位数字为a，个位数字为b，则n的十位数字为，个位数字为b， ∴表示的两位数为,表示的两位数为， ∴A表示的四位数为， ∵A表示的四位数要被24整除， ∴必须为整数, ∵m与n都是各数位上的数字均不为0的两位数， ∴，且a，b都为整数， ∴， ∵要想为整数， ∴或即或， ∵， ∴的整数或的整数， ∴的整数或的整数， ∵， ∴的整数或的整数， ∴当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴，，（由各数位上的数字均不为0的两位数知，不符合题意，舍去），， 满足条件的所有正整数：为3336，6168，9792． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$