专题04 实数相关题型中的数学思想-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

专题04 实数相关题型中的数学思想 思想1：数形结合思想 思想2：类比思想 思想3：分类讨论思想 思想1：数形结合思想 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 一．填空题（共4小题） 1．如图，假设小正方形的边长为个单位长度，是正方形的一个顶点，初始时顶点与数轴的原点重合，若将该小正方形沿数轴的正方向滚动两周，此时点所在位置表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据点初始时表示的数和小正方形的边长即可得到滚动两周后，点表示的数． 【详解】解：因为小正方形的边长为， 故小正方形的周长为， 根据题意，小正方形沿数轴正方向滚动两周， 故滚动一周后，点对应的实数为， 滚动两周后，点对应的实数为， ∴滚动两周后点对应的实数是． 故答案为：． 2．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据题意可得四边形是正方形，利用割补法求出四边形的面积，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形，且其面积为， ∴， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 3．如图，数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为 ∴数轴上点所表示的数是． 故答案为：． 4．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理计算得出，结合题意得出，即可得解． 【详解】解：∵在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且， ∴，， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 二．解答题（共2小题） 5．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)的长度为，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 6．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查用数轴上的点表示无理数，无理数的比较大小； （1）根据题意作出即可； （2）以为圆心，为半径作弧，则可表示，然后以原点为圆心，为半径作弧表示，然后利用数轴上右边的数大于左边的数解题即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， ∵在数轴右边的数总比左边的数大， ∴． 思想2：类比思想 阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“” 表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：填写下表． 1 16 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：_________________________． (2)探究性质：①81的四次方根是_________；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________________________________________． (3)在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：______________________________． (4)拓展应用 ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：________（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】(1)；一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说,如果x4=a,那么x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根 (3)类比思想、分类讨论思想（答案不唯一，只要合理即可） (4)①；②＜ 【分析】（1）求出16的四次方根即可，类比平方根和立方根的定义说出四次方根的定义即可； （2）①根据四次方程的定义求出即可；②根据①中的结果得出四次方根的性质即可；③根据立方根、平方根、四次方根的定义和性质的出答案即可； （3）①根据四次方根的性质求出即可；②求出=2，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵x4=16， ∴ 一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. 故答案为：±2，一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. （2）①81的四次方根是±±3，0的四次方根是0，-4没有四次方根； ②四次方根的性质是：正数有两个四次方根，他们互为相反数，0的四次方根为0，负数没有四次方根. 故答案为：①±3，0，没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根． （3）类比思想、分类讨论思想（答案不唯一）； （4）① ② =2 故答案为：±4，＜． 【点睛】本题考查了立方根、平方根、四次方根的定义、性质和应用，实数的大小比较，数学知识，实数的运算等知识点，能运用类比思想说出四次方根的定义和性质是解此题的关键． 一．解答题（共4小题） 1．我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【分析】本题主要考查平方根、立方根及次方根的意义，解题的关键是类比平方根和立方根的定义及性质． 类比平方根和立方根的定义及性质解答即可． 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 2．学习完平方根之后我们知道，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，如：若，则． （1）类比平方根的这条性质，解方程； （2）应用（1）中的方法解决问题：自由下落物体的高度与下落时间的关系是．若有一个重物从的高处的建筑物上自由落下，求这个重物到达地面的时间． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）利用平方根的性质求得x-1=±6，即可求得x的值； （2）把h=122.5代入函数关系式，求得相应的t的值即可． 【详解】解：（1）(x-1)2=36． x-1=±6， 则x=7或x=-5； （2）把h=122.5代入h=4.9t2，得 4.9t2=122.5， 则． 因为t＞0， 所以t=5． 答：这个重物到达地面的时间是5s． 【点睛】本题考查了平方根．解答（2）题时，要根据生活实际对t的值进行取舍． 3．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 4．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________； (2)若有意义，则a的取值范围是____________； (3)解方程：①；②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解； （2）根据四次方根的意义求解； （3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解． 【详解】（1）解：81的四次方根为；的五次方根为； 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 解得． 故的取值范围为； 故答案为：； （3）解：①， 所以； ②， ， 所以． 【点睛】本题考查了方根的定义，关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个． 思想3：分类讨论思想 我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有（为常数），则称代数式、互为“差值代数式”，为“差值”．例如：，，，∴、互为“差值代数式”，“差值”为；根据该约定，解答下列问题： (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是”） ①与（   ）    ②与（   ） ③与（   ）    ④与（   ） (2)已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为，求的值． 【答案】(1)①不是；②是；③是；④是 (2)或0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式及绝对值的非负性，代数式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用，分别代数运算判断即可； （2）列出的式子运算即可． 【详解】（1）解：①：，当时，，当时，，故①不是； ②：，故②是； ③：，故③是； ④：，故④是； 故答案为：①不是；②是；③是；④是； （2）解：依题意得：， ， 解得：或0． 一．选择填空题（共2小题） 1．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 2．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 二．解答题（共2小题） 4．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了实数的运算、立方根与算术平方根、二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）根据实数的运算法则可得，由此即可得； （2）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据立方根的性质求解即可得； （3）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴， 则的立方根是． （3）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得或， 则或， 所以的算术平方根是或． 4．在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)或． 【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数相关题型中的数学思想 思想1：数形结合思想 思想2：类比思想 思想3：分类讨论思想 思想1：数形结合思想 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 一．填空题（共4小题） 1．如图，假设小正方形的边长为个单位长度，是正方形的一个顶点，初始时顶点与数轴的原点重合，若将该小正方形沿数轴的正方向滚动两周，此时点所在位置表示的实数是 ． 2．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 3．如图，数轴上点所表示的数是 ． 4．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 ． 二．解答题（共2小题） 5．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 6．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 思想2：类比思想 阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“” 表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：填写下表． 1 16 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：_________________________． (2)探究性质：①81的四次方根是_________；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________________________________________． (3)在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：______________________________． (4)拓展应用 ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：________（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】(1)；一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说,如果x4=a,那么x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根 (3)类比思想、分类讨论思想（答案不唯一，只要合理即可） (4)①；②＜ 【分析】（1）求出16的四次方根即可，类比平方根和立方根的定义说出四次方根的定义即可； （2）①根据四次方程的定义求出即可；②根据①中的结果得出四次方根的性质即可；③根据立方根、平方根、四次方根的定义和性质的出答案即可； （3）①根据四次方根的性质求出即可；②求出=2，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵x4=16， ∴ 一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. 故答案为：±2，一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. （2）①81的四次方根是±±3，0的四次方根是0，-4没有四次方根； ②四次方根的性质是：正数有两个四次方根，他们互为相反数，0的四次方根为0，负数没有四次方根. 故答案为：①±3，0，没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根． （3）类比思想、分类讨论思想（答案不唯一）； （4）① ② =2 故答案为：±4，＜． 【点睛】本题考查了立方根、平方根、四次方根的定义、性质和应用，实数的大小比较，数学知识，实数的运算等知识点，能运用类比思想说出四次方根的定义和性质是解此题的关键． 一．解答题（共4小题） 1．我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 2．学习完平方根之后我们知道，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，如：若，则． （1）类比平方根的这条性质，解方程； （2）应用（1）中的方法解决问题：自由下落物体的高度与下落时间的关系是．若有一个重物从的高处的建筑物上自由落下，求这个重物到达地面的时间． 3．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 4．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________； (2)若有意义，则a的取值范围是____________； (3)解方程：①；②． 思想3：分类讨论思想 我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有（为常数），则称代数式、互为“差值代数式”，为“差值”．例如：，，，∴、互为“差值代数式”，“差值”为；根据该约定，解答下列问题： (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是”） ①与（   ）    ②与（   ） ③与（   ）    ④与（   ） (2)已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为，求的值． 【答案】(1)①不是；②是；③是；④是 (2)或0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式及绝对值的非负性，代数式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用，分别代数运算判断即可； （2）列出的式子运算即可． 【详解】（1）解：①：，当时，，当时，，故①不是； ②：，故②是； ③：，故③是； ④：，故④是； 故答案为：①不是；②是；③是；④是； （2）解：依题意得：， ， 解得：或0． 一．选择填空题（共2小题） 1．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 二．解答题（共2小题） 4．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 4．在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$