精品解析：山东省部分学校2025届高三下学期开学考试数学试卷

山东省高三年级开年考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可. 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，即. 故选：D 3. 样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解即得. 【详解】样本数据12，8，32，10，24，22，12，33，按从小到大排序为8，10，12，12，22，24，32，33， 由，得样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数，即22. 故选：C 4. 函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得. 【详解】定义域为，， 故该函数为偶函数，故可排除B、D， 当时，有，故可排除A. 故选：C. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个选项中给出的直线与平面的关系，运用相应的定理来判断结论是否正确. 【详解】对于A，若，则，该选项正确； 对于B，若，则或 与相交，该选项错误； 对于C，若，则或，该选项错误； 对于D，若，则或，该选项错误； 故选：A. 6. 十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他的同学一行四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求样本空间中样本点的个数，结合条件分张三和其中一人同时看《存亡之战》，观看《存亡之战》的只有张三一人两种情况利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】样本空间的样本点个数为. 在张三看《存亡之战》的情况下，恰有两人看同一部影片，分以下两种情况讨论： （1）张三和其中一人同时看《存亡之战》，另外两人看剩余三部电影中的两部， 此时样本点个数为，概率为； （2）观看《存亡之战》的只有张三一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分别看剩余三部电影中的两部，此时样本点个数为，概率为 综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为. 故选：B. 7. 若函数的图像全部在x轴上方，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像位置关系得出不等关系，再结合导函数得出函数的单调性及最值解题即可. 【详解】因为函数的图像全部在x轴上方， 所以,即, 设, 当单调递减， 当单调递增， 当， . 故选：C. 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围. 【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图. 因为的垂直平分线经过点，所以， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 由椭圆的定义得，所以； 由双曲线的定义得，所以. 所以，所以， 所以. 所以， 又，所以，， 由函数在单调递减，可得， 所以， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ） A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管 B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10 C. 若再增加8根钢管，则所有钢管恰好可以堆放成正三角形垛 D. 若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】因为把200根相同的钢管堆放成正三角形垛，所以正三角形垛从上到下每一层的钢管根数组成首项为1，公差为1的等差数列，所以搭一个层的正三角形垛所需钢管总根数为. 令，解得是使得不等式成立的n的最大值，此时，由此可得剩余钢管有10根，故A错误，B正确； 当时， 故再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛、故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，下列结论正确的有（ ） A. 对，且.，恒有 B. 对，，恒有 C. 函数与的图象共有4个交点 D. 若当时，的最大值为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数的的图象，结合函数的图象与性质，利用函数的单调性、图象的“凹凸”性，以及函数的值域，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，奇函数的定义域为， 当时，， 作出函数的大致图象，如图所示. 由图可知，函数在上单调递减，又函数为奇函数， 所以函数在上单调递减， 不妨取， 结合图象可得，，此时， 所以，所以A错误； 对，， 由， 由，，， 可知， 从而成立，所以B正确； 结合图象，可得函数与的图象共有4个交点，所以C正确； 当时，； 当时，令，解得， 因为函数为奇函数，所以， 要使得当时，的最大值为， 可得，即，所以D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时， B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，利用向量的坐标运算即可证明；对于，当点与点重合时，当点与点重合时，等体积法转化即可得三棱锥的体积；对于，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，可得截面面积；对于，设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，由可求外接球半径，根据球的表面积公式即可判断. 【详解】对于选项，以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，所以，故选项正确； 对于选项，当点与点重合时，如图2所示，， 当点与点重合时，如图3所示，， 所以三棱锥的体积不是定值，故选项错误； 对于选项，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，如图4所示，其中，，为相应边的中点，则正六边形的边长为， 所以该截面的面积为，故存在点，符合题意，故选项正确； 对于选项，当为中点时，如图5所示，易知平面， 因，， 所以由余弦定理的推论得， 所以，设的外接圆半径为， 则，所以， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，写出的一个解析式______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意结合求导法则可知，即可得结果. 【详解】因为，由求导法则可知， 若，可知. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知，，若，则在上的投影向量的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，，， 则，所以， 所以，所以或，， 所以或，， 所以或者， 在上的投影向量为 ， 所以或即为所求. 故答案为：或 14. 已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】，设，满足①， 当时，可得：②， ①②联立， 所以当是锐角时， 再由，得到，开方得第一象限曲线解析式：， 求导可得：，当时，，即此点处的切线斜率为； 结合图象可知：圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以，即； 【小问2详解】 由（1）可知，，所以在中，， 由正弦定理得：，所以， 所以． 又因为为锐角三角形，所以，，，解得， 所以，即面积的取值范围为． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）分别证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求两个平面的夹角. 【小问1详解】 因为平面，，平面， 可知，， 在中，为的中点，则， 因为，所以，则，， 在中，， 即， 所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以． 又因为，故，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可取； 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 17. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）0；（ii）48 【解析】 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【小问1详解】 设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【答案】（1）2；2 （2）分布列见解析， （3）． 【解析】 【分析】（1）由题知，抽到一级口罩的频率为，且，根据二项分布的性质即可求解； （2）根据题意的可能取值为0，1，2，计算对应的概率，写出分布列和方差即可； （3）设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2，，计算对应的概率，求出，结合，求出，最后利用导数，求出最大值，求解即可. 【小问1详解】 由题知，抽到一级口罩的频率为，则，故； ，令， 当时，， 当时，． 所以抽取概率最大时的一级口罩个数为2 【小问2详解】 按分层抽样抽取8个口罩，则其中一级、二级口罩个数分别为，， 故的可能取值为0，1，2，且 的分布列为 0 1 2 ． 【小问3详解】 设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2， ， ， ， 所以 因为，所以， 令，设，则， 因为， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当，即时，取最大值， 所以，所以取最大值时，正整数. 19. 若有穷数列满足，则称为数列． （1）判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． （2）已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． （3）已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值． 【答案】（1）①不是，②是，理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，即可求解； （2）根据充分必要条件的证明方法，结合等差数列的定义及数列的定义，即可求解； （3）根据数列的定义，可得不合题意，和符合题意，再证明时，不存在满足题意，即可求解. 【小问1详解】 ①因为，所以数列不是数列； ②因为，所以是数列． 【小问2详解】 证明：必要性： 若数列是等差数列，设其公差为，则， 所以数列是常数列． 充分性： 若数列是常数列， 则，即， 所以或． 因为数列的各项互不相等，所以， 所以数列是等差数列． 综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列 【小问3详解】 当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意． 下面证当时，不存在满足题意． 令， 则，且， 所以有以下三种可能： ① ② ③ 当时，因为， 由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列， 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾 当公差为时，同理得出与已知矛盾． 所以当时，不存在满足题意． 其他情况同理可得，不存在满足题意． 综上可知，的所有取值为或． 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省高三年级开年考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3. 样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 4. 函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他的同学一行四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图像全部在x轴上方，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ） A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管 B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10 C. 若再增加8根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 D. 若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，下列结论正确的有（ ） A. 对，且.，恒有 B. 对，，恒有 C. 函数与的图象共有4个交点 D. 若当时，的最大值为，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时， B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，写出的一个解析式______. 13. 已知，，若，则在上的投影向量的坐标为________. 14. 已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 17. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 19. 若有穷数列满足，则称为数列． （1）判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． （2）已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列充分必要条件是数列是常数列． （3）已知数列是个连续正整数一个排列，若，求的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $