第11讲 一元一次不等式的应用-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第11讲 一元一次不等式的应用 课程标准 学习目标 一元一次不等式的应用 会根据实际问题的要求，正确地列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决实际问题 知识点01 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案 【即学即练1】 如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 知识点02 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 某水果超市第一次花费2250元，购进了A，B两种苹果共400千克进行销售，并很快售完，已如A种苹果批发价为6元/千克，B种苹果的批发价为5元/千克 (1)求第一次A，B两种苹果各批发了多少千克？ (2)第二次超市又调拨5000元用来购进A，B两种苹果，批发价与第一次相同，若A种苹果售价为9元千克，B种苹果售价为7元/千克，要使售完这两种苹果，第二次的总利润不低于2300元，则A种苹果最少购进多少千克？ 【答案】(1)第一次A，B两种苹果各批发了250千克、150千克； (2)A种苹果最少购进500千克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一次A，B两种苹果各批发了、千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种苹果购进千克，根据题意列出不等式，解之即可求解． 【详解】（1）解：设第一次A，B两种苹果各批发了、千克， 依题意得， 解得， 答：第一次A，B两种苹果各批发了250千克、150千克； （2）解：设A种苹果购进千克，则B种苹果购进千克， 由题意得， 解得， ∵是正数， ∴的最小值为500， ∴A种苹果最少购进500千克． 题型01 用一元一次不等式解决实际问题 【典例1】学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【答案】(1)2； (2)景点或景点． 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． 学校可能组织学生去景点或景点． 【变式1】春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元． (1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？ (2)已知甲、乙两种布偶每个的进价分别为44元和36元，该超市共购进甲、乙两种布偶200个，全部销售完后共获利不少于3040元，则至少购进甲种布偶多少个？ 【答案】(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为元 (2)至少购进甲种布偶个以确保利润不少于元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出方程组或不等式； （1）设甲种布偶售价元、乙种布偶售价元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进甲种布偶个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种布偶每个售价元、乙种布偶每个售价元， 根据题意得：， 解得：， 答： 甲、乙两种布偶每个的售价分别为元； （2）解：设购进甲种布偶个， 根据题意，每个甲种布偶的利润为：（元）， 每个乙种布偶的利润为：（元）， 全部销售完后共获利为：， 解得：， 答：至少购进甲种布偶个以确保利润不少于元． 【变式2】某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： (1)求两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 【答案】(1)两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元 (2)22台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元，根据卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元建立方程组求解即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据总金额不超过7480元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设两种型号电风扇的销售单价分别为元，元， 根据题意得， 解方程组得． 答：两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得， 解得， 答：种型号的电风扇最多能采购22台． 题型02 用一元一次不等式解决几何问题 【典例1】如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 【变式1】数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键． （1）直接将代入即可解答； （2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为． （2）解：∵若点N在点M的左侧， ∴， 解得：， ∴m的最大整数值为2． 【变式2】如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 【变式3】如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 一、单选题 1．某商品进价是200元，标价为350元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，进价是元，则的利润是元，题目中的不等关系是：利润元．根据这个不等关系得到不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：设售货员最低可以打折出售此商品，依题意得： 解得， 所以售货员最低可以打6折出售此商品． 故选：B． 2．一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这批火龙果的售价为每千克元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：设这批火龙果的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴这批火龙果的售价至少为每千克15元， 故选：A． 3．下列根据语句列出的不等式错误的是（    ） A．“的3倍与1的和是正数”，表示为 B．“的与的的差是非负数”，表示为 C．“与的和不大于的”，表示为 D．“两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，根据题意，找出关键词语“正数”“非负数”“不大于”“不小于”列出不等式即可． 【详解】解：A、“的3倍与1的和是正数”，表示为，正确，不符合题意； B、“的与的的差是非负数”，表示为，正确，不符合题意； C、“与的和不大于的”，表示为，正确，不符合题意； D、“a、b两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为错误，应表示为：故此选项符合题意； 故选：D． 4．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 5．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪到站牌的距离为，由题意列出一元一次不等式，然后求解即可，读懂题意，找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设看手机时小聪到站牌的距离为， 由题意得：， 解得：， ∴站牌与小聪之间的距离最大为， 故选：． 6．某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 7．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键． 【详解】解：由不等式可得：将一包糖果分给学生，若每人分4个，则还剩7个，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个． ∴横线的信息是每人分4个，则还剩7个， 故选：． 8．一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设水流的速度是，利用路程速度时间，结合从B地匀速返回A地用了不超过，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设水流的速度是， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为， 即最大流速为． 故选：B． 9．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加．于是，剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为．因为这个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．可得不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加． 于是，设剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为． 因为这个多边形中有45个48边形，它们的内角和， 其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少． 所以， 解得：． 故至少要剪的刀数是刀． 故选C． 【点睛】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加． 10．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， 第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 a a a 第2组 b b b 第3组 c c c 第4组 d d d ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④， ①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70， ∴3（a+b+c+d）≤70， ∴a+b+c+d≤， 7天后背诵首，取整数解即23 ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 二、填空题 11．某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出的取值范围是解本题的关键． 设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴为2的倍数， 根据题意知：， ∴， 则， 解得：，且为2的倍数 ∴时，， ∴． 故答案为：． 12．某次数学测验，共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分不低于95分，他至少答对 题． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设某同学至少答对x道题，根据某同学得分不低于95分列不等式求解即可． 【详解】解：设某同学至少答对x道题，由题意得 ， 解得． 所以某同学至少答对13道题． 故答案为：13． 13．一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据“六年后，小颖的年龄还不到妈妈的年龄的一半”列出不等式即可． 【详解】解：由题意知，六年后，小颖的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据不等关系得：； 故答案为：． 14．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米． 【答案】72 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建x米，根据“14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建x米，根据题意得 ， 解得． 即乙工程队平均每天至少要修建72米． 故答案为：72 ． 15．年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，根据题意列方程即可求解． 【详解】设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，由题意得： 整理得： 徽章和风铃的销售总额为： 把代入得： 当时 徽章和风铃销售总额最大，最大值为：（元） 故答案为：． 16．在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多是 元． 【答案】2000 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答． 设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答． 【详解】解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为， ， 解得：， ∵三种纪念品售价均为整数， ∴， 设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n； ， 整理得：， ∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40， ∴， ∴， 整理得：， ∵每种纪念品每人购买不超过6件， ∴，，， ∴，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴，； ∴，，，， ∴两人购买手办的费用之和最多是（元）， 故答案为：2000． 三、解答题 17．某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元 (2)种型号的电风扇最多能采购台 (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、不等式的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据“销售3台型号5台型号的电风扇，销售收入元，销售4台型号10台型号的电风扇，销售收入元”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多于元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设利润超过元，列出一元一次不等式，求出，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得：， 解得：， 最大为， 答：种型号的电风扇最多能采购台； （3）证明：由题意得：， 解得：， ， 在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇的利润无法超过元的目标． 18．象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 19．赣南脐橙，口感清甜，果肉饱满多汁，橙香浓郁．2024年11月3日赣南脐橙采摘节在某脐橙基地举行、某果园采摘发售第一周，特级果累计卖了20000元，一级果卖了8000元，已知特级果每箱单价比一级果每箱多20元，且销量是一级果的2倍． (1)求每箱特级果，一级果的售价分别是多少元？ (2)若某公司计划购进特级果和一级果共40箱，预算购进的总费用不超过3600元，问至少购进一级果多少箱？ 【答案】(1)每箱特级果的售价100元，每箱一级果的售价为80元 (2)至少购进一级果20箱 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用， （1）设每箱特级果的售价为x元，则每箱一级果的售价为元，根据题意列出分式方程求解并检验即可； （2）设购进一级果a箱，则特级果箱，根据题意列出不等式方程求解即可； 【详解】（1）解：设每箱特级果的售价为x元，则每箱一级果的售价为元，由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴一级果的售价为：元． 答：每箱特级果的售价100元，每箱一级果的售价为80元． （2）解：设购进一级果a箱，则特级果箱，由题意得 解得 答：至少购进一级果20箱． 20．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 【答案】60个 【分析】根据题意，列出一元一次不等式，解出答案即可．本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设后面的时间每小时加工个零件， 根据题意，得， 解得． 答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件． 21．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得：， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为20， 即最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 22．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑 (2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台 (3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值； （2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 的最大值为12，的最大值为5． 答：最多可以购买5台型电脑； （2）解：共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下： （元，， 可能有两种情况． ①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买3台型电脑，33台型电脑； ②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买7台型电脑，29台型电脑． 共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑； （3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于100000元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元一次不等式的应用 课程标准 学习目标 一元一次不等式的应用 会根据实际问题的要求，正确地列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决实际问题 知识点01 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为 问题,通过解不等式可以得到实际问题的 【即学即练1】 如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 知识点02 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出 的未知数; (3)列:根据题中的 关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 某水果超市第一次花费2250元，购进了A，B两种苹果共400千克进行销售，并很快售完，已如A种苹果批发价为6元/千克，B种苹果的批发价为5元/千克 (1)求第一次A，B两种苹果各批发了多少千克？ (2)第二次超市又调拨5000元用来购进A，B两种苹果，批发价与第一次相同，若A种苹果售价为9元千克，B种苹果售价为7元/千克，要使售完这两种苹果，第二次的总利润不低于2300元，则A种苹果最少购进多少千克？ 题型01 用一元一次不等式解决实际问题 【典例1】学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【变式1】春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元． (1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？ (2)已知甲、乙两种布偶每个的进价分别为44元和36元，该超市共购进甲、乙两种布偶200个，全部销售完后共获利不少于3040元，则至少购进甲种布偶多少个？ 【变式2】某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台种型号和4台种型号电风扇销售额为1200元．第二周卖出5台种型号和6台种型号电风扇销售额为1900元： (1)求两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采则多少台？ 题型02 用一元一次不等式解决几何问题 【典例1】如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【变式1】数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【变式2】如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【变式3】如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 一、单选题 1．某商品进价是200元，标价为350元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 2．一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 3．下列根据语句列出的不等式错误的是（    ） A．“的3倍与1的和是正数”，表示为 B．“的与的的差是非负数”，表示为 C．“与的和不大于的”，表示为 D．“两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为 4．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 6．某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 7．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 8．一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（   ） A． B． C． D． 9．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 二、填空题 11．某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 12．某次数学测验，共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分不低于95分，他至少答对 题． 13．一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 14．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米． 15．年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 16．在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多是 元． 三、解答题 17．某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 18．象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 19．赣南脐橙，口感清甜，果肉饱满多汁，橙香浓郁．2024年11月3日赣南脐橙采摘节在某脐橙基地举行、某果园采摘发售第一周，特级果累计卖了20000元，一级果卖了8000元，已知特级果每箱单价比一级果每箱多20元，且销量是一级果的2倍． (1)求每箱特级果，一级果的售价分别是多少元？ (2)若某公司计划购进特级果和一级果共40箱，预算购进的总费用不超过3600元，问至少购进一级果多少箱？ 20．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 21．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 22．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$